2021年北京市丰台区高考数学二模试卷（解析版）

2021年北京市丰台区高考数学二模试卷

一、选择题（每小题4分）.

1.在复平面内，复数z=1「对应的点位于（）

2-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A.y吗)x

B.y=x1C.y=(x-1)2D.y=lwc

3.已知向量7=(-1,2),E=(2,相)，,若之〃E，则机=（)

B.」

A.-4C.—D.4

22

4.在平面直角坐标系x。），中，角a以Ox为始边，它的终边与以原点O为圆心的单位圆的

9JT

交点为P（W，泗），则sin（―+a）=（）

32

A.—B.上C.豆D.

3333

5.已知a,0,丫是三个不同的平面，a,6是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

A.若a_Ly，P-Ly>则。〃0B.若“_|_01,b±a,则〃〃方

C.若“〃a,b//a,则a〃6D.若a〃a,a〃0,贝Ua〃0

6.“a=l”是“直线x+ay-1=0与直线依-y+l=0相互垂直”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2

7.已知双曲线¥72=1仁>0）的渐近线与圆炉+5?2_4卢3=0相切，则.=（）

&

A.3B.«C.返D.—

V33

8.将函数y=k）g2（2A+2）的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到

函数g（X）的图象，则g（X）=（）

A.Iog2（2r+l）-1B.Iog2（2JV+1）+1

C.10g2X-1D.10g2X

9.某中学举行“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类

节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目8至少有一个被选中的不

同选法种数是（）

A.15B.45C.60D.75

io.如图，半椭圆三三=i（x2o）与半椭圆J三=iawo）组成的曲线称为“果

abbc

圆”，其中层=加+/,。＞（）,h＞c＞0.AitA2和5，&分别是“果圆”与x轴，y轴的

交点.给出下列三个结论：

①位VaV&6；

②若依也|=四&|,则a：b：c=5：4：3；

③若在“果圆”y轴右侧部分上存在点尸，使得/AIPA2=90°,则《＜£＜立二1.

2a2

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题（每小题5分）.

11.函数/（x）=sinx+cosx的值域为.

12.能够说明“若a,b,m均为正数，则妇殴〉上”是假命题的一组整数mb的值依次

a+ma

为.

13.已知点P（xo,泗）为抛物线C：^=4y上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3,

则|刖|=.

14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵

爽弦图”--由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所

示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一

个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在AABC中，若AF=\,FD=2,则AB

R

图1图2

15.函数/(x)是定义域为R的奇函数，满足f4-X)=f(-^-+x)，且当法[0,n)时，

sinx

f(x)=一^---------,给出下列四个结论：

x"-兀x+冗

®f(TT)=0;

②7T是函数/(X)的周期；

③函数/(X)在区间(-1,1)上单调递增；

④函数g(x)=f(x)-sinl(xG[-10,10])所有零点之和为3TT.

其中，正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知数列｛〃”｝中，0=1,且满足.

(I)求数列｛““｝的通项公式；

(II)求数列｛““+2"即的前"项和S„.

从①斯+1=2“"(〃eN*)；②如+1-斯=2(〃eN*)；③。＞+1+斯=2(〃eN*)这三个条件中选

择一个，补充在上面的问题中并作答.

17.某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月

后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：[30,

40),[40,50),…，[90,100],整理得到如图频率分布直方图.

根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：

满意度的分数[30,60)[60,100]

满意度的等级不满意满意

(I)从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意”的概率；

(H)用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以X表示这2人中

满意度的等级为“满意”的人数，求X的分布列和数学期望.

频率

18.如图，在多面体ABCQEF中，四边形ABC。和CDE尸都是直角梯形，AB//CD,CD//

JT

EF,AB=EF=1,DA^DC=DE=2,NAOE=NAOC=/££^=万，点M为棱CF上

一点，平面AEM与棱BC交于点M

(I)求证：EZ)J_平面A3CZ)；

(II)求证：AE//MN-

(III)若平面4E例与平面CDE尸所成锐二面角的余弦值为告，求罂的值.

3FC

19.已知函数f(x)=(x2-2ax)lnx4x2+2ax(”eR).

(I)若a=0,求/(x)的最小值；

(II)求函数/(x)的单调区间.

2c

20.己知椭圆C：与-+丫2=1，过点(-1,0)的直线/交椭圆C于点A,B.

(I)当直线/与x轴垂直时，求发印

(II)在X轴上是否存在定点P,使瓦•西为定值？若存在，求点尸的坐标及证.而的

值；若不存在，说明理由.

