勾股定理知识点及典型例题

勾股定理知识点、勾股定理的证明试通过等积法得出啊a,b,。三者的关系。首先勾股定理只在直角三角形中才存在；其次就是三边存在关系a2+b2c2。BP勾股定理可以表述为：二、勾股定理的定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=C2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。简单的说，勾股定理就是直角三角形三边的一种数量关系。其中较短的直角边我们叫它：勾；较长长边我们叫它：股；斜边叫它：弦。既然直角三角形三边是这样关系，那么对于锐角三角形和钝角三角形又是怎样的关系呢？这里大家可以通过特殊三角形来记忆:锐角三角形就通过边长为1的等边三角形来特殊化，显然a2+b2>C2对于钝角三角形，可以通过底角为30度，腰为2的等腰三角形来记忆，计算可知a2+b2<c2大家不仅要掌握勾股定理，对于勾股定理的逆定理也是必须掌握的，它是我们判断直角三角形时一个很好的方法，那我们看看它的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：a2+b2=C2，那么这个三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：A、 若已知边长：（1） 确定最大边（不妨设为C）；（2） 若C2=a2+b2，则△ABC是以NC为直角的三角形；若a2+b2<C2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2+b2>C2，则此三角形为锐角三角形（其中C为最大边）B、 若未知边长，则直接进行第二步。例2:在AABC中，若a2=(b+c)(b-c),则AABC是 三角形，且匕90。三、 对于勾股定理，还有个很重要的概念：勾股数：满足a2+b2=C2的三个正整数叫做勾股数(注意：若a,b,c、为勾股数，那么ka,kb,kc同样也是勾股数组。)*附：常见勾股数:3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13四、 勾股定理的作用：已知直角三角形的两边求第三边。例3：在直角三角形中两直角边分别为3、2,求斜边长；例4：在直角三角形中两边长分别为3、2,求第三边。已知直角三角形的一边，求另两边的关系。：用于证明线段平方关系的问题。例5：如图所示，在AABC中，AB=AC=5,P为BC边上任意ATOC\o"1-5"\h\z一点.求证：AB2—AP2=BP・PC(先直接因式分解不行，再间接分解) ABPD C利用勾股定理，作出长为、•成的线段。 v13例6：请在数轴上表示出、13解决实际应用问题例7、梯子滑动问题：一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m(如图)，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动0.8米例8、爬行距离最短问题：如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B,则它走过的路程最短为(D)A.•容a B.（+克） C.3a "BaTOC\o"1-5"\h\z/ QA M'-'BP N例9、折叠问题：如图，在长方形ABCD中，将AABC沿AC对折至AAEC位置，CE与AD交于点F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或“角角边”）归纳下当题目提到直角三角形的时候应该立刻在脑子里想到：（1） 角度关系。（2） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（4） 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。（5） 勾股定理。练习在AABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为（5+9=14）已知|x—12|+|x+y—25与z2-10z+25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。已知*a—6+2步—8+（c—10）2=0,则以a、b、c为边的三角形直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（D）1.1 1一1,1 1A.ab=b2b.a2+b2=2h2 C,—+片=万D.——+甘=有勾股定理能力提高训练题一.勾股定理中方程思想的运用例题1.如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将^ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）二.勾股定理中分类讨论思想的运用例题2.已知^ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。三勾股定理中类比思想的运用例题3.如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S「S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1） 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）（2） 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S「S2、S3表示，请你确定S「S2、学之间的关系并加以证明四.勾股定理中整体思想的运用例题4.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）.巳知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S、S、S、S，则S+S+S+S= .1 2 3 4 1 2 3 4五.勾股定理中数型结合思想的运用例题5.在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

练习题设^ABC的面积为S,1、已知RtAABC中，匕A,ZB,ZC，的对边长分别为a,b,设^ABC的面积为S,（1）、请你完成下面的表格：a,b,ca+b-cS/L3,4,55,12,138,15,17（2） 、仔细观察上表中你填写的数据规律，如果a,b,c为已知的正实数，且a+b-c=m，那么S/L= （用含m的式子表示）（3） 、请说明你写的猜想的推理过程。2、在RtAABC中，匕ACB=900,AC=4,BC=3,在RtAABC外部拼接一个合适的三角形，使得拼成的图形刚好是一个等腰三角形。要求画出图形并计算出边长。3、（09.恩施）如图，长方体的长为15,宽10,高为20,点B与点C的距离为5,一只蚂A蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是（AA.5"21B.25C.10V5+5D.354.勾股数又称商高数，它有无数组，是有一定规律的比如有一组求勾股数的式子：a=m2-〃2,b=2mn,c=m2+n2（其中m,n为正整数，且m>n）.你能验证它吗？利用这组式子，完成下表，通过表格，你会发现勾股数有哪些规律？请查阅有关资料，相信你将有5、（5、（2009・赤峰）公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，ZB=ZC=120°,ZA=45度.请你求出这块草地的面积？6、（2008-南昌）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处；（1） 求证：B‘E=BF；（2） 设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a,b,c之间的一种关系，并给予证明.7、（2007安徽）如图，DE分别是△ABC的边BC和AB上的点，AABD与^ACD的周长相等，ACAE

与^CBE的周长相等.设BC=a，AC=b，AB=c.（1）求AE和BD的长；(2)若ZBAC=90°,AABC的面积为S,求证：S=AE・BD.8、（2010・河南）（1）操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF，你同意吗？说明理由.（2）问题解决：的值;保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值;（3）类比探求:的值.保持（1）中条件不变，若DC=nDF,求的值.9.（2010哈尔滨）.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在（第19题图）点C'处，折痕为EF，若匕ABE=20°，那么匕EFC'的度数为度.（第19题图）10.（2010湖北省咸宁市）如图，直角梯形ABCD中，AB^DC，ZDAB=90。，AD=2DC=4，AB=6.动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时，两点同时停止运动.过点M作直线l〃AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为0点M运动的时间为（（秒）.（1） 当t=0.5时，求线段QM的长；（2） 当0<t<2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；（3） 当t>2时，连接PQ交线段AC于点R.请探究CQQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由.（第24题）（备用图1）（第24题）（备用图1）（备用图2）11.（2010年眉山）如图，每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点，则匕4BC的度数为A.的度数为A.90°B.60°C.45° D.30°12.（10重庆潼南县）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，Z1=Z2，Z3=Z4.（1） 证明：△ABE^^DAF；（2） 若ZAGB=30°，求EF的长.13.（2010山西）.如图，在△ABC中，AB=AC=13,BC=10，D是AB的中点，过点D作DELAC于点E，则DE的长是 .（2010山东德州）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为m.A时B时、.，••第14题图（2010•浙江温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的