2022年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2022年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷一、选择题（共10小题；共30分）1．（3分）下列各数中，无理数是（）A． B． C．3 D．2．（3分）下列图形中，中心对称图形是（）A． B． C． D．3．（3分）已知一组数据：12、18、17、13、11、15，这组数据的中位数是（）A．13 B．14 C．15 D．174．（3分）下列计算中，正确的是（）A．（3a3）2＝9a9 B．3a+3b＝6ab C．a6÷a3＝a2 D．﹣5a+3a＝﹣2a5．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，沿BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中不一定成立的是（）A．EC＝CF B．∠DEF＝90° C．AC＝DF D．AC∥DF6．（3分）如图，▱ABCD的周长是32，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（）A．16 B．14 C．22 D．187．（3分）如图，在⊙O中，AO＝3，∠C＝60°，则劣弧的长度为（）A．6π B．9π C．2π D．3π8．（3分）某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（）A．（30﹣2x）（20﹣2x）＝214 B．（30﹣x）（20﹣x）＝30×20﹣214 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214 D．（30+2x）（20+2x）＝30×20﹣2149．（3分）如图，A、B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）A． B． C．3 D．410．（3分）若二次函数y＝ax2﹣6ax+3（a＜0），当2≤x≤5时，8≤y≤12，则a的值是（）A．1 B．﹣ C．﹣ D．﹣1二、填空题（共6小题；共18分）11．（3分）若分式的值等于1，则x＝．12．（3分）二次函数y＝﹣（x+1）2﹣8的图象的顶点坐标是．13．（3分）已知圆锥的母线长为4，底面半径为3，则圆锥的侧面积等于．14．（3分）若实数m满足＝1﹣m，则m的取值范围是．15．（3分）菱形的两个内角的度数比是1：3，一边上的高长是4，则菱形的面积是．16．（3分）如图，在⊙O中，AC，BD是直径，∠BOC＝60°，点P是劣弧AB上任意一点（不与A、B重合），过P作AC垂线，交AC、BD所在直线于点E、F，过点P作BD垂线，交BD、AC所在直线于点G、H，下列选项中，正确的是．①；②∠GPE＝60°；③PG+PE最大值为AO；④当△PEH≌△CBA时，S△PGF：S矩形ABCD＝1：8．三、解答题（共9小题；共72分）17．（4分）解不等式组：．18．（4分）如图，已知点E在▱ABCD边DA延长线上，且AE＝AD．求证：四边形AEBC是平行四边形．19．（6分）已知T＝﹣．（1）化简T；（2）若a、b是方程x2﹣7x+5＝0的两个根，求T的值．20．（8分）2022春开学，为防控新冠病毒，学生进校必须戴口罩，测体温，某校开通了A、B、C三条人工测体温的通道，在三个通道中，可随机选择其中的一个通过．（1）其中一个学生进校园时由A通道过的概率是；（2）求两学生进校园时，都是C通道过的概率．（用画“树状图”或“列表格”）21．（8分）某地为了让山顶通电，需要从山脚点B开始接驳电线，经过中转站D，再连通到山顶点A处，测得山顶A的高度AC为300米，从山脚B到山顶A的水平距离BC是500米，斜面BD的坡度i＝1：2（指DF与BF的比），从点D看向点A的仰角为45°．（1）斜面AD的坡度i＝；（2）求电线AD+BD的长度（结果保留根号）．22．（8分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，n），B（﹣3，﹣4）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）以直线x＝2为对称轴，作直线y＝kx+b的轴对称图形，交x轴于点C，连接AC，求AC的长度．23．（10分）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC长为半径作⊙A．（1）尺规作图：将△ACB绕点A顺时针旋转得△AC′B′，使得点C的对应点C′落在线段AB上（保留作图痕迹，不用写画法）；（2）在（1）的条件下，若线段B′A与⊙A交于点P，连接BP．①求证：BP与⊙A相切；②如果CA＝5，CB＝12，BP与B′C′交于点O，连接OA，求OA的长．24．（12分）如图，AC、BD为⊙O的直径，且AC⊥BD，P、Q分别为半径OB、OA（不与端点重合）上的动点，直线PQ交⊙O于M、N．（1）比较大小：cos∠OPQsin∠OQP；（2）请你判断MP﹣NP与OP•cos∠OPQ之间的数量关系，并给出证明；（3）当∠APO＝60°时，设MQ＝m•MP，NQ＝n•NP．