21.设数集S满足：①任意x€S,有仑0；②任意x,)，€S,有x+yeS或k-y|eS,则称数集

S具有性质P.

(I)判断数集4=(0,1,2,4｝是否具有性质P,并说明理由:

(II)若数集8={〃i,6,…,且的〈勿+1(z—L2，…，n-1)具有性质P.

(i)当〃=2021时，求证：ai,s,…,小是等差数列；

(ii)当m,3,…，如不是等差数列时，写出〃的最大值.(结论不需要证明)

参考答案

一、选择题（每小题5分）.

1.在复平面内，复数z=9h对应的点位于（）

2-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

i_i(2+i)=i2+2i=12.

解:-z-221

2r(2-i)(2+i)"2+1~^^

复数Z=春对应的点的坐标为（4，3）,位于第二象限.

2~155

故选：B.

2.下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=（-y）xB.y=x1C.y=（x-1）2D.y=lnx

解：根据题意，依次分析选项：

对于A,y=（y）\是指数函数，在R上为减函数，不符合题意，

对于B,y=x|=」，是反比例函数，在区间（0,+8）上为减函数，不符合题意,

x

对于C,y=（x-1）2,是二次函数，在区间（0,1）上为减函数，不符合题意，

对于。，y=底,是对数函数，在区间（0,+8）上单调递增，符合题意，

故选：D.

3.已知向量之=(-1,2),3=(2,m),若二〃9则机=()

A.-4B.」C.—

D.4

22

解：..,向量；=(-1,2),工=(2,tn),若W

贝(J-zn-4=0,求得m=-4,

故选：A.

4.在平面直角坐标系x。），中，角a以。工为始边，它的终边与以原点。为圆心的单位圆的

9n

交点为尸（等yo）,贝ljsin（―H-a）=（）

A.—B.上C.豆D.

3333

解：在平面直角坐标系xO），中，角a以。尤为始边,

它的终边与以原点0为圆心的单位圆的交点为PAyo),

贝！Jsin(彳+a)=cosa=-y,

故选：A.

5.已知a,0,丫是三个不同的平面，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是()

A.若。_1_丫，S_Ly，则a〃BB.若a_La,/?±a,贝ij〃〃匕

C.若a〃a,b//a,则a〃bD.若a〃a,a〃仇则a〃0

解：对于A：若a_l_Y，PJ-Y»贝1Ja〃0或a和0相交，故A错误；

对于B：若。_La,b_Laf则。和力相当于平面a的法向量，故a〃b、故8正确；

对于C：若。〃a,h//af则或〃和〃相交或〃和匕异面，故C错误；

对于Q：若i〃a,。〃0,则a和0可能平行或相交，故。错误；

故选：B.

6.“a=l”是“直线x+oy-1=0与直线ar-y+l=0相互垂直”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：①当。=1时，两方程可化为x+y-1=0,x-y+l=0,斜率分别为-1和1,・••两直

线垂直，，充分性成立，

②当直线-1=0与直线数-y+l=0垂直时，贝ijix〃+〃x(-1)=0,

必要性不成立，

・・・〃=1是直线1=0与直线仆-尹1=0垂直充分不必要条件.

故选：A.

2

7.已知双曲线t-了2=1Q〉0)的渐近线与圆3+>；2_4/3=0相切，则〃=()

a

A.3B.JQC.返D.—

VS33

2

解：由双曲线七-了2=1(2>0)的一条渐近线为殴=-为即”+x=0,

a

圆f+(y-2)2=1的圆心为(0,2),半径为1,

12al

由题意可知：圆心到渐近线的距离等于半径，即Y==片=1,

Vl+a^

6

由a＞0,解得：a———,

3

故选：C.

8.将函数y=log2(2x+2)的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到

函数g(x)的图象，则g(x)=()

A.Iog2(2x+l)-1B.Iog2(2x+1)+1

C.Iog2%-1D.Iog2%

解：将函数y=log2(2x+2)的图象向下平移1个单位长度，

得至！Iy=log2(2x+2)-1,

再向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，

级g(x)=log2(2(X-1)+2]-l=log22x-l=l+10g2X-l=10g2X,

故选：D.

9.某中学举行“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类

节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目8至少有一个被选中的不

同选法种数是()

A.15B.45C.60D.75

解：根据题意，分3种情况讨论：

①A入选而B没有入选，有C3c52=30种选法，

②A没有入选而B入选，有C32c51=15种选法，

③A、B都入选，有C31c51=15种选法，

则有30+15+15=60种选法，

故选：C.

