2024届新高考数学一轮复习配套练习专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值 （练）含答案

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题4.3应用导数研究函数的极值、最值练基础练基础1．（2021·河南高三其他模拟（文））函数在上的最小值为（）A． B．-1 C．0 D．2．（2021·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（）A． B． C． D．3．（2021·全国高三其他模拟）已知函数f（x）＝﹣ex，则下列说法正确的是（）A．f（x）无极大值，也无极小值B．f（x）有极大值，也有极小值C．f（x）有极大值，无极小值D．f（x）无极小值，有极大值4.（2021·全国高三月考（理））已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为（）A． B．C． D．5．（2021·广东高三其他模拟）若函数有最小值，则的一个正整数取值可以为___________.6．（2021·全国高三其他模拟（文））函数取最大值时的值为___________.7．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））设是函数的一个极值点，则___________.8.（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））已知函数（1）求函数的单调区间；（2）求函数的最小值9．（2021·河南高三其他模拟（文））已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程.（2）若，证明：存在极小值.10．（2021·玉林市育才中学高三三模（文））设函数，其中．（Ⅰ）当时，在时取得极值，求；（Ⅱ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数，其中是自然对数的底数，则下列说法正确的是（）．A．是偶函数 B．是的周期C．在上单调递减 D．在上有3个极值点2．（2021·辽宁丹东市·高三二模）设函数，已知的极大值与极小值之和为，则的值域为______．3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为_______．4．（2021·全国高三月考（文））已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围.5．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数存在极大值，证明：.6．（2021·河南郑州市·高三二模（理））已知函数．（1）当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）若，最小值为，求的最大值以及此时的值．7．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））已知函数.（1）求曲线上一点处的切线方程；（2）当时，在区间的最大值记为，最小值记为，设，求的最小值.8.（2021·成都七中实验学校高三三模（文））已知函数，其中.（1）若函数无极值，求的取值范围；（2）当取（1）中的最大值时，求函数的最小值.9．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知函数（1）当时，求的最大值；（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围.10．（2022·河南高三月考（理））已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）假设函数有两个极值点.①求实数的取值范围；②若函数的极大值小于整数，求的最小值.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题）函数的最小值为______.2．（2020·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．3．（2020·北京高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．4．（2017·北京高考真题（理））已知函数f(x)=e（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,π5.（2018·全国高考真题（理））已知函数fx（1）若a=0，证明：当-1<x<0时，fx<0；当x>0时，（2）若x=0是fx的极大值点，求a6．（2019·江苏高考真题）设函数，为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．专题4.3应用导数研究函数的极值、最值练基础练基础1．（2021·河南高三其他模拟（文））函数在上的最小值为（）A． B．-1 C．0 D．【答案】B【解析】求导后求得函数的单调性，利用单调性求得函数的最小值.【详解】因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故答案为：B.2．（2021·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】结合对进行分类讨论，画出图象，由此确定正确选项.【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.依题意，为函数的极大值点，当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D3．（2021·全国高三其他模拟）已知函数f（x）＝﹣ex，则下列说法正确的是（）A．f（x）无极大值，也无极小值B．f（x）有极大值，也有极小值C．f（x）有极大值，无极小值D．f（x）无极小值，有极大值【答案】C【解析】求导判断函数的单调性，但由于不容易判断正负，所以需要二次求导来判断.