2021届昌都市第一高级中学高三第一学期期末考试数学（理）试卷及答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合4=田3--4》+1《0},3=14%—320},则AD8=（B）

2.复数女」的共辗复数是（C）

1-2/

33

A.--iB.-iC.-iD.i

55

3.已知一个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为半径r=2的同样的圆，则这个几何体的体

积、表面积分别为（D）

A.—16B.8"16乃C.167r----D,---167r

3'''33'

4.已知等差数列｛%｝满足4=—4,4+。6=16,则它的前10项和山。等于(C)

A138B.25C.23D.21

5.若双曲线「一5=1（〃＞0力＞0）的一条渐近线经过点（3,-4）,则此双曲线的离心率为

ab

(A)

五

A-

33

6.已知函数/（x）=〉］则/伽8.〃）的值为（A)

AlB.2C.3D.9

7.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松

日自半松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入

的分别为5,2,则输出的〃等于（A）

A.4B.5C.6D.7

8.设公比为4。＞0）的等比数列{/}的前"项和为S„，若S2=3%+2,

S4=34+2,则为等于（D）

12

A.—B.—C.—2D.—1

23

9.函数五的=岩的图象大致为（A）

10.设正方体ABOAiBiCq的棱长为2,则点口到平面AiBD的距离是(D)

A.叵B.叵C.巫D.巫

2233

答案D

解析如图，以点。为坐标原点，DA,DC,。口所在直线分别为x轴,

y轴，z轴，建立坐标系，

则。(0,0,0),01(0,0,2),4(2,0,2),5(2,2,0),

加=(2,0,0),加=(2,2,0),法|=(2,0,2),

设平面的一个法向量”=(x,y,z),

n-DAi—0,

则，

.n-DB=0,

(2x+2z=0,

|2x+2y=0,令z=1,得"=(—1,1,1)-

I万篇“I22小

ADi到平面AiBO的距离d=

l«l~y[3~3-

II.抛物线V=2pMp>o)的焦点为F，已知点为抛物线上的两个动点，且满足

120°,过A3的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则以丝的最大值

AB

为(C)

答案C

解析过A,8分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为Ai,Bi,“二：f

由题意知|MN|=g(|A4|+|BBi|)=/|AQ+山F|),

0\、F\

在△AFB中，lAB/fAW+iBfV-ZIAFIIBFbcos120。

=\AF\1+\BF]1+\AF]\BF],

2!|4-2+|8r]2+2依内由于

©=『|Af]2+|BQ2+|AF||8F|

|4F|2+|B尸|2+隰臼8只

岩1+曲+3+]小(1+上得，

\\BFV\AFVJ4\Z十J

当且仅当|4月=逐回时取等号，.•.舞的最大值为#.

\r\D\D

12.若x=-2是函数/(6=(--ax-JeXT的极值点，则/(x)的极小值为()

AlB.-\C.-2e~3D.5e~3

答案B

解析函数八月二年+依一l)e「i,

则f(x)=(2x+a)e*r+(/+初一]把厂।

=/1[/+3+2口+4—1].

由x=-2是函数y(x)的极值点，得

f(-2)=b3.(4-2〃-4+〃-1)=(一。一1)-3=0,

所以a=11.

所以./OOnCr2—x—l)e*r,/'(x)=e*-i-(x2+x—2).

由e*r>0恒成立，得当尤=-2或x=l时，/(x)=O,且当％<—2时，/(尤)>0；

当一2cxe1时，f(x)<0；

当x>l时，/(x)>0.

所以x=i是函数式此的极小值点.

所以函数./U)的极小值为yu)=-1.

故选B.

第n卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若(3/—美)

的二项式系数之和为32,则展开式中的常数项为-240

14.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个

球，则所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为——

21

15.函数/(x)=2A的零点个数为-1；

X

16.若将函数y=2sin2x的图象向左平移TT二个单位长度，则平移后图象的对称轴为

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.(本小题满分12分)已知沅=(2cosx+2j5sinx,l)历=(cosx,-y),且玩_L元.

(1)将y表示为x的函数/(x)，并求/(x)的单调递增区间；

⑵已知名"c分别为(的三个内角A,8,C对应的边长，若/(4)=3,且

a=2,Z?+c=4,求A4BC的面积.

18.(本小题满分12分)《流浪地球》是由刘慈欣的科幻小说改编的电影，在2019年春节档上

影，该片上影标志着中国电影科幻元年的到来；为了振救地球，延续百代子孙生存的希望，无

数的人前仆后继，奋不顾身的精神激荡人心，催人奋进.某网络调查机构调查了大量观众的评

分，得到如下统计表：

评分12345678910

频率0.030.020.020.030.040.050.080.150.210.36

⑴求观众评分的平均数？

⑵视频率为概率，若在评分大于等于8分的观众中随机地抽取1人，他的评分恰好是10分的概

率是多少？

⑶视频率为概率，在评分大于等于8分的观众中随机地抽取4人，用&表示评分为1。分的人数

解：⑴设观众评分的平均数为三，则

T=1x0.03+2x0.02+3x0.02+4x().03+5x0.()4+6x0.05+7x().08+8x0.15+9x0.21

+10x0.36=8(分)；..........................3分

⑵①设A表示事件：“1位观众评分不小于8分”，3表示事件：“1位观众评分是10分”，

=0.15+0.21+0.364,

.................................6分

②由题知&服从8(4,；),===C：(g)4(k=0,l,2,3,4)

分布列:

01234

1]_3J_1

P

16484T6

.£（^）=4xl=2..........................12分

,求目的分布列及数学期望.

19.（本小题满分12分）如图，CO,AB分别是圆柱的上、下底面圆的直径,

ABCD是边长为2的正方形，石是底面圆周上不同于A3两点的一点

AE=1.

（1）求证：BE1平面QAE；

（2）求二面角C-DB-E的余弦值.

221

20.（本小题满分12分）已知椭圆C:0+当=1（〃＞。＞0）经过点（0,扬，离心率为L

ab'2

左右焦点分别为耳（-c,0）,.f2（c,0）

（1）求椭圆C的方程；

（2）P,N是C上异于"的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为-3,证

4

明：两点的横坐标之和为常数.

解：（1）因为椭圆经过点（0,有），所以b=g；又因为e=,，所以£=,；又/=/__/,

2a2

22

解得。=2/=g,所以椭圆。的方程为二+”=1.……4分

43

（2）设P,M,N三点坐标分别为（打,力＞）,（如，刈），（打，加），

设直线PM,PN斜率分别为占，&，则直线PM方程为y—〉p=K（x—Xp）,

由方程组T3-消去y，得

y-yp^k^x-xp）

222

（3+4%，）--8k]（k[Xp-yp）x+4ktxp-Sktxpyp+4yp-12=0,

由根与系数关系可得XM+办=妁妁丐也

3+4A]

2

8Al（占马-yP）_4k^Xp-Sk}yP-3xP

3+4短A3+4短

同理可得x+x=的(皿亏")3

NP又A1•后=—，

3+4k2

则“普导•=—他一如=-xM,从而飞+“0.

即M,N两点的横坐标之和为常数.........................12分

21.(本小题满分12分)已知函数/(x)=LE+lnx(其中a>0,ea2.7).

ax

(1)当a=l时，求函数/(x)在点处的切线方程；

(2)若函数/(x)在区间L,+w)上为增函数，求实数a的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修I：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，且两

坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为《,(