2021高考数学模拟卷与训练卷四（解析版）（新高考卷）

2021高考数学基础训练卷四（解析版）

一、单选题

1.设4={1,4,x},B={1,x2},若8UA,贝等于（）

A.0B.-2C.0或-2D.0或±2

【答案】D

【分析】

根据子集关系列式解得X的值，再进行验证即可得解.

【详解】

因为A={1,4,x},B={1,N},

若8U4,则*2=4或X2=X，解得x=2或-2或1或0.

①当x=0,集合A={1,4,0）,8={1,0},满足8aA.

②当x=l,集合A={1,4,1}不满足元素的互异性.

③当x=2,集合A={1,4,2},B={1,4},满足8aA.

④当x=-2,集合A={1,4,-2},B={1,4},满足照A.

综上，x=2或-2或0.

故选：D.

2.ua<\n是的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

由。2＜。可知0＜。＜1,根据各条件所对应集合的包含关系即可知充分、必要性.

【详解】

由。2＜。知：而()＜。＜1是。＜1的真子集，

，“a＜1"是“"＜^，，的必要不充分条件.

故选：B

3.复数z=l+i+/+尸+……+『，则复数z在复平面内所对应的点在第()象限.

A.-B.二C.三D.四

【答案】A

【分析】

求得z的值，由此确定z对应的点所在象限.

【详解】

z=l+z+(-l)+(-z)+l+z+(-l)+(-z)+l+z=l+z,

对应的点为(1,1),在第象限.

故选：A

4.已知圆C：(x+3)2+(y+4)2=4上一动点3,则点5到直线，:3x+4y+5=0的距离的最小值为()

A.6B.4C.2D.2G

【答案】C

【分析】

由题意求出圆心到直线的距离，再减去圆的半径即可所求答案

【详解】

|3x(-3)+4x(Y)+5|

因为圆心。到宜线/的距离d==4

V32+42

所以最小值为4一2=2,

故选：C.

5.在△ABC中是边AC上的点,£是直线8。上一点，且DC=4AD，BE=2BD，若虚=mAB+nAC，

则m-n-()

7733

A.-B.-----C.-D."一

5555

【答案】B

【分析】

运用共线向量的性质，结合平面向量基本定理、平面向量加法的几何性质进行求解即可.

【详解】

VDC=4AD-AC=5AD-

_________________________2___

：.AE=AB+BE=AB+2BD=AB+2(AD-AB)=-AB+2AD^-AB+-AC

,27

/.m-n=-l——=----

55

故选：B

6.已知S”是等差数列｛%｝的前〃项和，弓＜0,53=0,则使得S“Ka”的”的最大值为()

A.12B.13C.14D.15

【答案】C

【分析】

由S13=0找到4、d的关系，再代入解不等式即可.

【详解】

解：设等差数列｛%｝的公差为d,

1

则S]3=-----=13a7—0二4+6d=0,ay——6d,d>0

S„<an,即叫+?（.」2

化简得rr-15n+14<0,l<n<14.

故选：c.

【点睛】

考查等差数列有关性质及计算，基础题.

7.在三棱锥5-ABC中，SA=BC=5,SB=AC=4Y7,SC=AB=>J\O,则该三棱锥外接球的表面积

为（）

A.207B.25〃C.26%D.34%

【答案】C

【分析】

由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，得球表面积.

【详解】

因为S4=BC=5,S5=AC=J万,SC==而，所以可以将三棱锥S-A8C如图放置于个长方体

a2+/?2=17,

中，设长方体的长宽、高分别为a，b,c,则有＜/+。2=25,整理得a2+b2+c2=26,则该棱锥外接球

b2+c2=10,

2

的半径R=—26,s以=4兀R=26Tl-

2

故选：C.

【点睛】

本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是求出球的半径，方法是把球放在一个长方体中，三棱锥的

各棱是长方体六个面上面对角线.

8.已知函数.f（x）=lnx,若对任意的西,工2G（0,+oo）,都有［/（X）-/（w）］（4一考）＞后（中2+考）恒

成立，则实数左的最大值是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】

In—＞---X］k

首先代入函数，变形为%,再［,再通过换元设贝口皿＞——，利用参变分离转化为

----1,Xt-\

X2-

-设g（t）=（7-l）ln/（r＞l）,转化为求函数g（r）的最小值.

