2021年北京市房山区高考数学二模试卷（解析版）

2021年北京市房山区高考数学二模试卷

一、选择题(共io小题).

1.已知全集U={1,2,3,4},集合A=[xez](x-1)(x-3)WO},B={2,3},则Cu

(4UB)=()

A.{3}B.{4}C.{3,4}D.{1,3,4}

2.若复数z=（N+X-2）+（x-1）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数x的值为（）

A.1B.2C.-2D.1或-2

TT

3.在△ABC中，BC=6,A=—,sinB=2sinC,则△ABC的面积为（）

3

A.6MB.6C.9yD.4&

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）

俯视图

A.6B.10+273C.10+2旄D.16+2娓

5.某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s（万元）与机

器运转时间年数，reN*）的关系为s=-祥+23L64.要使年平均利润最大.则每台机

器运转的年数/为（）

A.5B.6C.7D.8

6.已知角a的终边经过点（3,4）,把角a的终边绕原点。逆时针旋转TT勺得到角B的终

边，则tanp等于（）

A.工B.—C.mD.—

3344

2

7.设Q,B是双曲线C：&--产=1的两个焦点，。为坐标原点，点P在双曲线C上，

且|OP|=|OFi|,则△PF1F2的面积为（)

53

A.—B.2C.—D.1

22

8.20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地

震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说

的里氏震级”，其计算公式为例=/gA-/gAo,其中A是被测地震的最大振幅，4是标准

地震的振幅.2008年5月12S,我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订

后的震级为里氏80级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（）

A.1002B.10°2C.Ig—D.—

3939

lnx,x>0

9.“a<0”是“函数/（x）=〈,有且只有一个零点”的（）

-2x+a,x<0

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了以“重温时代经典，唱响回声喷亮”为

主题的“红歌”歌咏比赛.该校高三年级有1,2,3,4四个班参加了比赛，其中有两个

班获奖.比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同

学说：“2班没有获奖，3班获奖了"，丙同学说：“1班，4班中有且只有一个班获奖”，

丁同学说：“乙说得对”.已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是（）

A.乙，丁B.甲，丙C.甲，丁D.乙，丙

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数y=sin2xcos2x的最小正周期是.

12.若三个点M（3,2加），M（2,2«）,Q（3,-2五）中恰有两个点在抛物线/

=2px上,则该抛物线的方程为.

13.已知（l+2x）"的展开式中，二项式系数之和为32,则各项系数之和为.

14.已知单位向量Z，E的夹角为60。，之-火石与石垂直，则忆=.

15.设过定点M的直线/i：x+my-3"?-1=0与过定点N的直线/2：-y-3"?+1

=0相交于点P,线段AB是圆C：（x+1）2+（y+1）2=4的一条动弦.且|AB|=2&.给

出下列四个结论：

①一定垂直，2；

②IPM+IPNI的最大值为4；

③点P的轨迹方程为（X-2）2+（y-2）2=1；

④I市+而I的最小值为4&.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.如图，在四棱锥中，底面A8CQ是矩形，点E为PC的中点，PA_L平面ABCD,

AB=2,AD=2&,PA=2.

(I)求证：CD±PD；

(II)求异面直线8C与AE所成角的大小.

17.已知数列｛斯｝是一个公比为夕S>0,产1)的等比数列，G=1,，是数列｛”“｝的前〃

项和，再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：

(I)求数列｛斯｝的通项公式；

(n)令d=210g2%-7,求数列｛仇)的前n项和G的最小值.

条件①：4G,3B,2〃4成等差数列；

条件②：Sn—2an-1；

条件③：53=7.

18.为了提高中小学生的身体素质，某地区开展了中小学生跳绳比赛系列活动.活动结束后，

利用简单随机抽样的方法，抽取了部分学生的成绩，按照不同年龄段分组记录如表：

组别男生女生

合格不合格合格不合格

第一组90108020

第二组88127228

第三组60405842

第四组80206238

第五组82187822

合计400100350150

假设每个中小学生跳绳成绩是否合格相互独立.

