折叠几何综合专题-16道题目含答案

01如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)假设AG＝6，EG＝2eq\r(5)，求BE的长．(1)证明：由折叠性质可得，EF＝FD，∠AEF＝∠ADF＝90°，∠EFA＝∠DFA，EG＝GD，∵EG∥DC，∴∠DFA＝∠EGF，∴∠EFA＝∠EGF，∴EF＝EG＝FD＝GD，∴四边形EFDG是菱形；(2)解：EG2＝eq\f(1,2)GF·AF.理由如下：如解图，连接ED，交AF于点H，∵四边形EFDG是菱形，∴DE⊥AF，FH＝GH＝eq\f(1,2)GF，EH＝DH＝eq\f(1,2)DE，∵∠FEH＝90°－∠EFA＝∠FAE，∠FHE＝∠AEF＝90°，∴Rt△FEH∽Rt△FAE，∴eq\f(EF,AF)＝eq\f(FH,EF)，即EF2＝FH·AF，又∵FH＝eq\f(1,2)GF，EG＝EF，∴EG2＝eq\f(1,2)GF·AF；(3)解：∵AG＝6，EG＝2eq\r(5)，EG2＝eq\f(1,2)AF·GF，∴(2eq\r(5))2＝eq\f(1,2)(6＋GF)·GF，解得GF＝4或GF＝－10(舍)，∴GF＝4，∴AF＝10.∵DF＝EG＝2eq\r(5)，∴AD＝BC＝eq\r(AF2－DF2)＝4eq\r(5)，DE＝2EH＝2eq\r(EG2－〔\f(1,2)GF〕2)＝8，∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°，∴∠CDE＝∠DAF，∵∠DCE＝∠ADF＝90°，∴Rt△DCE∽Rt△ADF，∴eq\f(EC,DF)＝eq\f(DE,AF)，即eq\f(EC,2\r(5))＝eq\f(8,10)，∴EC＝eq\f(8\r(5),5)，∴BE＝BC－EC＝eq\f(12\r(5),5).02如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F，假设DE＝4，BD＝8.(1)求证：AF＝EF；(2)求证：BF平分∠ABD.证明：(1)在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，∵△BED是△BCD对折得到的，∴ED＝CD，∠E＝∠C，∴ED＝AB，∠E＝∠A，(2分)又∵∠AFB＝∠EFD，∴△ABF≌△EDF(AAS)，∴AF＝EF；(4分)(2)在Rt△BCD中，∵DC＝DE＝4，BD＝8，∴sin∠CBD＝eq\f(DC,BD)＝eq\f(1,2)，∴∠CBD＝30°，(5分)∴∠EBD＝∠CBD＝30°，∴∠ABF＝90°－30°×2＝30°，(7分)∴∠ABF＝∠EBD，∴BF平分∠ABD.(8分)03把一矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合〔E、F两点均在BD上〕，折痕分别为BH、DG。〔1〕求证：△BHE≌△DGF；〔2〕假设AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长。【解答】解：〔1〕∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC，