【详解】

设西＞马，

因为[〃X1)T(工2)](x；—考)>/(须%2+考),

变形为(in%+&)(%]-x2)>AX2(A;+&)，即In工〉---—,

,X,k

In」〉——

等价于A-l,

X2

x,k

因为不>入2>0，令£=」(£>1)，则lm>----,即左—

x?f-1

设g(r)=("l)lnr(/>1),则A<g⑺min-

当01时g(f)=lnr+l-；>0恒成立，故g⑺在(1,+8)上单调递增，g(f)>g⑴=0.

所以女W0,女的最大值为0.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是将条件变形为in之言,并进一步变形为In；''。'，再通过换元,

九2

参变分离后转化为求函数的最值.

二、多选题

9.已知“X)是定义在R上的奇函数，且满足〃4—x)=/(x),则下列说法正确的是()

A./(x+8)=/(x)

B./(X)在区间(一2,2)上单调递增

c./(2019)+/(2020)+/(2021)=0

D./（x）=cos[?x+mj是满足条件的一个函数

【答案】ACD

【分析】

根据“X）是定义在R上的奇函数和"4一x）=/（x）,推出/（8+x）=〃x）,即函数的周期为8,然后

再逐项验证.

【详解】

因为“X）是定义在R上的奇函数，

所以/（—X）=—/（%），又/（4一x）=/（x）,

所以=即〃4+%）=-/（力,

所以/（8+x）=/（x）,故A正确；

无法得出/（力在区间（-2,2）上单调递增，故B错误；

因为函数的周期为8,所以/（2019）+/（2020）+/（2021）

=/（3）+/（4）+/（5）=-/（-1）-/（0）-/（1）=0,故C正确:

71x,贝I]/(-x)=-sins]?(一x)).(71

因为/(X)=cosf—x+y=sins—x=一/（江

=-sins14

T_2万_8

£,故D正确;

4

故选：ACD

10.已知锐角三角形的两内角a,A满足0>/7,贝II（）

拒

A.sina—sin4>0B.sin«>—

2

C.sina-cos/?<0D.cosa+cos/?<A/2

【答案】ABD

【分析】

利用锐角三角形的性质、三角函数的性质、诱导公式等对选项逐一判断即可得解.

【详解】

7T

因为a,夕是锐角三角形的两内角，且。>£,所以7〉a〉〃>0,

所以sine>sin，，故选项A正确；

jr7E7T/O

由题意得一<a+〃<2a,所以一<a<一,所以sina>注，故选项B正确；

2422

IF7T

因为a+A〉e，所以—所以sina>cos/7,故选项C错误：

因为cosa+cosp<cosa+sina=&sin（a+：）<\[1,故选项D正确.

故选:ABD.

11.已知产是抛物线C：y2=16x的焦点，/是C上一点，的延长线交轴于点N.若M为月V的

中点，则（）

A.C的准线方程为x=YB.F点的坐标为（0,4）

C.\FN\=12D.三角形ONF的面积为16枝（。为坐标原点）

【答案】ACD

【分析】

先求C的准线方程x=-4,再求焦点户的坐标为（4,0）,接着求出|AN|=4,|"'|=8,中位线

\BM\=幽产3=6,最后求出|FN|=12,SMNF=质正即可得到答案.

【详解】

如图，不妨设点M位于第一象限，

设抛物线的准线/与x轴交于点尸'，作"8，/于点B,24_1/于点4.

由抛物线的解析式可得准线方程为x=-4,

尸点的坐标为（4,0）,则14Vl=4,|FF'|=8,

在直角梯形4VF”'中，中位线忸陷1=6,

由抛物线的定义有|“目=|"川=6,结合题意，^\MN\=\MF\=6,

故|/W|=|N|+|2W|=6+6=12,|QN|=J122-42=80,5徵所=；x8夜x4=16^.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题.

12.给出下列命题，其中正确命题为（）.