(1)从样本中的中小学生随机抽取1人，求该同学跳绳成绩合格的概率；

(II)从该地区众多小学的男生、女生中各随机抽取1人，记这2人中恰有X人跳绳成

绩合格，求X的分布列与数学期望；

(III)假设该地区中小学生跳绳成绩合格的概率与表格中该地区中小学生跳绳成绩合格

的频率相等，用“&=1”表示第左组同学跳绳成绩合格，"*=0”表示第左组同学跳绳

成绩不合格(％=1,2,3,4,5),试确定方差。日，仇2,。奉，仇4,中哪个最大？

哪个最小？(只需写出结论)

19.已知函数=e'cosx,g(x)=ax.

(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

jrjr

(II)设尸(x)—g(x)-f(x),当a^O时，求函数F(无)在区间[——，——J上的最

42

大值和最小值；

JTJT

(III)当x曰今，时，试写出一个实数。的值，使得y=/(x)的图象在y=g(x)

42

的图象下方.(不需要说明理由)

20.已知椭圆C：三，1=1(a>h>0)的离心率为《，。为坐标原点，F是椭圆C的右

a,b?2

焦点，A为椭圆C上一点，且Adx轴，

(I)求椭圆C的方程；

xnxyny

(II)过椭圆C上一点P(xo,yo)(yoWO)的直线/：多--^=1与直线AF相交

|MF

于点M,与直线x=4相交于点N.证明:为定值.

INF

21.已知数集A={ai,az,。3,…，an}(1WaiVa2Va3V…V斯，nGN*).如果对

任意的i,j(1WiW/W〃且i,j,z?GN*),的勾与一•两数中至少有一个属于A,则称数集

%

A具有性质P.

(I)分别判断数集{2,3,6},{1,3,4,12}是否具有性质P,并说明理由；

(II)设数集A={ai,az,。3,…，an](1WaiVa2Va3V…V。”,心2,neN*)具有性

质p.

①若“N*(&=1,2,3,…)，证明：对任意(i,"6N*)都有防是斯的因数;

22

②证明：a^—a^^ar'ai-...an.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共4()分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.已知全集U=n，2,3,4),集合A={xeZ|(X-1)(X-3)WO},B={2,3},则Cu

(4UB)=()

A.{3}B.{4}C.{3,4}D.{1,3,4}

解：*/U={1,2,3,4},A={X€Z|1WXW3}={1,2,3},B={2,3},

2,3},Cu(AUB)={4}.

故选：B.

2.若复数z=(x2+x-2)+(x-1)/(/为虚数单位)为纯虚数，则实数x的值为()

A.1B.2C.-2D.1或-2

解：因为z=(x2+x-2)+(x-1)i(i为虚数单位)为纯虚数，

f

所以卜9+x-2=0,

,x-17^0

解得x=-2.

故选：C.

TT

3.在△ABC中，BC=6,A=—,sinB=2sinC,则△ABC的面积为()

3

A.673B.6C.9yD.4&

TT

解：VsinB=2sinC,A=,

3

.•.sin8=sin(-C)=sin(-+C)=^^cosC+工inC=2sinC,

3322

解得：tanC=1,故C=3，

36

JT

又BC=6,.*.AB=2A/3,

.•.S"8C="1・AB・BC=6“,

故选：A.

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()

俯视图

A.6B.I0+2A/3C.10+2旄D.16+2娓

解：该几何体是一个直四棱柱，底面为直角梯形，斜腰长为｛（2-]）2+22二遥,底面周

长为2+2+1+后=5+\后，

该直四棱柱的侧面积为2X（5+75）=10+275-底面积为（2+&X2=3,

因此，该几何体的表面积为10+2&+2X3=16+2泥.

故选：D.

5.某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s（万元）与机

器运转时间，（年数，/€N*）的关系为s=-P+23/-64.要使年平均利润最大.则每台机

器运转的年数£为（）

A.5B.6C.7D.8

2

解：由已知可得年平均利润为z=.=-t+32t-64一旭（z>0）,

tt弋t3

所以Z=-（f+等）+23<闻讣号+23=-16+23=7,

当且仅当呼=t，即r=8时取等号，

此时年平均利润的最大值为7,

故选：D.

6.已知角a的终边经过点（3,4）,把角a的终边绕原点O逆时针旋转万得到角0的终

边，则tan（3等于（）

解：因为角a的终边经过点（3,4）,

,4

则tana=1,

ir兀

把角a的终边绕原点O逆时针旋转下得到角p的终边，则p=a+—,

JCO

所以tanp=tan(a+-^-)=-cota=-

故选：C.

