卷积运算及算法实现

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现将x(t)现将x(t)和h(t)在0到t的区间用宽度为的矩形脉冲来近似的代替(显然A越小，逼近的精度越高，每一个矩形脉冲的高度分别等干该脉冲前沿的函数1—21—31--41—5值.也就是说，用阶梯形曲线x(t)近似地代替x(t)的曲线，用h(t)近似的代替h(t)(如图1—4)。每一个矩形脉冲可用阶跃函数鄙视如下表2—11—21—31--41—5短形脉冲序号阶跃函数表示式1碰)2X(A)[u(t-A>u(t-2A)]3*.,0A)[n(t-2A>n(t.3A)]»rNxRN-1)A][u(l^M4)A)-u(t-MA)]表3-1-2,短形脉冲序号阶跃函数表示式1岫心2XA)[u(t・白)-u(t-2A)]3rh(2A脚以A>u(t-3A)]VVNh[(N-l)&][u(t-(N-l)△>n(t-NA)]表达式又可以写成如下形式：X(t)二」…■h(t"E「""*皿i对式(2)求微分有：X(t)二」I")"I•"设t=k*令H(t)=•「"："I 顷顷”纣."mF-、

1——5x(t),(b),睥分h(t)的微积分1——5x(t),(b),睥分h(t)的微积分j或哄奶)-mA]kA1——6x(t),h由y(t)=x(t)夫h(t)=x'夫H(t)得到Y(kL)=.」'•*)",•州(t)的卷积过程1-6由图1-6(a)可以看出如果计算从t=0至t=k・\的N点的x(t)和h(t)的卷积，需要H(t)和x’ (t)对应的个点分别相乘，由于H(t)和x’(t)也为N点序列，所以共需要N2所以共需要N2次乘法，属于有效乘法，因为按照卷积定义直接计算也是N2次乘法.3,什么是斜梯函数？所谓斜梯函数，表现为一条折线的形式，用诸如at+b形式的段组合在一起表示的函数。图3——1给出了输入函数为斜梯函数的例子。3——1其中f(t)=t[u(t)——u(t——1)+u(t——1)+(0。5t+0。5)[u(t-1)-u(t-2)]+(——1.5t+4。5)[u(t——2)-h(t)=3t[u(t)——u(t-1)+(——t+4)[u(t-1)——u(t-2)]+(——2t+6)[u(t——2)u(t——3)](完整)卷积运算及算法实现根据卷积的性质，上述f(t)和h(t)的卷积等于f(t)的二次导数与h(t)的二重积分的卷积【1】，即：由于f(t)为斜梯函数，因此其导数变为阶梯函数由于f(t)为斜梯函数，因此其导数变为阶梯函数u(t)及其延时的线性组合，W) 一＜：=u(t)-0。5u(t-1)—2u(t-2)，如图3—2(a)所示.3—23—3斜梯函数的二次微积分3—3斜梯函数的二次微积分假设要计算任意函数的卷积：y(t)=x(t)夫h(t)其中x(t)，h(t)可谓无限长，分别如图3—4(a)，由于h(t)也为斜梯函数，所以其积分也能方便的求得,其值为折现函数图象下方的面积，记作为h(-i)(t),如图3—2(b)所示.此时已经与阶梯函数卷积计算方法类似了，只是对于h(—i)(t)其为一二次曲线，继续求积分比较困难，实际应用中其可以用折现计算，从而引入一定的误差,这也是采用次逼近所付出的代价.接下来对f(t)和h(-i)(t)再次进行微分与积分处理，则f’’(t)变为冲击脉冲序列，如图3—3(a)所示，h(—2)(t)用对应折线下的买年纪也可算得对应如图3—3(b)所示.(b)所示。

3—4连续时间函数3—4连续时间函数对上述x(t)和h(t)，用宽度为•'的梯形脉冲函数逼近，x(t)和h(t)就转化为斜梯函数,顾客用折现函数及其延时的线性组合表示，如图3—4(a)，(b)中虚线所示。yw产(OnI-x(inA)x(t)= t+c][u(t-ml)—u(t-(m+1)「I 2-2....j---11h(t)=J：」 ,t+c][u(t-n：)—u(t—(n+1)2-3(t)二稣-oLi t+c1][u(t—m^)—u(t—此处c1c2(t)二稣-oLi t+c1][u(t—m^)—u(t—对式子2—2,求微分有：x(m+1) 2—4设t=k、|」.；..匚勺匚技=：2—5RhQu)dT=奇二如(nA)+h(n+1)A-2—5则x’(t)和h'(t)如图2-5(a)，(b)所示:3-5斜梯函数的一次微分与积分X’’(t)3-5斜梯函数的一次微分与积分X’’(t)业"如FFH次皿®-mA)2—6H(—2)(t)二l2[2(n-1)h(0f"5 2—7式2—6,2—7如下图3-6所示.

3—6斜梯函数的二次额积分3—6斜梯函数的二次额积分令H(k”=h(-2)(t)，(a)(x(mA)-x((zn-l)A))H(iA-髀司的波形2—7 x(t)和h(t)的卷机过程由y(t)=x(t)夫h(t)=x'’(t)夫H(t)得丫(局)4 卜心―in—由图2—7可以清楚的看出如果计算从0到k*的也为N点序列，所以共需要N2次乘法，属于有效算法。四、设计过程假设有有一DSP系统，如果激励信号的的波形如图4—1所示，定义的时间区间是(t。，，t)，i表示从t。到t之前的任意时刻。对于任意输入信号的作用，可以看成是一系列具有相同宽度的矩形脉冲用近似表示e(丁)。把时间区间(t。，t)分成相等的几段，每段宽度为△，即ti-t0=t2—ti=tk+i—tk=-^。因此e(i)可以用图中的阶梯曲线来近似表示，即可以看成是一系列的矩形脉冲的合成。这一系列的矩形脉冲可以通过单位脉冲函数和延迟的单位脉冲函数，即PE)和P疽小)来表示.因此可以用上述矩形脉冲表示e(顷1「e（二，'〔：）PW—t）L+e（t）P，\（i-t）■'■.+e（t）P'（〔一t）'+0 0 1 1 2 2(完整)卷积运算及算法实现…e(t「PA(t-？△+…e(t1)PA(-t1)A2——9Z4(L)M(T-灶"2——94—1轮)4—1轮)的阶梯垠近似描述输入信号Pm)后，其响应为卜⑴对每一延迟的矩形脉冲P"••),在时刻t观察到的相应的响应应为品(t—t)，e(tk)PA(」t,饵iM「i疽i」"侦e(t「hA(~t,E所以2-9式的输出信号应该为：' ' ' '广L=，、"」't-t)兰为了保证eCO的阶梯矩形近似更接近真实e(T),令to到t区间的脉冲数不断增加.当tT-尸时，I」，每个单位矩形脉冲变成冲击函数,°h'变成了冲击函数h,el变成了原来的激励eC)，响应「"脂肋;ill"3、t),同时上式的求和也变成了积分，tk变成了连续变量、日.”戊「己，于是有r(t)」"ME)上其中to为任意激励施加的时刻，t为待求响应对应的时刻.特别的，当to=o时，有r(t)=「M— 2-10式子1-10所示的积分就是卷积的积分。因此，只要知道系统的冲击响应，对于任意的激励信号e(t)的作用，都可根据卷积的积分求出响应。对于更为复杂的二阶系统，运用这种方法更能看出其优势，由于计算过程大致类似，我们应用MAT