微观经济学经典需求理论(上)资料课件

第3章经典需求理论（上）10/8/20231第3章经典需求理论（上）10/7/20231目录一、偏好关系的基本性质二、偏好和效用三、效用最大化问题四、支出最小化问题10/8/20232目录一、偏好关系的基本性质10/7/20232偏好关系的基本性质经典需求理论中，消费者行为分析始于在消费集XRL+中的消费束上明确消费者的偏好。10/8/20233偏好关系的基本性质经典需求理论中，消费者行为分析始于在消费集偏好关系的基本性质（续）定义3.B.1（定义1.B.1）若偏好关系≥满足下面两个性质，则称该偏好关系是理性的：1.完备性。对于任意x,y∈X，或者x≥y，或者y≥x，或者两者同时成立。2.传递性。对于任意x,y,z∈X，若有x≥y，且y≥z，则有x≥z。10/8/20234偏好关系的基本性质（续）定义3.B.1（定义1.B.1）偏好关系的基本性质（续二）除了满足理性偏好的条件外，在经典需求理论中分析的偏好还需要满足合意性假设与凸性假设。合意性假设是对“什么合乎意愿”的假设。比如说，假定“商品数量多优于数量少”通常是合理的，这就是一种合意性假设。因此有定义3.B.210/8/20235偏好关系的基本性质（续二）除了满足理性偏好的条件外，在经典需偏好关系的基本性质（续三）定义3.B.2若x∈X及y»x意味着y＞x，则称X上的偏好关系≥是单调的。如果y≥x和y≠x意味着y＞x，则它就是强单调（或严格单调）的。该定义意味着，如果偏好满足合意性，则如果消费的商品增多，消费者的感觉会更好。10/8/20236偏好关系的基本性质（续三）定义3.B.2若x∈X及y»x偏好关系的基本性质（续四）满足单调的偏好意味着消费者在增加某一部分商品消费时，可能感觉不到与之前的差异；而严格单调意味着，只要消费者在保持其他商品消费不变的情况下增加某种商品消费，就会使自身的感觉变好。10/8/20237偏好关系的基本性质（续四）满足单调的偏好意味着消费者在增加某偏好关系的基本性质（续五）对于某些有害品，也可以将其换成抵消其负面影响的商品或服务，（例如将垃圾换成环卫工人的服务）使之满足合意性假设。定义3.B.3若对于每一个x∈X和每一个ε＞0，存在y∈X，使得║y-x║≤ε，且y＞x，则称X上的偏好关系是局部非饱和的。10/8/20238偏好关系的基本性质（续五）对于某些有害品，也可以将其换成抵消偏好关系的基本性质（续六）局部非饱和性偏好的含义是，对于任何一个消费束x∈RL+和任意一个距x任意小的距离ε＞0，在这一距离内均存在优于x的另一个消费束y∈RL+。因此，在局部非饱和假设的情况下，一个人的偏好可以在X中不断地改善。图3.B.1中，圆心是x，圆半径是ε。只要y位于圆周之内，就有║y-x║≤ε。10/8/20239偏好关系的基本性质（续六）局部非饱和性偏好的含义是，对于任何图3.B.1局部非饱和性偏好的检验

10/8/202310图3.B.1局部非饱和性偏好的检验10/7/202310偏好关系的基本性质（续七）对于图3.B.1，需要说明两点：第一，该图只表明上述圆中存在着优于x的y，并不是说小圆中的任意一个消费束都优于x。例如，如果图中所有商品都是goods，则按照“商品数量多优于数量少”的合意性假设与严格单调，小圆中位于x右上方的各消费束是优于x的，而图中位于x左下方的y是劣于x的。10/8/202311偏好关系的基本性质（续七）对于图3.B.1，需要说明两点：偏好关系的基本性质（续八）第二，教材59页上提到，局部非饱和性排除了所有商品都是bads的极端情况，否则无任何消费的0点将是饱和点。但教材58页提到，优于x的y中，所有种类的商品可能都比x中的少，如教材59页图3.B.1所示。这意味着消费束中可能有某些种类的商品是bads，这才会导致消费者更偏好消费束中goods和bads的数量都少于x的y。10/8/202312偏好关系的基本性质（续八）第二，教材59页上提到，局部非饱和偏好关系的基本性质（续九）换句话说，局部非饱和性偏好不以“商品数量多优于数量少”为条件，因而也就不必将bads换成抵消其负面影响的商品或服务，就可以应用。所以，局部非饱和性是比单调性更弱的合意性假设。10/8/202313偏好关系的基本性质（续九）换句话说，局部非饱和性偏好不以“商偏好关系的基本性质（续十）给定偏好关系≥和一个消费束x，可以定义三个相关的消费束集合。包含点x的无差异集是所有与x无差异的消费束的集合：{y∈X:y～x}。消费束x的上等值集是所有至少与x一样好的消费束的集合：{y∈X:y≥x}。x的下等值集则是所有x至少与之一样好的消费束的集合：{y∈X:x≥y}。10/8/202314偏好关系的基本性质（续十）给定偏好关系≥和一个消费束x，可以图3.B.2(b)一般的无差异曲线

