江西省高安第二中学2024届高一数学第一学期期末统考试题含解析

江西省高安第二中学2024届高一数学第一学期期末统考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若，则它是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.3．设，则下列不等式中不成立的是（）A. B.C. D.4．在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则A. B.C. D.5．设，表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则6．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度7．设，且，则等于（）A.100 B.C. D.8．已知二次函数在区间(2，3)内是单调函数，则实数的取值范围是（）A.或 B.C.或 D.9．已知是上的减函数，那么的取值范围是（）A. B.C. D.10．方程的解所在区间是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．当时，函数的值总大于，则的取值范围是________12．不等式的解集为_____13．______________14．计算=_______________15．圆的半径是,弧度数为3的圆心角所对扇形的面积等于___________16．某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积（单位：平方米）与时间（单位：月）的关系式为（且）图象如图所示.则下列结论：①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；②浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的；③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是；④浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少.其中正确结论的序号是_____三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，且的最小正周期为.（1）求；（2）当时，求函数的最大值和最小值并求相应的值.18．抛掷两颗骰子，计算：（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率；（2）事件“点数之和小于7”概率；（3）事件“点数之和等于或大于11”的概率.19．已知θ是第二象限角，，求：（1）；（2）20．已知函数.（1）判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）判断函数的奇偶性，并证明；（3）若恒成立，求实数k的取值范围.21．已知直线过点，并与直线和分别交于点，若线段被点平分，求：（1）直线的方程；（2）以坐标原点为圆心且被截得的弦长为的圆的方程

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】根据象限角的定义判断【题目详解】因为，所以是第三象限角故选：C2、B【解题分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断【题目详解】对于A,最小正周期为2π,在区间上单调递减，不合题意；对于B,最小正周期为π,在区间上单调递减，符合题意；对于C,最小正周期为2π,在区间上单调递减，不合题意；对于D,最小正周期为π,在区间上单调递增，不合题意；故选：B.3、B【解题分析】对于A，C，D利用不等式的性质分析即可，对于B举反例即可【题目详解】对于A，因为，所以，所以，即，所以A成立；对于B，若，，则，，此时，所以B不成立；对于C，因为，所以，所以C成立；对于D，因为，所以，则，所以D成立，故选：B.【题目点拨】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题.4、C【解题分析】根据题意即可算出每个直角三角形面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出【题目详解】由题意得直角三角形的面积,设三角形的边长分别为，则有，所以，所以，选C.【题目点拨】本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题5、D【解题分析】对选项进行一一判断，选项D为面面垂直判定定理.【题目详解】对A，与可能异面，故A错；对B，可能在平面内；对C，与平面可能平行，故C错；对D，面面垂直判定定理，故选D.【题目点拨】本题考查空间中线、面位置关系，判断一个命题为假命题，只要能举出反例即可.6、D【解题分析】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.本题选择D选项.7、C【解题分析】由，得到，再由求解.【题目详解】因为，所以，则，所以，则，解得，故选：C8、A【解题分析】根据开口方向和对称轴及二次函数f（x）=x2-2ax+1的单调区间求参数的取值范围即可.【题目详解】根据题意二次函数f（x）=x2-2ax+1开口向上，单调递增区间为，单调减区间，因此当二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调增函数时a≤2，当二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调减函数时a≥3，综上可得a≤2或a≥3.故选：A.9、A【解题分析】由为上减函数，知递减，递减，且，从而得，解出即可【题目详解】因为为上的减函数，所以有，解得：，故选：A.10、C【解题分析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案.【题目详解】∵,∴,,，,∴,∵函数的图象是连续的,∴函数的零点所在的区间是.故选C【题目点拨】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、或，【解题分析】由指数函数的图象和性质可得即可求解.【题目详解】因为时，函数的值总大于，根据指数函数的图象和性质可得，解得：或，故答案为：或，12、【解题分析】把不等式x2﹣2x＞0化为x（x﹣2）＞0，求出解集即可【题目详解】不等式x2﹣2x＞0可化为x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2；∴不等式的解集为{x|x＜0或x＞2}故答案为【题目点拨】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目13、【解题分析】利用指数的运算法则和对数的运算法则即求.【题目详解】原式.故答案为：.14、【解题分析】原式考点：三角函数化简与求值15、【解题分析】根据扇形的面积公式，计算即可.【题目详解】由扇形面积公式知，.【题目点拨】本题主要考查了扇形的面积公式，属于容易题.16、②④【解题分析】由，可求得的值，可得出，计算出萍蔓延月至月份增长的面积和月至月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延个月后的面积和浮萍蔓延个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【题目详解】由已知可得，则.对于①，浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），①错；对于②，浮萍蔓延个月后的面积为（平方米），浮萍蔓延个月后的面积为（平方米），所以，浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的，②对；对于③，浮萍蔓延第至个月的增长率为，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是，③错；对于④，浮萍蔓延到平方米所经过的时间、蔓延到平方米所经过的时间的和蔓延到平方米的时间分别为、、，则，，，所以，，所以，浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少，④对.故答案为：②④.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）时，,时，.【解题分析】（1）化简即得函数，再根据函数的周期求出，即得解；（2）由题得，再根据三角函数的图像和性质即得解.【题目详解】解:(1）函数，因为,所以，解得，所以(2)当时，，当，即时，，当，即时，，所以，时，,时，.18、（1）；（2）；（3）【解题分析】（1）根据所有的基本事件的个数为，而所得点数相同的情况有种，从而求得事件“两颗骰子点数相同”的概率；（2）根据所有的基本事件的个数，求所求的“点数之和小于”的基本事件的个数，最后利用概率计算公式求解即可；（3）根据所有的基本事件的个数，求所求的“点数之和等于或大于”的基本事件的个数，最后利用概率计算公式求解即可试题解析：抛掷两颗骰子，总的事件有个.（1）记“两颗骰子点数相同”为事件，则事件有6个基本事件，∴（2）记“点数之和小于7”事件，则事件有15个基本事件，∴（3）记“点数之和等于或大于11”为事件，则事件有3个基本事件，∴.考点：古典概型.19、（1）；（2）.【解题分析】（1）由，求得，结合三角函数基本关系式，即可求解；（2）由（1）知，根据三角函数的基本关系式和诱导公式，化简为齐次式，即可求解.【题目详解】（1）由题意，角是第二象限角，且，可得，可得，所以，所以，因为是第二象限角，可得.（2）由（1）知，又由.20、（1）在R上的单调递增，证明见解析；（2）是奇函数，证明见解析；（3）.【解题分析】（1）利用单调性的定义证明，任取，设，然后判断与0的大小，即可确定单调性.（2），直接利用函数奇偶性的定义判断；（3）利用函数是奇函数，将题设不等式转化为，再利用是上的单调增函数求解.【小问1详解】函数是增函数，任取，不妨设，，∵，∴，又，∴，即，∴函数是上的增函数.【小问2详解】函数为奇函数，证明如下：