2

7.设Q,B是双曲线C产=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，

3

且QP|=QFi|,则△PFiB的面积为()

53

A.—B.2C.—D.1

22

解：由题意可得b=i,c=2,

・・・历尸2l=2c=4,

•：\OP\=\OFI\,

：.\OP\=^\FIF2\,

.♦.△P自尸2为直角三角形，

PF}±PF1,

...|PFi|2+|P尸2|2=4Q=16,

•.•||PF||-m\=2a=2y/3'

.♦.|P尸IF+|PB|2-2|尸尸1|・|尸局=12,

...|PFI|・|PB|=2,

:.△PF1F2的面积为S3呐・％|=1,

故选：D.

8.20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地

震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说

的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgA0,其中A是被测地震的最大振幅，4。是标准

地震的振幅.2008年5月120,我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订

后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为()

A.10aB.IO02C.lg—D.—

3939

AA

解：由-/gAo可得知=/夕+，即丁=10%A=Ao・lO".

A0A0

当M=8时，地震的最大振幅为4=AO・1()8,

当M=7.8时，地震的最大振幅为A2=AO・1O7$,

A.An-108

所以，两次地震的最大振幅之比是==108-7.8=]00.2.

A78

2AO-1O-

故选：B.

lnx,x>0

9.“aWO”是“函数/(x)=4,有且只有一个零点”的()

-2x+a,x<0

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：当x>0时，令=0,贝IJ阮t=0,.,.x=l,

.•.当x>0时，/(x)有一个零点为1,

•.•函数f(x)只有一个零点，

••.当xWO时，/(x)=-2*+。无零点，即或。<2*,

：当xWO时;2^6(0,1],.,.”>1或aWO,

.,.“W0是函数/(x)只有一个零点的充分不必要条件，

故选：A.

10.为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了以“重温时代经典，唱响回声喷亮”为

主题的“红歌”歌咏比赛.该校高三年级有1,2,3,4四个班参加了比赛，其中有两个

班获奖.比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同

学说：“2班没有获奖，3班获奖了"，丙同学说：“1班，4班中有且只有一个班获奖”，

丁同学说：“乙说得对”.已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是()

A.乙，丁B.甲，丙C.甲，丁D.乙，丙

解：假设乙的说法是正确的，则丁也是正确的，那么甲，丙的说法都是错误的，

由丙的说法错误可知，1班，4班都获奖或1班，4班都没有获奖，与乙的说法正确矛盾，

所以乙的说法是错误的，则丁也是错误的，所以2班获奖，3班没获奖，

进而推断出I班，4班中有且只有一个班获奖，所以丙的说法正确，

要使甲的说法也正确，则获奖的班级为2班，4班，

故选：B.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

JT

11.函数y=sin2xcos2x的最小正周期是——

解：函数y=sin2xcos2x=/sin4x，

9JT兀

A®^ky=sin2xcos2x的最小正周期是-=丁.

42

7T

故答案为：—

12.若三个点M（3,2加），M（2,2小§）,Q（3,-2娓）中恰有两个点在抛物线/

=2px上,则该抛物线的方程为丫2=8》.

解：因为抛物线C：尸=23关于x轴对称，

M（3,2、后），M（2,2、行），Q（3,-2灰）两点在C上，只能是M、。两点，

代入坐标易得p=4,所以抛物线C的标准方程为y2=8x.

故答案为：y2—8x.

13.已知（l+2x）"的展开式中，二项式系数之和为32,则各项系数之和为243.

解：；（l+2x）"的展开式中，二项式系数之和为2"=32,...“=5,

再令x=l,可得各项系数之和为3"=35=243,

故答案为：243.

14.已知单位向量谕夹角为6。。，/砧谗直’则I1•

解：・.•两个单位向量二E的夹角为6。°，之-女卫与芯垂直，

・・（a-kb）*b=a珞?

=1x1xcos600-k义1=0,

解得k=±.