①求m+n的值；②以OD为边在OD上方构造矩形ODKS，已知OD＝1，OS＝﹣1，在Q点的移动过程中，1+﹣恒为非负数，请直接写出实数c的最大值．25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴交于A（﹣2，0）和B（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）取抛物线上异于A、B的一个动点C，作C关于x轴的对称点C′，直线AC′交抛物线于点D．①记直线CD与x轴的夹角为α（α＜90°），求α；②如果△ADC覆盖的区域内的点一定分布在四个象限内，且△ADC内角中有一个钝角β满足105°＜β＜135°，求点C横坐标的取值范围．

2022年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题；共30分）1．（3分）下列各数中，无理数是（）A． B． C．3 D．【解答】解：＝2、3是整数，是分数，这些都属于有理数；是无理数．故选：D．2．（3分）下列图形中，中心对称图形是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：C．3．（3分）已知一组数据：12、18、17、13、11、15，这组数据的中位数是（）A．13 B．14 C．15 D．17【解答】解：将这6个数据从小到大排列为：11、12、13、15、17、18，所以中位数为＝14，故选：B．4．（3分）下列计算中，正确的是（）A．（3a3）2＝9a9 B．3a+3b＝6ab C．a6÷a3＝a2 D．﹣5a+3a＝﹣2a【解答】解：A、（3a3）2＝9a6，故A不符合题意；B、3a与3b不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；C、a6÷a3＝a3，故C不符合题意；D、﹣5a+3a＝﹣2a，故D符合题意；故选：D．5．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，沿BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中不一定成立的是（）A．EC＝CF B．∠DEF＝90° C．AC＝DF D．AC∥DF【解答】解：∵Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，∴AC∥DF，△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE，∠DEF＝∠ABC＝90°，AC＝DF，BC＝EF，∴BC﹣CE＝EF﹣CE，即BE＝CF，∴选项B、C、D正确，不符合题意，选项A错误，符合题意；故选：A．6．（3分）如图，▱ABCD的周长是32，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（）A．16 B．14 C．22 D．18【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD＝BD＝6，∵▱ABCD的周长为32，∴CD+BC＝16，∵点E是CD的中点，∴DE＝CD，OE是△BCD的中位线，∴OE＝BC，∴DE+OE＝（CD+BC）＝8，∴△DOE的周长＝OD+DE+OE＝6+8＝14；故选：B．7．（3分）如图，在⊙O中，AO＝3，∠C＝60°，则劣弧的长度为（）A．6π B．9π C．2π D．3π【解答】解：由题意可得：∠AOB＝2∠C＝2×60°＝120°，∴劣弧的长度为＝2π．故选：C．8．（3分）某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（）A．（30﹣2x）（20﹣2x）＝214 B．（30﹣x）（20﹣x）＝30×20﹣214 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214 D．（30+2x）（20+2x）＝30×20﹣214【解答】解：设健走步道的宽度为x米，根据题意得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214，故选：C．9．（3分）如图，A、B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）A． B． C．3 D．4【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，∵A、B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，∴S△AOC＝S△BOE，∵AC∥BE，∴△OCD∽△OEB，∴＝（）2，又∵D是OB的中点，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，又∵S△AOD＝1，∴S△AOC＝＝|k|，∵k＞0，∴k＝，故选：B．10．（3分）若二次函数y＝ax2﹣6ax+3（a＜0），当2≤x≤5时，8≤y≤12，则a的值是（）A．