A.若样本数据西，々，…，Mo的方差为2,则数据为一1,2X2-1,…，2。一1的方差为4

B.回归方程为$=0.6-0.45x时，变量x与）’具有负的线性相关关系

C.随机变量X服从正态分布N（3Q2）,p（X<4）=0.64,则P（2WX43）=0.07

D.相关指数R?来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好

【答案】BD

【分析】

根据线性变化后新旧数据方差的关系，线性回归方程的性质，正态分布，相关指数与拟合度的关系判断各

选项.

【详解】

、若样本数据尤占的方差为则数据玉一尤|（）一的方差为，

A1,x2,02,21,2x2-l,212?x2=8

故A错误；

B、回归方程为£=0.6—0.45x,可知g=—0.45<0，则变量x与>具有负的线性相关关系，8正确；

C、随机变量X服从正态分布NR,。?），P（XW4）=0.64,根据正态分布的对称性

P（3<X<4）=0.64-0.5=0.14,所以P（2WX43）=0.14,错误;

D、相关指数收来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此。正确.

故选：BD.

【点睛】

本题考查线性变化后新旧数据方差的关系，回归方程与正负相关性，正态分布的概率，相关指数与拟合程

度关系，掌握相应的概念，方法即可求解，属于基础题.

第II卷（非选择题）

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三、填空题

13.已知人都是正数，且3ab+a+b=l,则a力的最大值是.

【答案】|

【分析】

根据人都是正数，目.3出?+。+力=1,利用基本不等式转化为a+b=l-3ab22J茄，再利用一元二次

不等式的解法求解.

【详解】

因为a,b都是正数，且3aZ?+a+Z?=l

所以。+人=1-3ab>2y/ab，

即3（而『+2疝-IWO,

解得疯弓，

所以ab«L当且仅当。=〃=:时取等号，

93

所以ab的最大值是工

9

故答案为：-

14.2kf_1)5的展开式的常数项是.

【答案】3

【分析】

求得(炉―1)'的展开式的通项公式为4+1=。]父。-2，.(—1丫，由此可求出答案.

【详解】

解：：I+2](》2-1)'=g(f—I)'+2(X2-1)\

且(V—1)'的展开式的通项公式为J=C；-(x2)5".(-l)r=C；-X，(，-2r-(-l)r.

令10—2〃=2得尸=4，令10—2r=0得r=5，

.•.仪+2,2_])5的展开式的常数项是5.以*2.(_1)4+2.以.彳。.(_1)5=5—2=3,

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查二项展开式得通项公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

15.身高互不相同的7名运动员站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有

种.(用数字填写答案)

【答案】840

【分析】

先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序

自动入列.

【详解】

先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A；,留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右

的顺序自动入列，不能乱排的，即"=840,

故答案为：840.

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，属于基础题.

loga(x+3)+4,%>-l

16.若函数〃x)=<且满足对任意的实数机。〃都有•"附一,⑶<0成立，则

(4。-3)x+4a—1,犬<一1m-n

实数a的取值范围

rAiv15/2^3

【答案】—<a<-.

24

【分析】

根据对任意实数冽。〃，都有"”)一"")<0成立,得出了(X)在R上单调递减，从而得出

m-n

4a-3<0

<0<a<l,解出a的范围即可.

(4«-3)-(-l)+4<z-l>loga(-l+3)+4

【详解】

函数f(x)对任意的实数相。巩，都有了(?［：(〃)<0成立,得/(%)在/?上单调递减，

3

a<—

4。一3<04

.・.40<。<1=<0<4Z<l=>也

24

(4〃一3〉(-1)+4〃-1>log”(-1+3)+4心也

2

故答案为：

24

【点睛】

关键点点睛：依函数单调性的定义得函数在R上单调递减，利用分段函数的单调性求解.

四、解答题

17.已知在AABC中，a=2,b=&,同时还可能满足以下某些条件：

①A=j®B>Ai③sinsinA；④c=4.

4

（1）直接写出所有可能满足的条件序号；

（2）在（1）的条件下，求3及c的值.

【答案】（1）①，③；（2）B=—；c—A/3+1

6

【分析】

3）根据大边对大角，可得A>B，然后根据正弦定理，可得sinBvsinA.

（2）利用正弦定理，可得B,然后利用余弦定理/=〃+c2-2iccosA，简单计算可得结果.

