信号讲义(吴)(4章-3)

§4－6LTI系统的频域分析一、系统函数（传输函数、频率响应）：1、定义：2、求法：1）从定义求。2）从方程求。3）从冲激响应求。＋_e(t)r(t)1Ω1F1Ω＋_－v(t)+Ex.1求H(jω)。解：1）从方程求。2）从冲激响应求。3）直接从电路求稳态响应：＋_e(t)r(t)1Ω1F1Ω＋_－v(t)+分压公式：3、物理意义：

1）电系统的系统函数：策动点阻抗；策动点导纳；传输阻抗；传输导纳；传输电流比；传输电压比。2）对特征函数的响应：特征函数：

幅频特性：│H(ω)│；相频特性：θ(ω)

传输带宽：(半功率点)二、非周期信号激励下系统的响应：解题步骤：1、求激励信号的Ｆourier变换；2、确定系统的系统函数；3、零输入响应求法同前；4、零状态响应求法：

5、全响应：解：1、零输入响应：由系统函数的极点决定零输入响应的形式。2、零状态响应：3、全响应：Ex.3H(jω)同上，输入如图示。求零状态响应。01t1f(t)解：三、周期信号激励下系统的响应：对指数付氏级数：输入：输出：对三角付氏级数：输入：输出：1、得到输入的Ｆourier级数；（有时可以根据工程需要取有限项。）2、分别求得系统对分量的响应；3、叠加求得系统对输入的响应。（因为各分量的频率不同，因此叠加只能是瞬时值的叠加。）Ex.4图示一阶电路。输入如图示。求：r(t)。＋_f(t)r(t)0.1μF1kΩ＋_T1T/2-T/4f(t)E解：1、求傅立叶级数：若E=20(v)；T=0.001(s)；则：2、求H(jω)：3、计算各次谐波分量产生的电阻电压：§4－7无失真（Distortionless）传输无失真:响应信号与激励信号相比，只是大小与出现的时间不同，而无波形的变化。无失真传输的条件（时域）：

r(t)=ke(t-t0)k为一常数,t0为滞后时间。无失真在频域对系统的要求(频域条件）：可能发生的三类失真：1、幅度失真；2、相位失真；群时延：

线性失真不产生新的频率。3、非线性失真。§4－8理想滤波器

（IdealFilter）一、三类典型的理想滤波器：1、理想低通滤波器（ideallow—passfilter）：H（ω）-ωC

-ωt012、理想高通滤波器（idealhigh—passfilter）：

-ωCH(ω）-ωt0ω13、理想带通滤波器（idealband—passfilter）：H(ω)-ω2-ω1-ωt0ω1它们的共同特点为：在通带内的分量无失真通过，在通带外，频率响应函数（传输函数）为零。二、理想滤波器的冲激响应：1、理想低通滤波器的冲激响应：2、理想带通滤波器的冲激响应：

3、理想高通滤波器的冲激响应：三、理想低通滤波器的阶跃响应：Ｓine积分函数：

而且Sa(x)是偶函数、Si(x)是奇函数。t0上升时间(risetime）

tr：（建立时间）1、从极小值到极大值的时间：2、从0到1的时间：总之，上升时间与带宽成反比。Gibbs效应示意图：四、佩利－维纳准则：物理可实现系统的条件：时域的必要条件：h(t)=0t<0频域的必要条件：五、理想滤波器的逼近：1、一阶（first-order）：＋_f(t)r(t)CR＋_2、二阶(second-order)：＋_f(t)r(t)CRL＋_若相频特性幅频特性幅频特性曲线：相频特性曲线：－π/20θ(ω)ω0ω-π冲激响应为：3、高阶：

Butterworthfilters上例二阶电路，若：n=20n=2§4－9抽样定理

（TheSamplingTheorem）一、什么是抽样？所谓“抽样”就是利用抽样脉冲序列从连续信号中“抽取”一系列的离散样值，这种离散信号通常称为“抽样信号”。这是连续时间信号与离散时间信号之间的一座桥梁。

时域抽样：1、冲激抽样：（Impulse—trainsampling）tf(t)tf(t)δT(t)=fs(t)f(t)fs(t)ttf(t)f(t)p(t)=fs(t)2、矩形脉冲抽样：(Pulse—trainsampling)tf(t)3、瞬时抽样（平顶抽样）：(Samplingwithazero—orderhold)

f(t)fs(t)tfs(t)二、抽样信号的Ｆourier变换：1、理想抽样信号的傅立叶变换：

此公式表明：理想抽样信号的频谱是原连续信号的频谱以间隔ωs为周期性重复。但幅度减小为1/T。2、频带有限信号的抽样：

1）

信号可以通过理想低通滤波器还原。

２）抽样信号频谱产生频率混叠。(”overlap”or“aliasingerror”)若频带有限信号f(t)，最高频率为。三、抽样定理：一个频谱有限信号f(t)，如果频谱的最高频率为ωｍ，则信号f(t)可以用等间隔的抽样值来唯一地表示。而抽样间隔必须小于1/2fm，或者说，最低抽样频率为2fm。说明两点：1）可用“预滤波”产生带限信号。2）抽样定理适用于自然抽样。1/2fm称为奈奎斯特（Nyquist）间隔。2fm称为奈奎斯特（Nyquist）频率。自然抽样信号的付氏变换：p(t)t…...…...满足抽样定理时，能用低通滤波器恢复原信号。Ex.解：四、抽样定理的应用：1、时分多路通信（ＴＤＭ）：（time—divisionmultiplexing）

时分多路通信的理论依据是抽样定理。将多路信号的抽样值有序地排列起来，发送出去，就实现了时分多路通信。接收端，这些抽样值由适当的同步检测器分离。2、脉冲编码调制（ＰＣＭ）：(pulse—codemodulation)抽样量化编码f(t)fs(t)fD(t)至数字信道发送端

D/A1/Sa(t)补偿fD(t)fs(t)f

(t)自数字信道接收端五、频域抽样定理：１、频域抽样：信号在频域中被以等间隔ωs抽样,等效于在时域中信号的波形以Ｔ为周期而重复。２、频域抽样定理：

一个时间有限信号f(t)，如果时间范围的最高值为tｍ，若在频域中以不大于1/2tm的频率间隔对f(t)的频谱Ｆ（ω）进行抽样，则抽样后的频谱可以唯一地表示原信号。§4－10调制与解调将某一个载有信息的信号嵌入另一个信号的过程一般称之为调制。

y(t)=x(t)c(t)

信号x(t)为调制信号；信号c(t)为载波信号；

y(t)为已调信号。将这个载有信息的信号提取出来的过程称为解调。一、正弦载波的幅度调制：x(t)y(t)cos(ω0t)二、正弦AM的同步解调：y(t)x(t)cos(ω0t)w(t)H(jω)三、正弦AM的非同步解调：1、调制：保证A+x(t)>0x(t)y(t)cos(ω0t)A调制指数：m=k/A=1调制指数：m=k/A=0.52、非同步解调：非同步解调的方法避免了在调制器和解调器间需要同步的困难。采用“包络检波器”，跟踪y(t)的峰值，以提取包络，而将x(t)恢复出来。简单的“包络检波器”如图所示：

＋Y(t)-

＋w(t)-简单解调器对已调波进行“包络解调”后的波形示意图：去