2022-2023学年辽宁省沈阳市高二下学期期末数学试题【含答案】_第1页
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文档简介

2022-2023学年辽宁省沈阳市高二下学期期末数学试题一、单选题1.已知集合,,则(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】先求出集合A,B的具体区间,再按照交集的运算规则计算.【详解】由题意:,,所以;故选:C.2.已知命题,使得,则为(

)A.,使得 B.,使得C.,使得 D.,使得【答案】B【分析】根据命题的否定的定义求解.【详解】根据命题的否定的定义,因为命题,使得,所以为,使得,故选:B.3.的最大值是(

)A. B.2 C. D.4【答案】A【分析】设可得,配方后利用二次函数的性质求解即可.【详解】设,则,因为,所以时,的最大值是,故选:A.4.设“函数在上单调递减”,“,”,则是的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先由命题求出对应的的范围;再由求出对应的的范围,结合充分条件与必要条件的概念,即可得出结果.【详解】因为函数在上单调递减,所以,即.因为时,,所以“,”等价于,即,因为集合,所以是的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题主要考查判断命题的必要不充分条件,熟记概念即可,属于常考题型.5.设为等差数列的前n项和,且,都有,若,则(

)A.的最小值是 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最大值是【答案】A【分析】由结合等差数列的前n项和公式可知数列为递增的等差数列,由可得,,即可求出,有最小值,且最小值为.【详解】由,得,即,所以数列为递增的等差数列.因为,所以,即,则,,所以当且时,;当且时,.因此,有最小值,且最小值为.故选:A.6.若在区间上是减函数,则实数a的取值范围为(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】由对数型复合函数的定义域和单调性,结合二次函数性质,列不等式组即可得解.【详解】设,由题意得:在上恒成立,且由复合函数单调性“同增异减”原则可知:函数在上单调递减,则有,解得:.故选:A7.记数列的前项和为,若存在实数,使得对任意的,都有,则称数列为“和有界数列”.下列命题正确的是(

)A.若是等差数列,且首项,则是“和有界数列”B.若是等差数列,且公差,则是“和有界数列”C.若是等比数列,且公比,则是“和有界数列”D.若是等比数列,且是“和有界数列”,则的公比【答案】C【分析】根据给出的“和有界数列”得概念对所给选项逐一分析、排除,然后得到所求.【详解】对于A,若是等差数列,且首项,当d>0时,,当趋近于正无穷时,趋近于正无穷,则不是“和有界数列”,故A不正确.对于B,若是等差数列,且公差,则,当时,当趋近于正无穷时,趋近于正无穷,则不是“和有界数列”,故B不正确.对于C,若是等比数列,且公比|q|<1,则,故,则是“和有界数列”,故C正确.对于D,若是等比数列,且是“和有界数列”,则的公比或,故D不正确.故选:C.8.已知函数及其导函数的定义域均为,且为奇函数,,,则(

)A.2025 B.2024 C.1013 D.1012【答案】B【分析】根据题意和函数的对称性可得,进而,则函数是以8为周期的周期函数,分别求出的值,结合函数的周期即可求解.【详解】由,令,得,所以.由为奇函数,得,所以,故①,又②,由①和②得,即,所以③,令,得,得;令,得,得.又④,由③-④得,即,所以函数是以8为周期的周期函数,故,所以,所以.故选:B.二、多选题9.若函数在定义域T上的值域为,则区间T可能为(

)A. B. C. D.【答案】BC【分析】结合的图象求得.【详解】由,由或,画出的图象如下图所示,由图可知,区间可能为、.故选:BC10.(多选题)下面结论错误的是(

)A.不等式与成立的条件是相同的.B.函数的最小值是2C.函数,的最小值是4D.“且”是“”的充分条件【答案】ABC【分析】在应用基本不等式的时候要注意基本不等式的成立条件.【详解】不等式成立的条件是;成立的条件是,A错;由于,故函数无最小值,B错;由于时无解,故的最小值不为4,C错;当且时,,,由基本不等式可得,当且仅当时等号成立;而“”的充要条件是“”,因为且推不出且,所以D正确.故答案为:ABC11.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为万元,且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时,则有(