【详解】

解：（1）①，③.

ab2应

（2）由「=-，可得一7一前

sinAsinBsin—

4

立sin三正x也,

.-.sinB=------4=——2,=1

222

a=2>b=A/2=A>BnB=%

6

由/=b2+c2-2bccosA^22=（V2）24-c2-2x72xcx——

2

解得c=G+l或C=-G+1（舍）.

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，识记公式，熟练使用正弦定理、余弦定理，边角互化，考验计算

能力，属中档题.

18.设数列｛4｝满足4+%+他+…+2”%”=(〃-1)2"+1,且数列｛〃,｝的前n项和为S,,.

(1)求｛q｝的通项公式；

(2)设d=,记数列也｝的前“项和为I,•证明:对于任意〃eN*，都有(,<4.

【答案】(1)a“=〃(〃eN*)：(2)答案见解析

【分析】

(1)计算4+202+40,+・一+2"-24_|=(〃-2)2"-1+1,然后联立原式，可得结果.

(2)根据(1)的结论，可得仇=4二-，1、,，然后裂项求和的方法可得骞，最后可得结果.

(〃+1))

【详解】

(1)由题可知：

4++44+•••+2”'-1)2"+1,①

当〃=1时，4=1,

当“22时，

4+4+4a3+…+2"%,1=（〃-2"i+1,②

①-②得2"Ta“=〃•2'T,即为=22),

经验证4=1符合上式，

所以a"=”(〃eN*).

(2)由题意：S,=QM=&tD,

b_q，+%_4(2〃+1)_/1__

"S；〃2(〃+I)2"2(〃+1)?/

/、

•Hi+b2+…+b,=41-方+宏-----7------TT

I22(n+1)J

所以雹=41一1=<4

I(〃+1))

【点睛】

本题考查数列的综合应用，熟练S”,见之间的关系以及常用的数列求和的方法，比如：错位相减，裂项相消，

公式法等，属中档题.

19.在四棱锥P-A3CD中，A3CD为平行四边形，AB=AD=2,三角形尸比＞是边长为2c的正三

角形，PA=2瓜

(1)证明：PCI平面ABC。；

—.?—■

(2)若E为8C中点，尸在线段DE上，且DF=^DE,求二面角E—Q4—C的大小.

■1T

【答案】(1)证明见解析；(2)

6

【分析】

(1)根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理进行证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

解：(1)因为AB=AZ)=2，BD=2V2-所以AB2+A£)2=3。2,所以AS_LAE)，

又因为ABC。为平行四边形，所以A3_LBC，AD1DC，

因为AB=2，BP=2V2>PA=2JJ，所以4^+^尸二”、所以AB_LBP，

因为P3cBC=B,所以AB,平面8PC，所以A8_LCP，

因为AD=2，DP=272.PA=2>73.所以A£>2+£)p2=Ap2,所以AT>_LZ)P,

因为P£)c£)C=O,所以4)_L平面PC。，所以A〃_LCP,

因为ADcA3=A，所以PC_L平面ABCD.

(2)由(1)知，CD,CB,C尸两两垂直，分别以CD，CB.CP所在的直线为％，V，z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系，在三角形PBC中，PC=y]PB2-BC2=2-则A(2,2,0),B(0,2,0),

C(0,0,0),0(2,0,0),E(0,l,0),P(0,0,2),

所以方=(—2,1,0),PF=|D£=f-|,|,0^|,/=而+砺=

PA=(2,2,—2),设平面PAF的一个法向量为m=(x,y,z),

\m-AF=0—x+—y=0

则〈__，即，55',

\m-PA=Q-°

i[2ox+2y-2z=0n

令y=l,得x=—2,z=—l，于是取而=

又由（1）知，底面ABC。为正方形，所以ACJ.BD,

因为PC,平面A8C。，所以PC_L80,

因为ACDPC=C，所以83_L平面ACP.

所以而=（2,-2,0）平面尸AC的一个法向量，

设二面角/一R4—C的大小为。，

/-------\\m-BD\6百

则cos0=cos（m,BD）-[w汗=—j=—广=—,

'/\^\\BD\V6XV82

TT

所以二面角/一R4-C的大小为？.