故答案为：

15.设次ER,过定点M的直线/i：-31=0与过定点N的直线/2：iwc-y-3/n+l

=0相交于点尸，线段AB是圆C：（x+1）2+（＞1）2=4的一条动弦.且|AB|=2页.给

出下列四个结论：

①4一定垂直，2；

②IPM+IPNI的最大值为4；

③点P的轨迹方程为（X-2）2+（y-2）2=1;

④I苏+丽I的最小值为4&.

其中所有正确结论的序号是①②.

解：直线/i：x+〃?y-3〃？-1=0与，2：-y-3，*+1=0垂直，满足1•，*+/«•(-1)=0,

所以①正确；

/2过定点/(3,1),/i过定点N(1,3),

在中，设NPMN=6,

JT

贝U|PM|+|PN|=2点cos8+2亚sin8=4sin(8+~“)<4，所以②正确；

I±1PM-PN=O>可得点尸轨迹方程为(x-2)2+(y-2)2=2(x=3).所以③不正确；

作贝UCD=&，

.,.点。轨迹方程为(x+1)2+(>+1)2=2.

v|PA+PBl=2|PDI-|而|的最小值为加，

，1m+而I的最小值为2丁5，所以④不正确.

故答案为：①②.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.如图，在四棱锥尸-48CO中，底面A8C。是矩形，点E为PC的中点，PAL平面ABCD,

AB=2,AD=2近,PA=2.

(I)求证：CDLPD；

(II)求异面直线8c与AE所成角的大小.

解：(I)证明：；在四棱锥P-ABC。中，底面A8CZ)是矩形，点E为PC的中点,

PA_L平面ABC。，

：.CD±AD,CD1PA,

•：PAP\AD=A,PA,AQu平面PA。,

，CDJ_平面PAD,

•.•POu平面PAO,:.CDLPD；

(II)以4为原点，AB为x轴，4。为)，轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

则B(2,0,0),C(2,2近,0),A(0,0,0),P(0,0,2),E(1,料，1),

BC=(。，2&，0),AE=(1，版,1)，

设异面直线BC与AE所成角为0,

辰•瓦|_4_如

则COS0

|BC!•|AEI2&2

TT

...异面直线BC与AE所成角为一1.

4

17.已知数列｛%｝是一个公比为q(q>0,qWl)的等比数列，671=1.S”是数列｛分｝的前"

项和，再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：

(I)求数列｛斯｝的通项公式；

(II)令瓦=21og2。"-7,求数列｛d｝的前n项和T"的最小值.

条件①：4a2,3a3,2a4成等差数列；

条件②：S.=2斯-1；

条件③：53=7.

解：（I）选条件①，设数列的公比为q,由于4a2,3a3,2a4成等差数列;

a1=l

所以4，整理得6炉=4q+2g3,

6a3=4a2+2a4

解得q=2或1（舍去），

所以an=aiqnT=2n1

选条件②:Sn=2an-10；

当〃=1时，«1=1,

当”22时，5“一1=2。“一1-1②

所以①-②得：a„-2an-\，

故数列｛%｝是以1为首项,2为公比的等比数列,

所以an=aiqnT=2nT，（首项符合通项），

所以an=2kl

选条件③：5.3=7.

al=1

a1=1

所以4，整理得1ai(1-q3)

S=7

3S=7

l-q

解得4=2,

所以an=2kl

(II)令bn—2log2On-7=2(»-1)-7=2〃-9,

n(-7+2n~~9)2

所以Tn=bi+b2+...+b„=-n(n-8)=(〃-4)-16,

2

当〃=4时，最小值为-16.

18.为了提高中小学生的身体素质，某地区开展了中小学生跳绳比赛系列活动.活动结束后,

利用简单随机抽样的方法，抽取了部分学生的成绩，按照不同年龄段分组记录如表:

组别男生女生

合格不合格合格不合格

第一组90108020

第二组88127228

第三组60405842

第四组80206238

第五组82187822

合计400100350150

假设每个中小学生跳绳成绩是否合格相互独立.