)A.年产量为9000件 B.年产量为10000件C.年利润最大值为38万元 D.年利润最大值为38.6万元【答案】AD【分析】根据利润销售收入成本,将利润表示为关于的函数,根据导数判断单调性求最值即可得结果.【详解】设年利润为W.当时,,.令,得(舍负),且当时,;当时,;所以当时,年利润W取得最大值38.6;当时,,.令,得(舍负),所以当时,年利润W取得最大值38.因为,所以当年产量为9000件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,且年利润最大值为38.6万元.故选:AD.12.已知函数对任意都有,且.则下列结论正确的是(

)A.为偶函数 B.若,则C. D.若,则【答案】ACD【分析】根据分别取特殊情况验证各选项即可.【详解】选项A:因为,令可得,解得.令可得,所以,故为偶函数,A正确;选项B:令可得,所以,B错误;选项C:令可得,C正确;选项D:令可得,所以,所以,D正确.故选:ACD.三、填空题13.不等式的解集为.【答案】【分析】移项通分后不等式可转化为高次不等式,利用序轴标根法可求原不等式的解.【详解】原不等式等价于即,故不等式的解为或.故答案为:.【点睛】解分式不等式,首先观察分母的符号是否确定,如果确定,则可把分式不等式转化为整式不等式;如果不确定,则则等价于,注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.14.已知在区间上的最大值就是函数的极大值,则m的取值范围是.【答案】【分析】先对函数求导,然后令导函数等于零,则解在区间内,从而得解.【详解】因为,所以,令,得.由题意得,故.故答案为:.15.已知函数的值域为,则的取值范围是.【答案】【分析】利用基本不等式求出函数的值域,根据题意可知,可得出关于实数的不等式,解之即可.【详解】对任意的,,由基本不等式可得,当且仅当时,即当时,等号成立,因为函数的值域为,则,所以,,解得.因此,实数的取值范围是.故答案为:.16.黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出,是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数,我们经常从无穷级数的部分和入手.已知正项数列的前项和为,且满足,则(其中表示不超过的最大整数).【答案】18【分析】结合题意和和的关系,得到数列是以1为首项,1为公差的等差数列,求得,又由当时,得到,进而求得,即可求解.【详解】当时,,所以,即,因为,所以,当时,由,所以,所以,即,可得数列是以1为首项,1为公差的等差数列,所以.又当时,符合上式,所以().因为,所以,所以,当时,,即,所以.令,则,,即,从而.故答案为:.四、解答题17.已知集合,其中为常数,且.(1)若中至少有一个元素,求的取值范围;(2)若中至多有一个元素,求的取值范围.【答案】(1);(2)【分析】(1)对分类讨论:,解出即可判断出是否满足题意.时,中至少有一个元素,满足,解得范围即可得出.(2)对分类讨论:,直接验证是否满足题意.时,由中至多有一个元素,可得,解得范围即可得出.【详解】解:(1),由,解得,满足题意,因此.时,中至少有一个元素,,解得,.综上可得:的取值范围是.(2),由,解得,满足题意,因此.时,中至多有一个元素,,解得.综上可得:的取值范围是.【点睛】本题考查了集合的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.18.数列满足,,(1)若数列是等比数列,求及的通项公式;(2)若数列满足:,数列的前项和为,求证:.【答案】(1),(2)证明见解析【分析】(1)先通过递推关系配凑出等比数列的结构,从而得到,进而得出的通项公式;(2)利用错位相减法求和并证明.【详解】(1)由可得,,又,故是首项为,公比为的等比数列,即,,于是(2)由(1)知,于是,则,两式相减:,即,于是,故.19.已知函数a∈R.(1)若不等式f(x)<0的解集为求a的值;(2)讨论关于x不等式f(x)>0的解集.【答案】(1);(2)见解析.【解析】(1),1为方程的两个根,用韦达定理构建方程解出来即可.