2222

10.如图，半椭圆三三=1(x20)与半椭圆三三=1(xWO)组成的曲线称为“果

abbc

圆”，其中屏=〃+/,”＞o,Qc＞0.A”上和Bi,B2分别是“果圆”与x轴，y轴的

交点.给出下列三个结论：

①位＜a＜版b；

②若万也|=|8|&|,则a：b：c=5：4：3；

③若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P,使得N4PA2=90°,则春＜£＜与1.

NaZ

其中，所有正确结论的序号是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

解：对于①，因为。2=房+3,〃>0,h>c>0,所以中2c2V2>，所以如cVqVj，/?,

所以①对；

对于②,因为HIA2|=B&|,所以2〃=c+m又因为〃2=从+/,所以3a2-2.C-5/=0,

于是(〃+c)(3a-5c)=0,所以包々，令。=53c=3tf则h=41,所以a：h：c=5：

c3

4：3,所以②对；

对于③，设尸③cos。,fesinQ),cos0G(0,1),AjP=(〃cos3+c,Z?sin0),A2P=(〃cos。

-a,Z?sin0),

因为N4i尸42=90°,所以，A〔P・A2P=。，所以(acosO+c)(tzcosG-a)+b2sin20=O,

令工一，则

a

cos0=-4----1,因为cosOe(0,1),所以0<17-尸V/2,解得工<t<近二，

12t22

所以③对；

故选：D.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数/(x)=siar+cosx的值域为_

冗

解：函数f(x)=sinx+cosx=^/2sin(x+-^-)0-料，

故答案为：[-&，&].

12.能够说明“若a,b,，*均为正数，则且私》上”是假命题的一组整数”，匕的值依次为

a-a

1,2(答案不唯一)

解：因为当mb,加均为正数时，^—<=>ab+amWba+bmoamWbm=aWb,

a+ma

所以“若mb,〃?均为正数，则立也〉上”是假命题的一组整数〃，人的值依次为1,2

a+ma

（只要4、6为整数且aW，即可）.

故答案为：1，2（答案不唯一）.

13.已知点P（xo,四）为抛物线C：炉=的上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3,

则1却=2后.

解：抛物线的准线方程，y=-1,

点尸（xo,yo）为抛物线C：r=4y上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3,

可得泗=2,所以xj=4yo=8,可得|xo|=2&.

故答案为：2&.

14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵

爽弦图”--由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所

示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一

个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在AABC中，若AF=\,FD=2,则AB=

713-.

解：△ABQ中，BQ=A尸=1,AO=AF+FC=1+2=3,ZAZ）B=180°-60°=120°,

由余弦定理得，AB2=AD2+BD2-2A£）«BD«COSZADB=32+12-2X3X1Xcosl200=13,

解得AB=J

故答案为：V13-

JTTT

15.函数/（x）是定义域为R的奇函数，满足fg-x）=f（彳+x），且当xe[0,TT）时,

sinx

f（x）=一5---------,给出下列四个结论：

X-兀x+兀

®f（1T）=0;

②口是函数/（X）的周期；

③函数/（元）在区间（-1,1）上单调递增；

④函数g（x）=f（x）-sinl（xG[-10,10]）所有零点之和为3m

其中，正确结论的序号是①③④.

解：对于①，因为/（71）=f2-）=f一^~）=/（°）=°，所以①对；

对于②，假设n是函数/（%）的周期，则f（苫-）二f（g），又因为f（x）是定义域为

TTTT1T

R的奇函数，所以f（号”-f（彳-），于是f（g）=O，

jr

与£自）之0矛盾，所以②错；

对于③，因为f'㈤'然行?二好生过-绽＞o,当x£［0,《）时成

（X*-冗X+冗）22

立，所以函数f（X）在［0,1）上单调递增，又因为/（X）是奇函数，

所以/CO在区间（-1,1）上单调递增，所以③对；

TTTTJT

对于④，由③知f（X）在区间［0,-y）上单调递，又因为满足f（F-x）=f（y-+x），

所以/1）关于》=今K对称，

/__/兀/3兀、、/兀/3兀、、_z、_兀/兀、、

f（x+2兀）x=f++x））=f（〒-（―+x））=-f£（n+x）=+

乙乙乙乙乙乙

JTJT

=-f（F--+x））=-/（-x）=f（x）,所以以2ir为周期，

在一个周期内函数g（x）=/（x）-sinl两个零点之和为n,

在L10,10］内有三个周期，所以所有零点之和为3m所以④对.

