线性代数部分课件及试题4 14

第4章线性方程组4.1齐次线性方程组4.2非齐次线性方程组一般的线性方程组

n个未知量，m个方程矩阵形式：第四章序向量形式：齐次线性方程组矩阵形式：向量形式：非齐次线性方程：4.1齐次线性方程组齐次线性方程组：推论设A为n阶方阵,则齐次线性方程组Ax=0问题：何时有非零解，如何求出其全部非零解定理4.1设A为则齐次线性方程组有非零解的充分与必要条件是系数矩阵的秩证明

方程组有非零解向量组线性相关向量组的秩即有非零解的充要条件是定理3.7

向量组线性相关的充要条件是线性方程组有非零解.矩阵A的列定理4.2设均为齐次线性方程组的解,则也是齐次方程组的解.证明由于所以故是方程组的解.定理4.3设为齐次线性方程组的解,为任意常数,则也是齐次方程组的解.证明由于所以故是方程组的解.推论若均为方程组的解,则也是方程组的解.齐次方程组的全体解向量所组成的集合，的解空间．方程组的一组解为基础解系,只要满足(1)线性无关,(2)的任意解均可由线性表示.数乘运算是封闭的，此向量空间为齐次线性方程组解空间的基称为该方程组的基础解系.对于加法和因此构成一个向量空间，我们称基础解系不惟一，但所含向量的个数惟一如果为方程组的一个基础解系，则的通解为：为任意常数.结论定理4.4设是矩阵，且则齐次线性方程组的基础解系由n-r个向量构成.证由于的前r行不妨设左上角的则矩阵A为行向量组对矩阵A做行的初等变换得r阶子式非零，的一个极大线性无关组.于是原方程组与下列方程组同解当r=n时，由克莱姆法则知，只有零解．当r<n时，移项，方程组（1）变为：（1）（2）方程组（2）右端的n-r个自由未知量依次取得方程组(2)的一组解为这组解线性无关设为方程组（2）的任一解，令则也是方程组（2）的解，且由克莱姆法则知即方程组（2）的任一解均可由线性表示，从而为方程组（2）也为原方程组的基础解系.推论

若矩阵A的秩为r,则方程组的任意n-r个线性无关的解均为的基础解系.小结对于方程组若方程组只有零解；若方程组有非零解，基础解系由n-r向量构成.特别当m=n时，系数矩阵为方阵，则若方程组只有零解；若方程组有非零解.例题1求下列齐次线性方程组的基础解系与通解解对方程组的系数矩阵A施以初等行变换矩阵A的秩基础解系由2个向量构成．取为自由未知量，得同解方程组令得令得从而方程组的通解为为任意常数基础解系为求基础解系的方法：1对系数矩阵施以初等行变换化成阶梯形，行最简形式．2r阶非零子式对应的未知量保留在左边，其余的为自未知量（n-r个）移到等式的右端．3写出同解方程组．4对自由未知量取值代入同解方程组中，得到基础解系．例题2设线性方程组的系数矩阵为A,且有三阶非零矩阵B使得AB=O，求a的值．解设为三维列向量，由于AB=O，即矩阵B的每一列均为方程组的解．又B为非零矩阵，故方程组有非零解．从而于是a=1.则例题3设是n阶矩阵，且若A的某一元素的代数余子式证明（k为任意常数）是方程组的通解．证明由于故从而方程组的基础解系由一个向量构成．故的每一列均为方程组的解向量．于是的第i列是方程组的非零解．于是方程组得通解为为任意常数．又而是的n-1阶子式，且例题4设A为矩阵，证明证明由于与均为n个未知量的齐次线性方程组，我们只需证明这两个方程组同解．设是的解，则于是是的解．另一方面，设是的解，则左乘得即于是有是方程组的解．4.2非齐次线性方程组问题1非齐次线性方程组2有解时，如何求出其全部解？定理4.5

非其次线性方程组何时有解？有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即证明设方程组有解向量可由向量组线性表示向量组与向量组等价这两个向量组的秩相等，即（注意这两个向量组其中之一可由另一个线性表示）定理3.3向量可由向量组线性表示的充要条件是线性方程组有解．定理4.6若是方程组的解，则是导出组的解．证明所以所以是导出组的解．推论设A为矩阵，且则齐次线性方程组有惟一解．证明由于所以方程组有解．若是方程组的任意两个解，则是的解．又故只有零解，有即所以方程组有惟一解．从而由假设定理4.7若是方程组的解，是导出组的解，则是的解．证明由于所以定理4.8设A为矩阵，A的秩若是方程组的特解，是的基础解系，则方程组的通解为为任意常数证明由假设易知是方程组的解．对于的任一解由于是可由基础解系线性表示，于是命题成立．的解，故结论

设A为矩阵，对于非其次方程组方程组无解．方程组有惟一解．方程组有无穷多解．当当当此时通解为例题4.5求解方程组解对增广矩阵施以初等行变换方程组无解例题4.6求下列方程组的通解解对增广矩阵施以初等行变换方程组有无穷多解，同解方程组令得方程组的特解导出组的同解方程组为基础解系为通解为为任意常数例题4.7设线性方程组当a,b取何值时，方程组无解？有惟一解？有无穷多解？有无穷多解时求出通解．解对增广矩阵施以初等行变换（1）当时，方程组有惟一解．b任意时，无解．（3）当b=3时，方程组无解（2）当方程组有无穷多解，这时同解方程组为通解为c为任意常数例题4.8已知下列方程组有无穷多解，求常数a.解由于非其次线性方程组有无穷多解，所以于是a=1，