【详解】因为，所以，令，，因为，所以，即，故，所以在上单调递减，又因为，，所以存在唯一的，使得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以f（x）有极大值，无极小值.故选：C.4.（2021·全国高三月考（理））已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】首先将不等式转化为，又时，，问题转化为在上递减，所以当时，恒成立，最后参变分离得到参数的最大值.【详解】∵在时恒成立，而时，，∴在上递减，∴当时，恒成立，即时，恒成立，故，∴实数的最大值为3，故选B.5．（2021·广东高三其他模拟）若函数有最小值，则的一个正整数取值可以为___________.【答案】4【解析】分段研究函数的单调性及最值得解【详解】在上单调递增，∴；当时，，此时，.∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上的最小值为，函数有最有最小值，则，即，故的一个正整数取值可以为4.故答案为：46．（2021·全国高三其他模拟（文））函数取最大值时的值为___________.【答案】【解析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数取最大值时x的值即可.【详解】解：令，即，解得：或或，时时，，故在[上单调递增，在上单调递减，故时，取最大值，故答案为：7．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））设是函数的一个极值点，则___________.【答案】【解析】由条件可得，然后由算出答案即可.【详解】因为，是函数的一个极值点所以，所以所以故答案为：8.（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））已知函数（1）求函数的单调区间；（2）求函数的最小值【答案】（1）单调减区间是(-∞，，0)，单调增区间是(0，+∞)；（2）最小值1.【解析】（1）直接利用导数求函数的单调区间；（2）由（1）可得ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立，把转化为，直接求出最小值1，并判断出g(x)取得最小值时条件存在.【详解】解∶（1）的定义域为R,，当x<0时，有，当x>0时，有；所以函数f(x)的单调减区间是(-∞，，0)，单调增区间是(0，+∞).（2）由（1）可得f(x)min=f(0)=0，有ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立，所以，当且仅当lnx+x=0时，等号成立.设h(x)=lnx+x(x>0)，所以h(x)在(0，+∞)上是增函数，.而，h（1）=1>0，由零点存在性定理，存在唯一，使得h(x0)=0，所以当x=x0时，函数g(x)取得最小值1.9．（2021·河南高三其他模拟（文））已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程.（2）若，证明：存在极小值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据函数表达式求出切点坐标，再由点斜式即可求出切线方程；（2）通过二次求导得到的单调区间，从而可以证明存在极小值.【详解】（1）当时，，所以.所以，.故曲线在点处的切线方程为，即.（2）由，得.令，则.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.因为，所以，.因为在上单调递增，所以存在，使得，在上，，在上，，即在上，，在上，，所以在上单调递减，在上单调递增，故存在极小值.10．（2021·玉林市育才中学高三三模（文））设函数，其中．（Ⅰ）当时，在时取得极值，求；（Ⅱ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求函数的导数利用求解；（Ⅱ）根据函数的单调性可得在上恒成立，利用二次函数的最值求解.【详解】（Ⅰ）当时，，依题意有，故，此时，取得极大值，所以；（Ⅱ）当时，，若在上单调递增，则在上恒成立，设，只需，即.练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数，其中是自然对数的底数，则下列说法正确的是（）．A．是偶函数 B．是的周期C．在上单调递减 D．在上有3个极值点【答案】AD【解析】对于A:化简即可.对于B:计算出与，由即可.

对于C:计算出，则可判断其在上得正负号，则可得出在上的单调性，再利用，，则可得到在上单调的单调性.对于D:结合在上单调递增，在上单调递减与偶函数，即可判断.【详解】对于A:因为的定义城为，且，所以函数是偶函数，故A正确．对于B:因为，，所以，所以不是函数的周期，故B错误．对于C:，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．因为，，所以存在唯一，使得，当时，，单调递增．当时，，单调递减；所以函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误．对于D:函数在上有2个极大值点，，1个极小值点0，共3个极值点，故D正确．故选：AD．2．（2021·辽宁丹东市·高三二模）设函数，已知的极大值与极小值之和为，则的值域为______．【答案】【解析】，设的两根为，由求出的范围，然后用表示出、、、，然后可得，然后可求出其值域.【详解】设的两根为，且所以，或，，所以在上单调递增，在上单调递减所以所以由可得或，由可得所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增因为，所以的值域为故答案为：3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为_______．【答案】【解析】已知不等式等价转化为恒成立，在a=0时易得ab=0;当a≠0时，设函数,函数图象在直线下方时，根据对数函数的性质，结合导数求得相切时a,b满足的条件，进而得到当函数图象在直线下方时，，得到,记,利用导数研究单调性求得最大值，即得所求.【详解】原不等式等价于：恒成立，由对数函数的图象和性质，易知，当时不等式为对于x>0恒成立，需要，此时,当时，设函数,当直线与函数图象相切时，设切点坐标为,则,∴,即所以当函数图象在直线下方时，，∴,记,则,令，解得当时,单调递增；当时，，单调递减，∴,综上，的最大值为：，故答案为：.4．