20.为了提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，某社区通过为

居民发放垃圾分类宣传材料、开展辩论赛、制作专题小品等方式让居民提前了解了垃圾分类相关知识.居

委会为掌握社区居民对垃圾分类的了解程度，随机选取了10（）位居民进行了问卷调查，并将问卷的得分情

况（满分100分，得分越高对垃圾分类的了解程度越好）制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中。的值；

(2)利用频率分布直方图估计样本数据的中位数；

(3)现从问卷得分在［80,90),［90,1()()］这两组中采用分层抽样的方法抽取7人进行家访，再从这7人中

随机抽取2人赠送礼品，求抽取的2人恰在同一组的概率.

【答案】(1)0.01；(2)75；(3)—.

21

【分析】

(1)根据频率之和，由频率分布直方图列出等式求解，即可得出结果；

(2)设样本数据的中位数为无，根据中位数左右两边的频率之和相等，都为0.5,列出等式求解，即可得

出结果；

(3)先根据分层抽样的方法分别确定得分在［80,90)的有5人，记为％,%,a3,%，%，得分在［90,100］

的有2人，记为仇，b2,用列举法列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即

为所求概率.

【详解】

(1)由(0.005+2a+0.020+0.025+0.030)x10=1,解得a=0.01

(2)设样本数据的中位数为x,

则0.05+0.1+0.2+（x-70）x0.03=0.5,解得x=75,

故样本数据的中位数为75；

（3）问卷得分在［80,90）,［90,100］两组的分别有25人、10人,采用分层抽样抽取7人,则得分在［80,90）

的有5人，记为4,出,a3,a4,a5,得分在［90,100］的有2人，记为瓦,b2

从7人中随机抽取2人，所包含的基本事件有,（4，4），（4，%），（《，%），（%,%），（%,4），

（a2M5），（。3,。5），（”4，。5）3也），（伉，乌），（可，生），（",%）,佃,包）,（乙,火），（伪,4），

（4,%），®4），（4,%），（优，巴），共21个，

记“从7人中随机抽取2人赠送礼品，抽取的2人恰在同一组”为事件A，

则事件A包含的基本事件有（q,%），（4,6），（4，%），（4，。5），（生，。3），（生，。4），（外，。5），3，。4），

（«3，«5）-（a4M5），（4也）共11个,

则P（A）吟.

【点睛】

方法点睛：

求古典概型的概率的常用方法：

（1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本

事件个数，基本事件个数比即为所求概率；

（2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满

足条件的基本事件个数，进而求出所求概率.

22

21.已知椭圆鼻+方=1（。＞。＞0）的左、右焦点分别为耳、与,右顶点为A过右焦点且垂直于*轴的直

32

线与椭圆相交于B、C两点,所得四边形为菱形，且其面积为丁.

(1)求椭圆的方程;

(2)过左焦点片的直线/与椭圆交于。、E两点，试求三角形工面积的最大值.

221f.

【答案】⑴—+^-=1；(2)—

983

【分析】

12

⑴由椭圆的对称性及四边形为AMC菱形知归用=怩从可得3的纵坐标为力=—>四边形ABfje的

a

面积为g(a+c)〃32

X—.2=—,结合Q,〃,c的关系求解出。*，即可得到得答案.

a3

(2)设。(M，X),E(9,%)，设直线/的方程为:％=口一1,由直线方程与椭圆方程联立，得到％+%，月%

的表达式，求出三角形。石工面积的表达式，再求其最大值.

【详解】

(1)如图，因椭圆的对称性及四边形为AB[C菱形知忻闾=历川,

即2c=a-c,即a=3c®

h2

令X=c,得点8的纵坐标为为二—

a

32

由四边形的面积为了

..Iz、眇c32

故一（Q+C）X-2=—

2V7a3

即/=8②

又。2=储一〃③

a2=9

联立①@③得：（2

.2=8

r2v2

故椭圆方程为1=1

98

（2）由⑴知:耳（一1,0）,闺闾=2,

设直线/的方程为：x=@T,

假设。（石,y）,E（孙必）

由7+至=1得：&T);J[

x=ky-l,98

即(8&2+9)/-16@-64=0

由△=(―1