1 B．﹣ C．﹣ D．﹣1【解答】解：在y＝ax2﹣6ax+3，a＜0，开口向下，对称轴为x＝3，∵当2≤x≤5时，8≤y≤12，∴x＝3时，y取得最大为12，∴12＝9a﹣18a+3，∴a＝﹣1．故选：D．二、填空题（共6小题；共18分）11．（3分）若分式的值等于1，则x＝0．【解答】解：由分式的值等于1，得＝1，解得x＝0，经检验x＝0是分式方程的解．故答案为：0．12．（3分）二次函数y＝﹣（x+1）2﹣8的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8）．【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x+1）2﹣8，∴该函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），故答案为：（﹣1，﹣8）．13．（3分）已知圆锥的母线长为4，底面半径为3，则圆锥的侧面积等于12π．【解答】解：∵底面半径为3，∴圆锥的底面周长为2×3π＝6π，∴侧面积＝4×6π÷2＝12π，故答案为12π．14．（3分）若实数m满足＝1﹣m，则m的取值范围是m≤1．【解答】解：由题意可知：m﹣1≤0，解得：m≤1，故答案为：m≤1．15．（3分）菱形的两个内角的度数比是1：3，一边上的高长是4，则菱形的面积是16．【解答】解：如图所示：过点D作DE⊥AB于点E，∵菱形的两个内角的度数比是1：3，∴3∠A＝∠ADC，∠A+∠ADC＝180°，∴∠A＝45°，则∠ADE＝45°，∴AE＝ED＝4，∴AD＝4，∴菱形的面积是4×4＝16．故答案为：16．16．（3分）如图，在⊙O中，AC，BD是直径，∠BOC＝60°，点P是劣弧AB上任意一点（不与A、B重合），过P作AC垂线，交AC、BD所在直线于点E、F，过点P作BD垂线，交BD、AC所在直线于点G、H，下列选项中，正确的是①②④．①；②∠GPE＝60°；③PG+PE最大值为AO；④当△PEH≌△CBA时，S△PGF：S矩形ABCD＝1：8．【解答】解：∵PG⊥BD，PE⊥AC，∴∠PEH＝∠PGF＝90°，∵∠HPE＝∠FPG，∴△PEH∽△PGF，∴，故①正确；∵∠BOC＝60°，∴∠GOE＝180°﹣∠BOC＝120°，在四边形PGOE中，∠GPE＝360°﹣（∠PGO+∠PEO+∠GOE）＝60°，故②正确；分别连接PA，PO，PB，过点P作PM⊥AB于点M，∵S△POB+S△POA＝S△OAB+S△PAB，∴AB•PM，∵OA＝OB，∴PG+PE＝，∴当PM最大时，PG+PE的值最大，此时点P为劣弧AB的中点，点M在线段OP上，∴PO⊥AB，PA＝PB，∴∠BOP＝60°，∴OM＝，AB＝2BM＝2＝OA，∴PM＝，S×OA×，∴PG+PE的最大值为＝OA，故③错误；当△PEH≌△CBA时，则PE＝BC，∵OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，即PE＝OB，此时点E，F均与点O重合，∴AC＝BC，OA＝OB＝OC＝OD，∴四边形ABCD是矩形，∵∠GPO＝60°，∴∠POG＝30°，∴PG＝，由勾股定理得OG＝，∴△PGF的面积为，矩形ABCD的面积＝ABOA2，∴S△PGF：S矩形ABCD＝1：8．故④正确，∴正确的是①②④，故答案为：三、解答题（共9小题；共72分）17．（4分）解不等式组：．【解答】解：，由①得：x≥1，由②得：x＞2，则不等式组的解集为x＞2．18．（4分）如图，已知点E在▱ABCD边DA延长线上，且AE＝AD．求证：四边形AEBC是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AE＝AD，∴AE＝BC，∵AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形．19．（6分）已知T＝﹣．（1）化简T；（2）若a、b是方程x2﹣7x+5＝0的两个根，求T的值．【解答】解：（1）T＝﹣＝＝＝；（2）∵a、b是方程x2﹣7x+5＝0的两个根，∴a+b＝7，则T＝．20．（8分）2022春开学，为防控新冠病毒，学生进校必须戴口罩，测体温，某校开通了A、B、C三条人工测体温的通道，在三个通道中，可随机选择其中的一个通过．（1）其中一个学生进校园时由A通道过的概率是；（2）求两学生进校园时，都是C通道过的概率．（用画“树状图”或“列表格”）【解答】解：（1）∵共有三个学生测体温，分别是A、B、C，∴其中一个学生进校园时由A通道过的概率是；故答案为：；（2）画树状图如下：共有9种等情况数，其中两学生进校园时都是C通道过的有1种情况，则两学生进校园时，都是C通道过的概率是．21．（8分）某地为了让山顶通电，需要从山脚点B开始接驳电线，经过中转站D，再连通到山顶点A处，测得山顶A的高度AC为300米，从山脚B到山顶A的水平距离BC是500米，斜面BD的坡度i＝1：2（指DF与BF的比），从点D看向点A的仰角为45°．（1）斜面AD的坡度i＝1：1；（2）求电线AD+BD的长度（结果保留根号）．