（2021·全国高三月考（文））已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）增区间是，减区间是．（2）【解析】（1）求导函数，利用得增区间，得减区间；（2）求导函数，由在上有两个不等实根可得参数范围．【详解】（1），，，当，即时，，当，即时，，所以的增区间是，减区间是．（2），，由题意在上有两个不等实根．即有两个实根．设，则，时，，所以时，，递增，时，，递减，，，，所以当时，在上有两个实根．有两个极值点．5．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数存在极大值，证明：.【答案】（1）当时，单调递增；当时，单调递减；（2）证明见解析．【解析】（1）将代入函数，并求导即可分析单调性；（2）求导函数，讨论当，与时分析单调性，并判断是否有极大值，再求解极大值，即可证明．【详解】（1）的定义域是当时，，，令，得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；（2），令，则，由的定义域是，易得，当时，由（1）知，在处取得极大值，所以.当时，在上恒成立，所以在上单调递减，，所以，故没有极值.当时，令，得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，，又，，且，所以存在唯一，使得，当时，，即，单调递增；当时，，即，单调递减.所以当时，取得极大值，所以，所以.令，则，设，，则，所以在上单调递减，所以，所以.综上，若函数存在极大值，则．6．（2021·河南郑州市·高三二模（理））已知函数．（1）当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）若，最小值为，求的最大值以及此时的值．【答案】（1）；（2）的最大值是，此时．【解析】(1)根据题意,令,求导研究函数的单调性并分和两种情况讨论求解；（2）求导得，令，得，令，则，故至多个解，不妨设为，即，进而得函数的最小值是，再令，进而求导研究最值即可.【详解】解：（1）时，，令，则，，故在递增，，，当时，，故存在，使得在递减，，在上不恒成立，不可取，当时，，∴在上单调递增，∴，满足题意.的取值范围是；（2），令，得，令，则，在递增，至多个解，设该解是，即，此时在上单调递增，在上单调递减，的最小值是，令，则，，∴，令，解得：，令，解得：，在递增，在递减，的最大值是，即的最大值是，此时，．7．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））已知函数.（1）求曲线上一点处的切线方程；（2）当时，在区间的最大值记为，最小值记为，设，求的最小值.【答案】（1）切线方程为；（2）.【解析】（1）首先求出参数的值，即可得到函数解析式，再求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，即可得解；（2）依题意可得，即可得到函数的单调区间，再对参数分类讨论，求出函数的最大值与最小值，即可得到，再利用导数取出函数的最小值；【详解】解：（1）因为点在曲线上，所以，解得，所以，求导得，∵切点为，，故切线斜率，所求切线方程为.（2）因为，，.所以.令，得或.所以，，为减函数；，，为增函数.①当时，在上单调递减所以依题意，，，所以.②当时，在上单调递减，在上单调递增，又因为，，，当时，，所以，，当时，，所以，.设，所以，当时，，所以在单调递减.又因为，，所以所以，当且仅当时，取得最小值.8.（2021·成都七中实验学校高三三模（文））已知函数，其中.（1）若函数无极值，求的取值范围；（2）当取（1）中的最大值时，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）最小值.【解析】(1)函数无极值，则导数恒大于等于零或恒小于等于0，，故可转化为在区间上无根或有唯一根，即可得解.(2)易知，由函数的单调性知，通过两边平方及换元可得的最小值.【详解】解：（1），据题意得方程在区间上无根或有唯一根，即方程在区间上无根或有唯一根，解得；(2)当时，，由（1）知在区间上是增函数，且，当时，，得，当时，，得，所以当时，，令，所以，平方的得，即当时，不等式成立，当时取等号，所以当时，函数取最小值9．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知函数（1）当时，求的最大值；（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先求，再分析单调性，根据单调性求最大值即可；（2）构造函数，然后分类讨论，研究其单调性，并通过分析端点处的值获得满足题意的的取值范围.【详解】（1），则由，可知在上为正，在上为负在上为增函数，在上为减函数，当时，.（2）对恒成立，即对恒成立.设，，，，，.，又，.（i）即时，，在上递减，，舍.（ii）即时，①当，即时，，使得.且，，在内递减，，矛盾，舍；②当，即时，，使得，且，，，，在上递增，在上递减，又，，所以成立.③，即，，在上递增，则.满足题意.综上，.10．（2022·河南高三月考（理））已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）假设函数有两个极值点.①求实数的取值范围；②若函数的极大值小于整数，求的最小值.【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递减；（2）①；②最小值为3.【解析】（1）求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）①求出，令，由题意可得关于的方程有两个不相等实数根，只需解不等式组即可；②分析可得，，由可得，极大值，令，可得，再证明即可.【详解】解：（1），.分析知，当或时，，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减.（2）①，令，则.讨论：当时，，为增函数；当时，，为减函数.当时，.由于有两个极值点，关于的方程有两个不相等实数根，即有两个不相等实数根，.解得.②分析可知，，，，则.