2022年浙江省丽水市胡村中学高三数学理测试题含解析

2022年浙江省丽水市胡村中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，大正方形面积为34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一颗幸运星，则幸运星落在小正方形内的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：B2.设等比数列的前项和为，若，，则公比A．1

B.2

C．4

D．8参考答案：C3.已知向量满足与的夹角为，，则的最大值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：【答案解析】D解析：解：设，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系的夹角为，则即表示以为圆心，1为半径的圆，表示点A，C的距离，即圆上的点与A的距离，因为圆心到B的距离为，所以的最大值为，所以D正确.【思路点拨】根据向量的数量积的两种形式的转化，我们看到方程所表达的几何意义，利用几何意义求出最大值.4.若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B． C． D．参考答案：D【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．【解答】解：由3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0得3x+2a（y﹣2ex）ln=0，即3+2a（﹣2e）ln=0，即设t=，则t＞0，则条件等价为3+2a（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=﹣有解，设g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣为增函数，∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，∴当t＞e时，g′（t）＞0，当0＜t＜e时，g′（t）＜0，即当t=e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=﹣有解，则﹣≥﹣e，即≤e，则a＜0或a≥，故选：D．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．5.右图的程序框图所描述的算法称为欧几里德辗转相除法．若输入，则输出的的值为（

）A．0

B．11

C．22

D．88参考答案：B试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；第五次循环：；结束循环，输出选B.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.如图为函数（其中）的部分图象，其中两点之间的距离为，那么(

)A．

B．

C． D．1参考答案：C略7.过直线x+y=0上一点P作圆C：（x+1）2+（y﹣5）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当CP与直线y=﹣x垂直时，∠APB=（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】判断圆心与直线的关系，在直线上求出特殊点，利用切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，求出∠APB的值．【解答】解：显然圆心C（﹣1，5）不在直线y=﹣x上．由对称性可知，只有直线y=﹣x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=﹣x，从这点做切线才能关于直线y=﹣x对称．所以该点与圆心连线所在的直线方程为：y﹣5=x+1即y=6+x，与y=﹣x联立，可求出该点坐标为（﹣3，3），所以该点到圆心的距离为=2，由切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，又知圆的半径为．所以两切线夹角的一半的正弦值为=，所以夹角∠APB=60°故选：C．【点评】本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切的关系的应用，考查计算能力，常考题型．8.已知（

）

（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：答案：D9.已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，若，则的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知，则的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】令，可得的取值范围，可得所满足的方程，令，可得z的范围，可得答案.【详解】解：令，由则，同理：,可得：，消去得：，令，利用图象可得当取点时候，，直线与椭圆相切时，取最大值，，可得，令，可得，可得．故答案：.【点睛】本题主要考察向量的性质及椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系等，综合性大，难度较大.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数满足不等式组则的最小值是

．参考答案：12.已知圆截直线所得的弦的长度为为，则参考答案：2或6【考点】直线与圆的位置关系圆的标准方程与一般方程【试题解析】由题知：圆心（a，0），半径为2．

圆心到直线的距离为

又因为圆截直线所得的弦的长度为为，

所以或13.已知向量，满足，且，则的夹角为

。参考答案：60°

略14.某校对全校1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量

是200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数是__________人．参考答案：76015.已知函数是定义域为，其图像上的任意一点满足，则下列命题正确的是

。（写出所有正确命题的编号）①函数一定是偶函数；②函数可能既不是奇函数，也不是偶函数；③函数可能是奇函数；④函数若是偶函数，则值域是或；⑤函数的值域是，则函数一定是奇函数。参考答案：略16.若满足且的最大值为4，则的值为

;.参考答案：考点：线性规划因为可行域如图，当时，不合题意，当时，在取得最大值

故答案为：

17.阅读程序框图，运行相应的程序，当输入的值为时，输出的值为

．开

始输入x|x|>1x=3x+1输出x结

束是否参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C的极坐标方程为，点F1、F2为其左，右焦点，直线的参数方程为(t为参数，t∈R)．（Ⅰ）求直线和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线的距离之和.参考答案：(Ⅰ)直线普通方程为

；

曲线的普通方程为．

(Ⅱ)∵,，∴点到直线的距离

点到直线的距离

∴

19.（本题满分16分,第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）已知函数（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）证明：在(－1,+∞)上为增函数；（3）证明：方程＝0没有负数根。参考答案：（1）因为函数的定义域为，……2分不关于原点对称，所以函数没有奇偶性。…4分（2）证明：设，，，在上为增函数。…………9分（3）设，则，由＝0，必须，则，……………14分与矛盾。………15分所以方程＝0没有负数根。……16分

20.（12分）在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答这道题对的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是.（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率；

（Ⅱ）用表示回答该题对的人数，求的分布列和数学期望.参考答案：解析：（Ⅰ）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、、，则，且有，即∴，.…………6′（Ⅱ）由（Ⅰ），.的可能取值为：、、、.则；；；.…………9′∴的分布列为的数学期望.…………12′21.（本小题共13分）一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是???．现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于的概率；（Ⅱ）若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到

数字的概率．参考答案：（Ⅰ）设表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是，，，．其中数字之和大于的是，，所以．

…………6分（Ⅱ）设表示事件“至少一次抽到”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：，共个基本结果．事件包含的基本结果有，共个基本结果．所以所求事件的概率为．

…13分22.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=30°，AB=2BD，PD=AD，PD⊥底面ABCD，E为PC上一点，且PE=EC．（1）证明：PA⊥BD；（2）若AD=，求三棱锥E﹣CBD的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）在△ABD中，不妨设AB=2，BD=，由余弦定理可得AD，则AD2+BD2=BA2，从而得到BD⊥AD，结合PD⊥底面ABCD，得BD⊥PD，再由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAD，则PA⊥BD；（2）过E作EF⊥CD于F，则三棱锥E﹣CBD的高为EF，由已知可得EF．再由（1）知BD，代入三棱锥E﹣CBD的体积公式求解．【解