【解答】解：（1）由题意得：∠AED＝90°，∠ADE＝45°，在Rt△ADE中，tan45°＝＝1，∴斜面AD的坡度i＝1：1，故答案为：1：1；（2）由（1）得：AE＝DE，设AE＝DE＝x米，则DE＝CF＝x米，∵AC＝300米，BC＝500米，∴EC＝AC﹣AE＝（300﹣x）米，BF＝BC﹣CF＝（500﹣x）米，∴DF＝EC＝（300﹣x）米，∵斜面BD的坡度i＝1：2，∴＝，∴BF＝2DF，∴500﹣x＝2（300﹣x），解得：x＝100，∴BF＝400米，DF＝200米，AE＝DE＝100米，在Rt△BDF中，BD＝＝＝200（米），在Rt△ADE中，AD＝＝＝100（米），∴AD+BD＝（100+200）米，∴电线AD+BD的长度为（100+200）米．22．（8分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，n），B（﹣3，﹣4）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）以直线x＝2为对称轴，作直线y＝kx+b的轴对称图形，交x轴于点C，连接AC，求AC的长度．【解答】解：（1）∵点B（﹣3，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝﹣3×（﹣4）＝12，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）∵点A（2，n）在反比例函数y＝图象上，∴n＝＝6，∴A（2，6），将点A、B的坐标代入一次函数y＝kx+b中，，解得：．所以一次函数的解析式为：y＝2x+2，令y＝0，则2x+2＝0，解得x＝﹣1，∴D（﹣1，0），∴AD＝＝3，∵以直线x＝2为对称轴，作直线y＝kx+b的轴对称图形，∴对称轴过点A，点D的对称点C，∴AC＝AD＝3．23．（10分）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC长为半径作⊙A．（1）尺规作图：将△ACB绕点A顺时针旋转得△AC′B′，使得点C的对应点C′落在线段AB上（保留作图痕迹，不用写画法）；（2）在（1）的条件下，若线段B′A与⊙A交于点P，连接BP．①求证：BP与⊙A相切；②如果CA＝5，CB＝12，BP与B′C′交于点O，连接OA，求OA的长．【解答】解：（1）取⊙A与AB的交点为C'，①以C'为圆心，适当长度为半径画弧，交AB于点E，F；②分别以E，F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点G、H；③作直线GH；④以C'为圆心BC长为半径画弧，交GH于B'；⑤连接AB'；则△AC'B'即为所求，如下图所示：（2）①∵△AC'B'是△ACB绕点A顺时针旋转而成，且∠ACB＝90°，∴AB＝AB'，∠AC'B'＝90°，∵P点在⊙A上，∴AC'＝AP，在△ABP和△AB'C'中，，∴△ABP≌△AB'C'（SAS），∴∠APB＝∠AC'B'＝90°，∵AP是⊙A的半径，∴BP是⊙A的切线；②如下图：∵∠ACB＝90°，AC是⊙A的半径，∴BC是⊙A的切线，且△ACB是直角三角形，∵CA＝5，CB＝12，∴AB＝＝＝13，∴sin∠ABC＝＝，∵BP是⊙A的切线，∴∠ABC＝∠ABP，故sin∠ABP＝，即＝，令OC'＝5k，OB＝13k，∴BC'＝12k，∵AB＝AC'+BC'，且AC'＝AC＝5，∴13＝5+12k，解得k＝，∴OC'＝5×＝，在Rt△AC'O中，由勾股定理得，OA＝＝＝，即OA的长为．24．（12分）如图，AC、BD为⊙O的直径，且AC⊥BD，P、Q分别为半径OB、OA（不与端点重合）上的动点，直线PQ交⊙O于M、N．（1）比较大小：cos∠OPQ＝sin∠OQP；（2）请你判断MP﹣NP与OP•cos∠OPQ之间的数量关系，并给出证明；（3）当∠APO＝60°时，设MQ＝m•MP，NQ＝n•NP．①求m+n的值；②以OD为边在OD上方构造矩形ODKS，已知OD＝1，OS＝﹣1，在Q点的移动过程中，1+﹣恒为非负数，请直接写出实数c的最大值．【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∴∠POQ＝90°，∴cos∠OPQ＝，sin∠OQP＝，∴cos∠OPQ＝sin∠OQP，故答案为：＝；（2）如图1，MP﹣NP＝2OP•cos∠OPQ，理由如下：作OE⊥MMN于E，∴EM＝EN，∴PM＝EM+PE＝EN+PE，NP＝EN﹣PE，∴PM﹣NP＝2PE，∵PE＝OP•cos∠OPQ，∴PM﹣NP＝2OP•cos∠OPQ；（3）∵①MQ＝m•MP，NQ＝n•NP，∴m＝，n＝，∴m+n＝+＝，∵∠AOP＝90°，∠APO＝60°，∴tan60°＝＝，设OP＝x，OA＝，∴PB＝OB﹣OP＝﹣x，PD＝OD+OP＝+x，∴MP•NP＝PB•PD＝2x2，∵MQ•NP+NQ•MP＝（PM﹣PQ）•NP+（NP+PQ）•MP＝PM•NP﹣PQ•NP+NP•MP+PQ•MP＝4x2+（MP﹣NP）•PQ＝4x2﹣2OP•cos∠OPQ•PQ＝4x2+2OP2＝6x2，∴m+n＝＝3；（3）如图2，连接OM，在OP的延长线上截取PE＝2OP，∴，∵∠POM＝∠MOE，∴△POM∽△MOE，∴＝＝，∴EM＝PM，∴MK+MP＝MK+