又，即函数极大值为令，则，则(*)可变为分析知，，，，下面再说明对于任意，，有.又由(#)得，把它代入(*)得，当时，且，故在上单调递减.又，当时，.满足题意的整数的最小值为3.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题）函数的最小值为______.【答案】1【解析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.2．（2020·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．【答案】【解析】设圆心到直线距离为，则所以令（负值舍去）当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，故答案为：3．（2020·北京高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程为：，即.（Ⅱ）显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.4．（2017·北京高考真题（理））已知函数f(x)=e（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,π【答案】(Ⅰ)y=1；（Ⅱ）最大值1；最小值-π【解析】（Ⅰ）因为f(x)=excos又因为f(0)=1，所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.（Ⅱ）设h(x)=ex(当x∈(0,π2)所以h(x)在区间[0,π所以对任意x∈(0,π2]有h(x)<h(0)=0所以函数f(x)在区间[0,π因此f(x)在区间[0,π2]上的最大值为f(0)=15.（2018·全国高考真题（理））已知函数fx（1）若a=0，证明：当-1<x<0时，fx<0；当x>0时，（2）若x=0是fx的极大值点，求a【答案】（1）见解析；（2）a=-【解析】（1）当a=0时，f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x，设函数g(x)=f'(x)=当-1<x<0时，g'(x)<0；当x>0时，g'(x)>0.故当x>-1时，g(x)≥g(0)=0，且仅当x=0时，g(x)=0，从而f'所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0，故当-1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0.（2）（i）若a≥0，由（1）知，当x>0时，f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0)，这与x=0是（ii）若a<0，设函数h(x)=f(x)由于当|x|<min{1,1|a|}时，又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h'如果6a+1>0，则当0<x<-6a+14a，且|x|<min{1,1|a|如果6a+1<0，则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0，故当x∈(x1,0)如果6a+1=0，则h'(x)=x3(x-24)(x+1)(x2-6x-12)2.则当x∈(-1,0)时，h综上，a=-16．（2019·江苏高考真题）设函数，为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为，所以．因为，所以，解得．（2）因为，所以，从而．令，得或．因为，都在集合中，且，所以．此时，．令，得或．列表如下：1+0–0+极大值极小值所以的极小值为．（3）因为，所以，．因为，所以，则有2个不同的零点，设为．由，得．列表如下：+0–0+极大值极小值所以的极大值．解法一：．因此．解法二：因为，所以．当时，．令，则．令，得．列表如下：+0–极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故．所以当时，，因此．专题4.4导数的综合应用练基础练基础1．（2021·沙坪坝区·重庆一中高三其他模拟）已知为自然对数的底数，，为实数，且不等式对任意恒成立，则当取最大值时，实数的值为（）A． B． C． D．2．（2021·湖南高三其他模拟）已知函数存在两个零点，则正数的取值范围是（）A． B． C． D．3．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数，，又当时，恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．4．（2021·全国高三其他模拟）已知f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）＝，若关于x的方程2f2（x）+（2a﹣1）f（x）﹣a＝0有且只有2个实数根，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，﹣] B．[﹣，﹣）C．（﹣，0） D．（﹣，0）∪{﹣}5．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））平行于轴的直线与函数的图像交于两点，则线段长度的最小值为（）A． B． C． D．6．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．7．【多选题】（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知函数，则下列结论中正确的是（）A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则B．曲线与直线相切C．若为增函数，则的取值范围为D．在上最多有个零点8．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（理））用总长m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m，则该容器容积的最大值为________m3（不计损耗）．9．