(I)从样本中的中小学生随机抽取1人，求该同学跳绳成绩合格的概率；

(II)从该地区众多小学的男生、女生中各随机抽取1人，记这2人中恰有X人跳绳成

绩合格，求X的分布列与数学期望；

(III)假设该地区中小学生跳绳成绩合格的概率与表格中该地区中小学生跳绳成绩合格

的频率相等，用“&=1”表示第火组同学跳绳成绩合格，"&=0”表示第后组同学跳绳

成绩不合格(k=l,2,3,4,5),试确定方差。日，比2,a3,中哪个最大？

哪个最小？(只需写出结论)

解：(I)设事件A为“从样本中的中小学生随机抽取1人，该同学跳绳成绩合格”，

样本中男生跳绳成绩合格的有：90+88+60+80+82=400人,

样本中女生跳绳成绩合格的有：80+72+58+62+78=350人,

样本中男、女跳绳成绩合格的共有：400+350=750人,

样本中的男生总人数为：400+100=500人,

样本中男、女生总人数为：500+500=1000,

所以P(A)_400+350_3

―500+50。—W

(II)设事件B为“从该地区众多中小学的男生中随机抽取1人，该生跳绳成绩合格”，

则P⑷=黑=4，

5005

设事件C为“从该地区众多中小学的女生中随机抽取1人，该生跳绳成绩合格”，P(C)

_350二7

―500=10'

由题意可知，X的可能取值为0,1,2,

则p(x=0)=P(BC)=P(B)P(C)=(1-4)X(l--^-)=X

D1UDU

P(X=1)=P(BCUBC)=P(B)P(C)UP(B)P(C)=(1^)X-^--4X(『《)=

D1UDiU

19

而‘

P(X=2)=P(BC)=P(B)P(C)^4-X-7*-=-1^4,

oluZb

所以x的分布列为：

X012

p31914

505025

所以X的数学期望E(X)=0XA+1X-^+2X-^=-1：

5050252

(in)诙最小，。章最大.

19.已知函数/(x)=evcosx,g(x)=ax.

(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(O))处的切线方程；

TTTT

(II)设F(x)=g(x)-f(x),当时，求函数F(X)在区间［——，二丁］上的最

42

大值和最小值；

K兀

(III)当x日丁，-丁］时，试写出一个实数。的值，使得y=/(x)的图象在y=g(x)

42

的图象下方.(不需要说明理由)

解：(I)(x)=ev(cosx-sinx),k=f(0)=1,

又•・・/(())=1,

・•・切点坐标为(0,1),

・,・曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为：y=x+l.

(II)F(x)=ax-e'cosx,

：.F(x)=a-^cosx+e'sinx=(sinx-cosx)

、i/尸「TTTT_兀厂「八TT_nr-xf兀、、八

当工€［丁"，范一时'x——€［0,瓦-}此时如esin(x--j-)

又•・•心0,:・F又)20,

ITTT

：.F(x)在区间［勺，上单调递增，

42

JT

_万/兀、_兀az\_□，兀、一兀a、万~~r~

•♦F(X)max-F(——)---——，F(X)min—F(一-~)------.、乙4.

22442

JTJT

(III)a=2V2T+1.(写出。>马反丁的任意一个实数即可).

兀e兀e

221

20.已知椭圆C：今亮=1(4>b>0)的离心率为《，。为坐标原点，尸是椭圆C的右

a'b，2

Q

焦点，A为椭圆C上一点，且AFJ_x轴，

（I）求椭圆C的方程；

xxyy

（II）过椭圆C上一点尸（xo,W）（yo#O）的直线/：浸n-1^n-=1与直线AF相交

|MF

于点M,与直线x=4相交于点N.证明:为定值.

INF

解：(I)设F(c,0),A(c,yo)>则—+215—=1,

a2b2

又因为金3所以|y0|孝b，

因为|AF|V,

所以回|=■，解得b=V^，

(2八2工2

…+。卜天

由，—=—,解得b=A^3>

a2

b=V3lc=1

22

所以椭圆方程为“上=1；

43

（II）证明：由（I）知直线/的方程为誓/^1=1（丫0卢°）,即

12-3XQX

7-4yo(y0卉0)，

因为直线4尸的方程为x=l,

.12-3Xn

所以直线/与AF的交点为M(l,------

4yo

.3-3x0

直线/与直线x=4的交点为N(4,------),

y。

12-3Xn

29

(------9

IMF124yo'(4-Xn)

则」=-------y-----=------------------①

222

|NF|.J』。)216y0+16(l-x0)

y0

22Q2

又尸(xo,yo)是C上一点，则x。十y。X