(2),分、、、和五种情况讨论即可【详解】(1)因为的解集为,所以,1为方程的两个根,由韦达定理得:,解得;(2)由得:,所以⑴当时,不等式的解集是⑵当时,不等式的解集是⑶当时①当时,,不等式的解集是或②当时,不等式可化为,不等式的解集是③当时,,不等式的解集是或综上可得:当时,不等式的解集是;当时,不等式的解集是;当时,不等式的解集是或;当时,不等式的解集是;当时,不等式的解集是或.【点睛】解含参的一元二次不等式需从以下几个方面讨论:1.二次系数的符号,2.根的个数,3.根的大小.20.对于函数,若存在实数,使=成立,则称为的不动点.(1)当时,求的不动点;(2)当时,函数在内有两个不同的不动点,求实数的取值范围.(3)若对于任意实数,函数恒有两个不相同的不动点,求实数的取值范围.【答案】(1)f(x)的不动点为,2;(2);(3).【分析】(1)把a=2,b=代入后得到函数f(x)的解析式,假设存在不动点,根据不动点定义,满足,解方程求出不动点;(2)当时,函数在内有两个不同的不动点,说明方程在区间内有两个不等式实数根,利用二次方程的根的分布求出参数的范围;(3)由题意得:对于任意实数b,方程总有两个不相等的实数解,利用方程根与判别式的关系转化为对恒成立,根据一元二次不等式恒成立的处理方法求解即可.【详解】(1)当a=2,b=时,,∴由f(x)=x得,∴x=或x=2.∴f(x)的不动点为,2.(2)当a=2时,,由题意得f(x)=x在内有两个不同的不动点,即方程在内的两个不相等的实数根.设,∴只须满足,∴.∴或4<b<6.(3)由题意得:对于任意实数b,方程总有两个不相等的实数解.∴∴对恒成立.∴,∴0<a<2.21.已知函数是定义在R上的奇函数.(1)求a的值;(2)判断并证明函数的单调性,并利用结论解不等式:;(3)是否存在实数k,使得函数在区间上的取值范围是?若存在,求出实数k的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)是R上的增函数,证明见解析;;(3)存在;实数k的取值范围是.【分析】(1)根据奇函数的性质,求出a的值,再利用奇函数的定义进行验证即可;(2)运用函数单调性的定义,结合指数函数的单调性进行判断函数的单调性,最后根据单调性的性质,通过解一元二次不等式进行求解即可;(3)根据(2),通过函数的单调性的性质,结合换元法,一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】解:(1)是定义在R上的奇函数,,从而得出,时,,;(2)是R上的增函数,证明如下:设任意,且,,,,,,,是在上是单调增函数.,又是定义在R上的奇函数且在上单调递增,,,;(3)假设存在实数k,使之满足题意,由(2)可得函数在上单调递增,,,n为方程的两个根,即方程有两个不等的实根,令,即方程有两个不等的正根,于是有且且,解得:.存在实数k,使得函数在上的取值范围是,并且实数k的取值范围是.【点睛】本题考查了函数单调性的判断和性质应用,考查了奇函数的性质,考查了数学运算能力.22.已知函数f(x)=ex(lnx+a).(1)若f(x)是增函数,求实数a的取值范围;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:x1+x2>2.【答案】(1)[﹣1,+∞)(2)证明见解析【分析】(1)求导,由f(x)是增函数,转化为f′(x)≥0对任意x>0恒成立,即恒成立,构造新函数,求导得单调性,求出最小值,得到a的取值范围.(2)设出两个极值点,即两个极值点是的两个零点,要证明x1+x2>2,只需证x2>2﹣x1,只需证g(x2)﹣g(2﹣x1)=g(x1)﹣g(2﹣x1)>0,设,求导,证h(x)在(0,1)上单调递减,从而得到g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以x2>2﹣x1成立,即x1+x2>2成立.【详解】(1)函数的定义域为,若f(x)是增函数,即f′(x)≥0对任意x>0恒成立,故恒成立,设,则,所以当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以当x=1时,g(x)min=g(1)=a+1,由a+1≥0得a≥﹣1,所以a的取值范围是[﹣1,+∞).(2)不妨设0<x1<x2,因为x1,x2是f(x)

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