（2021·湖南高三其他模拟）中国最早的化妆水是年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为.则当圆柱的底面半径___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.10．（2021·全国高三其他模拟）若函数只有一个零点，则实数的取值范围是________．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·全国高三其他模拟）若不等式恒成立，则的最小值为（）A． B． C． D．2.（2021·北京高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，则有两个零点；②，使得有一个零点；③，使得有三个零点；④，使得有三个零点．以上正确结论得序号是_______．3．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为．（1）求的值；（2）证明：．4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数.（1）若的图象在点处的切线与直线平行，求的值；（2）在（1）的条件下，证明：当时，；（3）当时，求的零点个数.5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围.6．（2021·河北高三其他模拟）已知函数.（1）当时，求证：；（2）当时，讨论零点的个数.7．（2021·重庆市育才中学高三二模）已知函数，.（1）已知恒成立，求a的值；（2）若，求证：.8.（2021·全国高三其他模拟）已知函数，.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数存在极大值，证明：.9．（2021·重庆高三二模）已知函数在处取得极值．（1）若对恒成立，求实数的取值范围；（2）设，记函数在上的最大值为，证明：．10．（2021·江苏南通市·高三一模）已知函数，.（1）求函数的增区间；（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题（文））设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图像与轴没有公共点，求a的取值范围.2.（2021·全国高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．3．（2021·全国高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.4.（2020·山东海南省高考真题）已知函数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．5．（2020·浙江省高考真题）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）．6.（2019·全国高考真题（理））已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.专题4.4导数的综合应用练基础练基础1．（2021·沙坪坝区·重庆一中高三其他模拟）已知为自然对数的底数，，为实数，且不等式对任意恒成立，则当取最大值时，实数的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式对任意恒成立，化为不等式对任意恒成立，必然有．令，化为：．令，．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出结论．【详解】解：不等式对任意恒成立，则不等式对任意恒成立，则．令，则，化为：．令，．不等式对任意恒成立，即不等式对任意恒成立，令，则，可得：时，函数取得极大值即最大值，，满足题意．可以验证其他值不成立．故选：C．2．（2021·湖南高三其他模拟）已知函数存在两个零点，则正数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数零点即方程的解，（），取对数得，此方程有两个解，引入函数，利用导数求得函数的单调性，函数的变化趋势，然后由零点存在定理可得结论．【详解】显然，有两个零点，即方程，在上有两个解，两边取对数得到，令，，在单调递增，在单调递减，又当时，，当时，，因为有两个零点，则，解得.所以正数的取值范围是.故选：C．3．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数，，又当时，恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根据求出，进而参变分离解决恒成立的问题即可.【详解】因为，所以，即，所以当时，恒成立，即，即，当时，恒成立，符合题意；当时，有，即，令，则，所以在上单调递增，而，所以，故选：A.4．（2021·全国高三其他模拟）已知f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）＝，若关于x的方程2f2（x）+（2a﹣1）f（x）﹣a＝0有且只有2个实数根，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，﹣] B．[﹣，﹣）C．（﹣，0） D．（﹣，0）∪{﹣}【答案】D【解析】利用导数研究函数在定义域上的单调性，得出；结合题意得出在有且仅有1个解，计算的值即可.【详解】当时，则令，解得，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以，故在定义域上恒成立，由有且只有2个实数根，得方程有2个解，又，所以，则在有且仅有1个解，因为，则或，所以或，即实数的取值范围是，故选：D5．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））平行于轴的直线与函数的图像交于两点，则线段长度的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】画出函数图像，数形结合构造函数，利用导数判断函数单调性并求函数最值即可.【详解】根据题意，画出的图象如下所示：令，，故可得，解得；，解得.故可得，，故，，故可得，恒成立，故是单调递增函数，且，关于在成立，在成立，故在单调递减，在单调递增，故.