∵△BEH是△BAH翻折而成，

∴∠1=∠2，，∠A=∠HEB=90°，AB=BE，

∵△DGF是△DGC翻折而成，

∴∠3=∠4，∠C=∠DFG=90°，CD=DF，

∴△BEH与△DFG中，

∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠2=∠3，

∴△BEH≌△DFG，〔2〕∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，

∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，

∴BD===10，

∵由〔1〕知，BD=CD，CG=FG，

∴BF=10-6=4cm，

设FG=*，则BG=8-*，

在Rt△BGF中，

BG2=BF2+FG2，即〔8-*〕2=42+*2，解得*=3，即FG=3cm．【点评】此题考察的是图形翻折变换的性质及矩形的性质，全等三角形的判定，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．04把一矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．假设BF=4，FC=2，则∠DEF的度数是．考点：翻折变换〔折叠问题〕。专题：计算题。分析：根据折叠的性质得到DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，在Rt△DFC中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠FDC=30°，则∠DFC=60°，所以有∠BFE=∠DFE=〔180°﹣60°〕÷2，然后利用两直线平行错角相等得到∠DEF的度数．解答：解：∵矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF，∴DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，在Rt△DFC中，FC=2，DF=4，∴∠FDC=30°，∴∠DFC=60°，∴∠BFE=∠DFE=〔180°﹣60°〕÷2=60°，∴∠DEF=∠BFE=60°．故答案为60．点评：此题考察了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考察了矩形的性质和含30°的直角三角形三边的关系．05如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为〔〕 A． 6 B． 12 C． 2 D． 4考点： 翻折变换〔折叠问题〕．分析： 设BE=*，表示出CE=16﹣*，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出*，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF，根据两直线平行，错角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解．解答： 解：设BE=*，则CE=BC﹣BE=16﹣*，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=16﹣*，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即82+*2=〔16﹣*〕2，解得*=6，∴AE=16﹣6=10，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=10，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=8，AH=BE=6，∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4，在Rt△EFH中，EF===4．应选D．点评： 此题考察了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是此题的突破口．06如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CD均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF=第1题图分析：根据四边形ABCD是矩形，得出∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，再根据∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，得出∠EBD+∠DBF=45°，从而求出答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，根据折叠可得∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，∴∠EBD+∠DBF=45°，即∠EBF=45°，故答案为：45°．点评：此题考察了角的计算和翻折变换，解题的关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的，再进展计算，是一道根底题．07如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．假设AB=6，BC=9，则BF的长为〔〕A．4B．3C．4.5D．5考点：翻折变换〔折叠问题〕．分析：先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在直角三角形C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2=C′F2求解．解答：解：∵点C′是AB边的中点，AB=6，∴BC′=3，由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在直角三角形C′BF中，BF2+BC′2=C′F2，∴BF2+9=〔9﹣BF〕2，解得，BF=4，应选：A．点评：此题考察了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考察了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．08如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．假设AE=BE，则长AD与宽AB的比值是．考点：翻折变换〔折叠问题〕分析：由AE=BE，可设AE=2k，则BE=3k，AB=5k．由四边形ABCD是矩形，可得∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5k，AD=BC．由折叠的性质可得∠EFC=∠B=90°，EF=EB=3k，CF=BC，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE．在Rt△AEF中，根据勾股定理求出AF==k，由cos∠AFE=cos∠DCF得出CF=3k，即AD=3k，进而求解即可．解答：解：∵AE=BE，∴设AE=2k，则BE=3k，AB=5k．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5k，AD=BC．∵将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，∴∠EFC=∠B=90°，EF=EB=3k，CF=BC，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∴cos∠AFE=cos∠DCF．在Rt△AEF中，∵∠A=90°，AE=2k，EF=3k，∴AF==k，∴=，即=，∴CF=3k，∴AD=BC=CF=3k，∴长AD与宽AB的比值是=．故答案为．点评：此题考察了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理以及三角函数的定义．解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用．09如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB=t，则△EFG的周长为2t〔用含t的代数式表示〕．考点：翻折变换〔折叠问题〕分析：根据翻折的性质可得CE=C′E，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠EBC′=30°，然后求出∠BGD′=60°，根据对顶角相等可得∠FGE=∠∠BGD′=60°，根据两直线平行，错角相等可得∠AFG=∠FGE，再求出∠EFG=60°，然后判断出△EFG是等边三角形，根据等边三角形的性质表示出EF，即可得解．解答：解：由翻折的性质得，CE=C′E，∵BE=2CE，∴BE=2C′E，又∵∠C′=∠C=90°，∴∠EBC′=30°，∵∠FD′C′=∠D=90°，∴∠BGD′=60°，∴∠FGE=∠∠BGD′=60°，∵AD∥BC，∴∠AFG=∠FGE=60°，∴∠EFG=〔180°﹣∠AFG〕=〔180°﹣60°〕=60°，∴△EFG是等边三角形，∴AB=t，∴EF=t÷=t，∴△EFG的周长=3×t=2t．故答案为：2t．10如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，假设AD=3，BD=6．〔1〕求证：△EDF≌△CBF；〔2〕求∠EBC．〔第1题图〕考点：翻折变换〔折叠问题〕；全等三角形的判定与性质；矩形的性质分析：〔1〕首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BC，∠E=∠C=90°，对顶角∠DFE=∠BFC，利用AAS可判定△DEF≌△BCF；〔2〕在Rt△ABD中，根据AD=3，BD=6，可得出∠ABD=30°，然后利用折叠的性质可得∠DBE=30°，继而可求得∠EBC的度数．解答：〔1〕证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，在△DEF和△BCF中，，∴△DEF≌△BCF〔AAS〕；〔2〕解：在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=6，∴∠ABD=30°，由折叠的性质可得；∠DBE=∠ABD=30°，∴∠EBC=90°﹣30°﹣30°=30°．点评：此题考察了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．11如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于以下结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的选项是〔〕A．①②B．②③C．①③D．①④解答：解：∵AE=AB，∴BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°，∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=〔180°﹣∠AEP〕=〔180°﹣60°〕=60°，∴∠EFB=90°﹣60°=30°，∴EF=2BE，故①正确；∵BE=PE，∴EF=2PE，∵EF＞PF，∴PF＞2PE，故②错误；由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°，∴BE=2EQ，EF=2BE，∴FQ=3EQ，故③错误；由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°，∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°，∴△PBF是等边三角形，故④正确；综上所述，结论正确的选项是①④．应选D．点评：此题考察了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．12矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．〔第6题图〕〔1〕如图1，折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②假设△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；〔2〕假设图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；〔3〕如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上〔点M与点P、A不重合〕，动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？假设变化，说明理由；假设不变，求出线段EF的长度．解答：解：〔1〕如图1，①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．∴△OCP∽△PDA．②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴====．∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．设OP=*，则OB=*，CO=8﹣*．在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=*，CO=8﹣*，∴*2=〔8﹣*〕2+42．解得：*=5．∴AB=AP=2OP=10．∴边AB的长为10．〔2〕如图1，∵P是CD边的中点，∴DP=DC．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．∵∠D=90°，∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°．∴∠OAB的度数为30°．〔3〕作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，．∴△MFQ≌△NFB．∴QF=BF．∴QF=QB．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．由〔1〕中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．∴在〔1〕的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2．13如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，假设△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为.EEFCDBA第15题B′【分析】假设△CD恰为等腰三角形，判断以CD为腰或为底边分为三种情况：①DB′=DC；②CB′=CD；③CB′=DB′，针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进展分析求解.16或【解析】此题考察正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想..根据题意，假设△CD恰为等腰三角形需分三种情况讨论：〔1〕假设DB′=DC时，则DB′=16〔易知点F在BC上且不与点C、B重合〕；〔2〕当CB′=CD时，∵EB=EB′，CB=CB′∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去；〔3〕如解图，当CB′=DB′时，作BG⊥AB与点G，交CD于点H.∵AB∥CD，∴B′H⊥CD，∵CB′=DB′，∴DH=CD=8，∴AG=DH=8，∴GE=AG－AE=5，在Rt△B′EG中，由勾股定理得B′G=12，∴B′H=GH－B′G=4.在Rt△B′DH中，由勾股定理得DB′=，综上所述DB′=16或.14如图，矩形中，AB=8，BC=6，P为AD上一