故答案为：①③④.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知数列｛%｝中，0=1,且满足.

（I）求数列｛小｝的通项公式；

（II）求数列｛a„+2"-'｝的前n项和S,,.

从①a"+i=2a“（〃€N*）；②a“+i-a”=2（〃6N*）；③。“+1+斯=2（〃€N*）这三个条件中选

择一个，补充在上面的问题中并作答.

解：选①。"+|=2%（«GN*）.

（I）因为an+i=2an（n€N*），

所以数列｛斯｝是以1为首项，2为公比的等比数列.

所以

rrlrrln1n

(II)an+2=2+2_=2>

所以数列｛an+2n■1｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

所以Sn=2坐泞-2X(2k1)=2"1-2.

选②斯+1-。〃=2(77GN*).

(I)因为&n+l-Hn=2(n€N*)，

所以数列｛〃〃｝是以1为首项，2为公差的等差数列.

所以如=1+(〃-1)X2=2n-1；

n-1n-1

(IDan+2=2n-l+2.

l

所以S“=(1+3+…+2n-1)+(1+2+…电x1)=n(l+2n-l)二？(k1g=〃2+2“_

n21-2

选③斯+1+斯=2OWN").

(I)因为an+i+an=2(n€N*)，

所以an+amiU2,(n>2,n€N*).

两式相减得an+「an_i=0，(n>2,n^N*)，

即a.i=an-i(n>2,n€N*).

又因为ai=a2=\,

所以数列｛斯｝是常数列.

所以数列｛%｝的通项公式为an=l(n£N*).

n-1n-1

(IDan+2=l+2.

所以S/加斗户”27.

n1-Z

17.某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月

后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：[30,

40),[40,50),…，[90,100],整理得到如图频率分布直方图.

根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：

满意度的分数[30,60)[60,100]

满意度的等级不满意满意

(I)从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意”的概率；

(H)用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以X表示这2人中

满意度的等级为“满意”的人数，求X的分布列和数学期望.

频率

解：(I)根据频率分布直方图可知，样本中［60,100］的频率为：(0.030+0.015+0.010+0.005)

X10=0.6,

所以从使用该软件的用户中随机抽取1人，其满意度的等级为“满意”的概率约为06

(II)用频率估计概率，则“满意”的概率为•!，“不满意”的概率为差.

55

X的所有可能取值为0,1,2.

p(x=o)⑹e)。鱼了嗡

P(X=l)=cJ(f)(|)4|^

P(X=2)=C消)2脩)。嗡

所以X的分布列为:

X012

p4129

252525

数学期望E(x)=ox熹+IX^+2X44

NJ3

18.如图，在多面体4BCOEF中，四边形ABCD和CDE尸都是直角梯形，AB//CD,CD//

jr

EF,AB=EF=1,DA=DC=DE=2,ZADE=ZADC=ZEDC=—,点M为棱CF上

一点，平面4EM与棱BC交于点N.

(I)求证：EC平面ABC。；

(II)求证：AE//MN-,

(Ill)若平面AEM与平面CCEF所成锐二面角的余弦值为工，求罂的值.

3FC

兀

【解答】(I)证明：因为NADE=NEDC*，

所以E£>_LA£>,EDLDC.

因为ADC3C=O,AD,DCc^ffiABCD,

所以EO_L平面A8CD..............

(II)证明：因为AB〃C£>,CD//EF,

所以AB〃EF.

因为AB=EF,

所以四边形ABFE是平行四边形.

所以AE〃BF.

因为AEC平面8CF,8Fu平面BCF,

所以AE〃平面BCF.

因为AEu平面AEM,平面4EMC平面BCF=MN,

所以AE〃MN..............

(Ill)解：因为EO_LAO,EDLDC,AD^DC,所以如图建立空间直角坐标系。-孙z,

>

由AB=EF=1,DA=DC=DE=2,

可知。(0,0,0),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),E(0,0,2),F

(0,1,2),

AE=(-2,0,2)，FC=(O,1,-2)

设市=入(0《入(1)，

re

则而二而+而二而+入而=(0,1,0)+入(0,1,-2)=(0,1+入，-2入)，

设：=(羽y，z)是平面4EM的法向量，

则值E=°,即厂x+z=。

mEM=01(1+入)y-2入z=0

所以7=(1+A,2入，1+A).