即的最小值为.故选：D6．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】参变分离可得，研究函数，根据导函数以及，可得函数的极大值为，当，，所以，根据的最大值的范围即可得解.【详解】由，得，令，则，当时，，函数在，上单调递增，在上单调递减，故函数的极大值为，极小值为，且时，，所以，由，得，由恒成立，得，故选：D．7．【多选题】（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知函数，则下列结论中正确的是（）A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则B．曲线与直线相切C．若为增函数，则的取值范围为D．在上最多有个零点【答案】ACD【解析】由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况.【详解】因为对于任意，都有，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确.又，令，得(*)，因为，，所以方程(*)无实数解，即曲线的所有切线的斜率都不可能为，故B错误.若为增函数，则大于等于0，即，，当且仅当时等号成立，所以，故C正确.令，得或().设，则，令，则.当时，，当时，，当时，，所以函数为增函数，且，所以当时，，从而，单调递增.又因为对于任意，都有，所以为偶函数，其图象关于轴对称.综上，在上单调递减，在上单调递增，则直线与最多有2个交点，所以在上最多有3个零点，故D正确.故选ACD.8．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（理））用总长m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m，则该容器容积的最大值为________m3（不计损耗）．【答案】.【解析】设长方体的底面边长为，高为，由题可得，求出函数导数，判断单调性，即可求出最值.【详解】设长方体的底面边长为，高为，则由题可得，，则可得，则，则该容器容积，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，，即该容器容积的最大值为.故答案为：.9．（2021·湖南高三其他模拟）中国最早的化妆水是年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为.则当圆柱的底面半径___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.【答案】【解析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，根据已知条件可得出，根据柱体的体积公式可得，利用导数可求得的最大值及其对应的的值，即为所求.【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为.则由题意可得，所以.由，得.故容器的容积，容易忽略上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中.，令，解得（舍）或.显然当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，取得最大值，此时，.故答案为：；.10．（2021·全国高三其他模拟）若函数只有一个零点，则实数的取值范围是________．【答案】或【解析】将函数的零点转化为方程的根，令，利用导数研究函数的图象特征，即可得到答案；【详解】，令，则，令，则在恒成立，在单调递减，且，，在单调递增，在单调递减，且，当时，，如图所示，可得当或时，直线与有且仅有一个交点，故答案为：或练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·全国高三其他模拟）若不等式恒成立，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】构造函数，根据函数的单调性及最值可得，故，再构造，求得函数的最小值即可.【详解】由恒成立，得，设，，当时，，在上单调递减，不成立；当时，令，解得，故函数在上单调递减，在上单调递增，故，即，，，设，，令，，故在上单调递减，在上单调递增，故，即，故选：C.2.（2021·北京高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，则有两个零点；②，使得有一个零点；③，使得有三个零点；④，使得有三个零点．以上正确结论得序号是_______．【答案】①②④【解析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；对于②，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，②正确；对于③，当直线过点时，，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确.故答案为：①②④.3．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为．（1）求的值；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）求出函数的导函数，再代入计算可得；（2）依题意即证，即，构造函数，，利用导数说明其单调性与最值，即可得到，从而得证；【详解】解：（1）因为，所以，，解得．（2）由（1）可得即证．令，，于是在上是减函数，在上是增函数，所以（取等号）．又令，则，于是在上是增函数，在上是减函数，所以（时取等号）．所以，即．4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数.（1）若的图象在点处的切线与直线平行，求的值；（2）在（1）的条件下，证明：当时，；（3）当时，求的零点个数.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）有一个零点.【解析】（1）利用导数的几何意义求解即可（2）利用导数，得到在上单调递增，由，即可证明在上恒成立（3）由（2）可知当且时，，即在上没有零点，再根据，，得到，对进行讨论，即可求解【详解】解：（1）因为的图象在点处的切线与直线平行，所以，因为，所以，解得.