中考数学复习之考点题型全归纳与分层精练（全国通用）：专题31 与圆有关的计算(原卷版)

专题31与圆有关的计算【专题目录】技巧1：圆与相似三角形的综合技巧2：用三角函数解与圆有关问题技巧3：圆与学科内知识的综合应用【题型】一、求多边形中心角【题型】二、已知正多边形中心角求边数【题型】三、正多边形与圆【题型】四、利用弧长公式求弧长、圆心角、半径【题型】五、扇形面积的相关计算【题型】六、圆锥侧面积的相关计算【考纲要求】1.掌握弧长和扇形面积计算公式，并能正确计算．2.运用公式进行圆柱和圆锥的侧面积和全面积的计算．3.会求图中阴影部分的面积.【考点总结】一、弧长、扇形面积的计算1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝.2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝eq\f(nπr2,360)或S＝eq\f(1,2)lr.【考点总结】二、圆柱和圆锥1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长，宽等于圆柱的高h.如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.2．圆锥的轴截面与侧面展开图：轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．因此圆锥的侧面积：S侧＝eq\f(1,2)l·2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.【考点总结】三、不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．【技巧归纳】技巧1：圆与相似三角形的综合1.【中考·衢州】如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是()A．3B．4C.eq\f(25,6)D.eq\f(25,8)(第1题)(第2题)2．【中考·南通】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为()A．2.5B．2.8C．3D．3.23．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为()A．3B．2eq\r(3)C.eq\r(21)D．3eq\r(5)(第3题)(第4题)4．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．5．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是________．(第5题)(第6题)6．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB，其中正确结论的序号是________．7．【2017·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.(1)求证：直线DM是⊙O的切线；(2)求证：DE2＝DF·DA.(第7题)8．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PBPC＝12.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD＝3，求△ABC的面积．(第8题)技巧2：用三角函数解与圆有关问题一、选择题1．如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3，AC＝4，则sinB＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(2,3)(第1题)(第2题)2．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，那么cos∠AEB的值为()A.eq\r(3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)3．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝eq\f(4,5).⊙O过B，C两点，且⊙O的半径r＝eq\r(10)，则OA的长为(A．3或5B．5C．4或5D．4二、填空题4．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.(第4题)(第5题)5．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cosE＝________.6．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A，B重合)，则cosC的值为________．(第6题)(第7题)7．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝_______.三、解答题8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝eq\r(5)，tanB＝eq\f(1,2)，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D，E，得到eq\o(DE,\s\up8(︵)).(1)求证：AB为⊙C的切线；(2)求图中阴影部分的面积．(第8题)9．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.(1)求证：DC＝DE；(2)若tan∠CAB＝eq\f(1,2)，AB＝3，求BD的长．(第9题)技巧3：圆与学科内知识的综合应用【类型】一：圆与三角函数的综合1．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N.(1)求证：∠ADC＝∠ABD；(2)求证：AD2＝AM·AB；(3)若AM＝eq\f(18,5)，sin∠ABD＝eq\f(3,5)，求线段BN的长．(第1题)【类型】二：圆与相似的综合2．如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点P在eq\o(AB,\s\up8(︵))上移动，P，C分别位于AB的异侧(P不与A，B重合)，△PCD也为直角三角形，∠PCD＝90°，且Rt△PCD的斜边PD经过点B，BA，PC相交于点E.(1)当BA平分∠PBC时，求eq\f(BE,CD)的值；(2)已知AC＝1，BC＝2，求△PCD面积的最大值．(第2题)【类型】三：圆与二次函数的综合3．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C(－2，0)，D(－8，0)两点，与y轴相切于点B(0，4)．(1)求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式．(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切．(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF的面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．(第3题)【题型讲解】【题型】一、求多边形中心角例1、正六边形的边长为4，则它的面积为（）A． B． C． D．例2、如图，是中心为原点，顶点，在轴上，半径为4的正六边形，则顶点的坐标为（）A． B． C． D．【题型】二、已知正多边形中心角求边数例3、若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（）A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十八边形例4、一个半径为3的圆内接正n边形的中心角所对的弧等于，则n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【题型】三、正多边形与圆例5、半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）A．abc B．bac C．acb D．cba例6、如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）

A． B． C． D．【题型】四、利用弧长公式求弧长、圆心角、半径例7、如图，是的直径，是弦，点在直径的两侧．若，，则CD的长为（）A． B． C． D．例8、一个扇形的圆心角为，扇形的弧长等于则该扇形的面积等于（）A． B． C． D．例8、若扇形的圆心角是，且面积是，则此扇形的弧长是（）A． B． C． D．【题型】五、扇形面积的相关计算例9、如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（）A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2例10、如图，在⊙O中，，，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【题型】六、圆锥侧面积的相关计算例11、一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100π B．200π C．100π D．200π例12、用一个半径为面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（）A． B． C． D．例13、如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）．A． B． C． D．与圆有关的计算（达标训练）一、单选题1．已知圆内接正六边形的半径为则该内接正六边形的边心距为（

）A． B． C． D．2．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（

）A．72° B．60° C．48° D．36°3．我国魏晋时期的数学家刘徽发现在圆的内接正多边形边数加倍的过程中，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，他首创了利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为（

）A．正负术 B．方程术 C．割圆术 D．天元术4．公元263年，我国数学家利用“割圆术”计算圆周率．割圆术的基本思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．随后，公元480年左右，我国另一位数学家又进一步得到圆周率精确到小数点后7位，由此可知，这两位数学家依次为（

）A．刘徽，祖冲之 B．祖冲之，刘徽 C．杨辉，祖冲之 D．秦九韶，杨辉5．下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（

）A． B． C． D．6．如图，将正六边形放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B．C． D．7．如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，，当时，下列说法错误的是（

）A． B．C． D．与相等8．若正六边形的边长等于4，则它的面积等于（

）A． B． C． D．二、填空题9．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为_____°．10．一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．三、解答题11．如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．(1)在图1中的边上求作点，使；(2)在图2中的边上求作点，使．与圆有关的计算（提升测评）一、单选题1．如图，工人师傅准备从一块斜边长为的等腰直角材料上裁出一块以直角顶点为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥接缝处忽略，则圆锥的底面半径为（）A． B． C． D．2．如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点D，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．3．如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．4．如图，中，，点是边上的一点，与、分别相切于点、，点为上一点，连，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积是（）A． B． C． D．5．把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（）A．1 B．2 C． D．26．如图1所示的正六边形（记为“图形”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形”），作出图形的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；②把图2中空白部分记作“图形”，则图形的周长之比为3：2：；③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O上任意一点的最大距离为4+．以上结论正确的是（）A．②③ B．①③ C．② D．①7．如图，正五边形内接于，过点作的切线交对角线的延长线于点，则下列结论不成立的是（

）A． B． C． D．8．如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线扫过的面积（阴影部分面积）之比是（

）A．