因为(1.0,0)是平面COE尸的法向量,

_nrn_1+入_______________2

所以cos<,

m|m||n|V(l+^)2+(2X)2+(l+X)23

因为ow入wi,解得xU-.

o

所以平面AEM与平面CDEF所成锐二面角的余弦值为苫时，黑

3FC3

19.已知函数f(x)=(x2-2ax)lnx±x2+2ax(aeR).

(I)若a=0,求/(x)的最小值；

(II)求函数f(x)的单调区间.

【解答】(本小题15分)

解：(I)函数/(x)的定义域为(0,+8).

若。=0,贝！If(x)=x2lnx-^x?，f(X)—Ixlnx,

令/(x)=0,得x=l,

随尤的变化，/CO,/(X)的变化情况如下表所示

X(0,1)1(1,+8)

f(X)-0+

/(X)单调递减极小值/(1)单调递增

所以4=0时，/(x)的最小值为f⑴=4..........................

(II)因为/(x)=20-4)Inx(x>0),

当“WO时，x-a>0,

令/(x)>0,得/nx>0,所以x>l,/(x)在区间(1,+8)上单调递增，

令/(x)<0,得/">0,所以0<x<l,/(x)在区间(0,1)上单调递减.

当0<a<l时，令/（x）=0,得》=1或》=〃，

随x的变化，f（x）,/（%）的变化情况如下表所示

X(0,〃)a(m1)1(1,+8)

f（X）+0-0+

/（X）单调递增/(«)单调递减/(I)单调递增

所以/（x）在区间（0,a）上单调递增，在区间（小1）上单调递减，在区间（1,+8）

上单调递增.

当a=\时，因为/（%）=2（x-1）/”x20,当且仅当x=\时，f（x）=0,

所以/（x）在区间（0,+8）上单调递增.

当（z>l时，令/（x）=0,得x=l或x=a,

随x的变化，/（x）,/（X）的变化情况如下表所示

X(0,1)1(1,a)a(4,+8)

f（X）+0-0+

f(x)单调递增/⑴单调递减/(«)单调递增

所以/（x）在区间（0,1）上单调递增，在区间（1,a）上单调递减，在区间（。，+8）

上单调递增.

综上所述，

当“W0时，/（x）的单调递增区间为（1,+8）,单调递减区间为（0,1）：

当0<〃<1时，/（%）的单调递增区间为（0,a）,（1,+8）,单调递减区间为（a,

1）;

当4=1时，/（X）的单调递增区间为（0,+8）,无单调递减区间；

当。>1时，f（x）的单调递增区间为（0,1）,（a,+8）,单调递减区间为（1,a）.

2-

20.已知椭圆C：2—+丫2=］过点（-1,0）的直线/交椭圆C于点A,B.

3丫

（I）当直线/与x轴垂直时，求HBI；

（II）在x轴上是否存在定点尸，使荏•神为定值？若存在，求点P的坐标及瓦•丽的

值；若不存在，说明理由.

解：（I）当直线/斜率不存在时，其方程为了=-1.

22,X=-1,X=-l,

-xz-+y2=l

由，o，得V6或，T

X=-1

所以|梯|=等・

(II)假设存在尸Cm,0),使瓦•而为定值•

①当直线/斜率存在时,

设直线/的方程为：y=k(x+1),A(xi,yi),B(X2,”)，

2Q2-n

由，X4y~'得(l+322)/+6Rx+3%2-3=0.

y=k(x+l)

则xE总3k2-3

=

xix2-l-+--3--k-F2

所以-

PA-PB=(X[-m,y1)•(x2m,y2)

=(xi-m)(%2-机)+92

=X]X2-m(x]+>2)+m2+k2(xj+1)(x2+l)

=X]X2-m(x]+乂2)+m2+k2x|X2+k2(x+x2)+k2

=(k2-m)(xj+x2)+(k2+l)x।X2+k2+m2,

「(k^-in)(-6k2)+(k：+l)(3k2-3)+(kO+m：)(l+Sk。)

l+3k21+3k21+3k2

_(3m2+6in+1)k2+IR2-3

l+3k2

22

若瓦•而为常数，只需3公普1一=气3,

R■■■■».........O

解得m=i7，此时PAPB=-^"-

0y

所以存在点p(一1•，0),使瓦.而为定值

o9

②当直线/与X轴垂直时,

不妨设A(-l,

当点P坐标为P(V，0)时，R^PB=(-l+y>娓、462

O37999

综上，存在点P(W，0),使通其为定值一......................

39

21.设数集S满足：①任意XWS,有无20；②任意羽yGS,有x+yWS或|x-y|wS,则称数集

S具有性质P.

(I)判断数集