（2）由（1）得当时，，当时，因为，所以在上单调递增，因为，所以在上恒成立.（3）由（2）可知当且时，，即在上没有零点，当时，，令，，则单调递增，且，，所以在上存在唯一零点，记为，且时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，，因为，所以，所以在上存在唯一零点，且在上恒小于零，故时，；时，，所以在上单调递增，在上单调递减，且，所以在上至多有一个零点，取，则有，所以由零点存在定理可知在上只有一个零点，又f(0)不为0，所以在上只有一个零点.5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）或.【解析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）根据（1）的结论，结合函数的极值以及零点个数，求得的取值范围.【详解】（1），当时，由或，所以在，单调递增，由，所以在单调递减；当时，由或，所以在，单调递增，由，所以在单调递减；当时，在单调递增.（2），，由（1）知当时，在处，有极大值，且，此时函数有一个零点；当时，在单调递增，且，此时函数有一个零点；当时，，单调递增，单调递减，在处，有极小值，在处，有极大值，则当，或时函数有一个零点，有或.综上：或.6．（2021·河北高三其他模拟）已知函数.（1）当时，求证：；（2）当时，讨论零点的个数.【答案】（1）证明过程见解答；（2）当时，有两个零点，当时，有一个零点．【解析】（1）将代入，对求导，得到其单调性，判断其最值，即可得证；（2）令，则即为，显然，进一步转化为，令，利用导数作出的大致图象，进而图象判断方程解的情况，进而得到函数零点情况．【详解】（1）证明：当时，，则，当时，，单增，当时，，单减，（1），即得证；（2）令，则即为，当，即时，该方程不成立，故不是的零点；接下来讨论时的情况，当时，方程可化为，令，则，当时，，当且仅当时取等号，当时，，当且仅当时取等号，当时，，单增，当时，，单减，且当时，，，当时，，当时，，函数的大致图象如下：由图象可知，当，即时，只有一个解，则有一个零点，当，即时，有两个解，则有两个零点．综上，当时，有两个零点，当时，有一个零点．7．（2021·重庆市育才中学高三二模）已知函数，.（1）已知恒成立，求a的值；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）作差，设，利用导数求出的最小值为，只需；设，利用导数求出，解出；（2）利用把原不等式转化为证明，即证：，设，利用导数求出最小值，即可证明.【详解】（1）设，，当时，，单增，当，不满足恒成立当，在单减，在单增，所以的最小值为，即，即设，，所以在单减，在单增，即，故的解只有，综上（2）先证当时，恒成立.令，求导，所以在上单调递增，，所以所以要证，即证，即证，即证：，设，求导，所以在上单调递减，所以，即原不等式成立.所以当时，如成立.8.（2021·全国高三其他模拟）已知函数，.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数存在极大值，证明：.【答案】（1）当时，单调递增；当时，单调递减；（2）证明见解析．【解析】（1）将代入函数，并求导即可分析单调性；（2）求导函数，讨论当，与时分析单调性，并判断是否有极大值，再求解极大值，即可证明．【详解】（1）的定义域是当时，，，令，得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；（2），令，则，由的定义域是，易得，当时，由（1）知，在处取得极大值，所以.当时，在上恒成立，所以在上单调递减，，所以，故没有极值.当时，令，得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，，又，，且，所以存在唯一，使得，当时，，即，单调递增；当时，，即，单调递减.所以当时，取得极大值，所以，所以.令，则，设，，则，所以在上单调递减，所以，所以.综上，若函数存在极大值，则．9．（2021·重庆高三二模）已知函数在处取得极值．（1）若对恒成立，求实数的取值范围；（2）设，记函数在上的最大值为，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由条件求出，然后由可得，然后用导数求出右边对应函数的最小值即可；（2），令，然后可得存在使得，即，即，然后可得，然后判断出函数的单调性即可.【详解】（1）∵，，∴，由已知，即，即对恒成立，令，则，易得在上单调递减，在上单调递增，∴，即．（2），则．当时，，令，则，所以在上单调递增．∵，，∴存在使得，即，即．∴当时，，此时；当时，，此时；即在上单调递增，在上单调递减，则．令，，则，∴在上单调递增，则，，∴．∴．10．（2021·江苏南通市·高三一模）已知函数，.（1）求函数的增区间；（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）求函数的导数，分类讨论，解不等式即可求解；（2）根据极值点可转化为，是方程的两个不相等的正实数根，可得且，要证，只要证，利用构造函数的单调性证明即可.【详解】（1）由题意得().令，则.①当，即时，在上恒成立，即的增区间为；②当，即时，或，即的增区间为和.综上，当时，的增区间为；当时，的增区间为和.（2）因为()，有两个极值点，，所以，是方程的两个不相等的正实数根，可求出从而，，解得.由得.因为，所以且.令，且，则，所以当时，，从而单调递增；当时，，从而单调递减，于是().要证，只要证，只要证明.因为，所以只要证.令则.因为，所以，即在上单调递增，所以，即，所以，即.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题（文））设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图像与轴没有公共点，求a的取值范围.【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.【解析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，又，因为，故，当时，；当