10/8/202315图3.B.2(b)一般的无差异曲线10/7/202315偏好关系的基本性质（续十一）凸曲线即碗形曲线。形象说法，从上往下看，凸就是凸，凹就是凹。定义3.B.4若对于每个x∈X，上等值集：{y∈X:y≥x}是凸的；也就是说，若y≥x，z≥x，就有对于任意a∈[0,1]（即0≤a≤1），有ay+(1-a)z≥x，则称X上的偏好关系≥是凸的。10/8/202316偏好关系的基本性质（续十一）凸曲线即碗形曲线。形象说法，从上无差异曲线与凸性偏好

10/8/202317无差异曲线与凸性偏好10/7/202317偏好关系的基本性质（续十二）对定义3.B.4可用上图说明。图中，y,z位于同一条无差异曲线上。如果无差异曲线是凸的，则ay+(1-a)z必然位于该线及该线右上方，而符合y≥x，z≥x的x必然位于该线及该线左下方，因而必然有ay+(1-a)z≥x。凸偏好关系意味着人们倾向于选择多元化的产品组合。10/8/202318偏好关系的基本性质（续十二）对定义3.B.4可用上图说明。图偏好关系的基本性质（续十三）定义3.B.5若对于每个x，均有：y≥x，z≥x，及y≠z，则对任意a∈(0,1)（即0＜a＜1），有ay+(1-a)z＞x，称为X上的偏好关系≥是严格凸的。凸性偏好并不否认无差异曲线有可能是一条直线，至少某一段是直线，如教材62页图3.B.4所示。但此图虽不违反凸性偏好假设，但违反严格凸性偏好假设。10/8/202319偏好关系的基本性质（续十三）定义3.B.5若对于每个x，偏好关系的基本性质（续十四）严格凸性假设是边际替代率递减假设的一般化。边际替代率是指在维持效用水平不变的条件下，为多得到一单位某种产品而愿意放弃的另一产品的数量。边际替代率递减，意味着随着某种产品消费量的增加，消费者为多得到一单位该产品而愿意放弃的另一产品的数量越来越少。10/8/202320偏好关系的基本性质（续十四）严格凸性假设是边际替代率递减假设偏好关系的基本性质（续十五）微观经济学用序数来表示偏好和效用。按照这种表示，不同的人之间，偏好和效用是无法比较的。这一方面从理论上排除了收入再分配，另一方面却给偏好和效用的加总和全社会范围内的使用造成障碍。10/8/202321偏好关系的基本性质（续十五）微观经济学用序数来表示偏好和效用偏好关系的基本性质（续十六）为解决这个问题，微观经济学只能使用以观察现实为基础的方法二即选择法，在不同消费者偏好“显示出”的基础上，关注那些可以从单个无差异集推广出消费者整体偏好关系的偏好。除了不同的人无差异集/无差异曲线重合或近似重合的情况外，其它两类这样的例子分别是位似偏好和拟线性偏好。10/8/202322偏好关系的基本性质（续十六）为解决这个问题，微观经济学只能使偏好和效用教材第一章B节已经介绍过效用函数。但命题1.B.2说的是“只有理性偏好关系才可以用一个效用函数来代表”，并没有说“所有的理性偏好关系都可以用一个效用函数来代表”。因而如教材63页所说，“理性偏好关系并不总是可以用一个效用函数来代表”。10/8/202323偏好和效用教材第一章B节已经介绍过效用函数。但命题1.B.2偏好和效用（续）以词典式偏好关系为例。其特点是：假定X∈R2+，若“x1＞y1”，或“x1=y1，且x2＞y2”，则定义x≥y。该特点表明，就象词典在排序时，单词的第一个字母具有最高优先权一样，在决定偏好顺序时，商品1具有最高优先权。若x1＞y1，即使x2＜y2，仍然定义定x≥y。10/8/202324偏好和效用（续）以词典式偏好关系为例。其特点是：假定X∈R2偏好和效用（续二）只有当两个商品束中第一种商品的数量一样时，才根据这两个商品束中第二种商品数量的多少来决定消费者的偏好。按照这种偏好顺序，没有两个不相同的消费束是无差异的。无差异集是单元素集。这种“见官大一级”式的偏好无法用效用函数来表示。10/8/202325偏好和效用（续二）只有当两个商品束中第一种商品的数量一样时，偏好和效用（续三）为确保效用函数存在，除了理性偏好关系必然满足的完备性（包括本教材认为包括在其中的自反性）和传递性，以及包含在合意性假设中的强单调性外，还需要假定偏好关系是连续的。10/8/202326偏好和效用（续三）为确保效用函数存在，除了理性偏好关系必然满偏好和效用（续四）定义3.C.1若X上的偏好关系≥在极限下是被保持的，也就是说，对于任何一个成对序列，xn≥yn对所有的n均成立，且x=limn→∞xn，y=limn→∞yn，有x≥y，则称该偏好关系≥是连续的。10/8/202327偏好和效用（续四）定义3.C.1若X上的偏好关系≥在极限偏好和效用（续五）一种等价的表述连续性概念的方法是：对于所有的x，上等值集{y∈X:y≥x}和下等值集{y∈X:x≥y}均为闭集；也就是说，它们包括了它们的边界。命题3.C.1假定X上的理性偏好关系≥是连续的，则存在一个代表≥的连续效用函数。10/8/202328偏好和效用（续五）一种等价的表述连续性概念的方法是：对于所有偏好和效用（续六）以下我们假定消费者的偏好关系是连续的，因而可以用一个连续的效用函数来代表。注意：第一，如第一章教材11页所述，代表偏好关系≥的效用函数不是惟一的。对于任何严格递增的函数，v(x)=f(u(x))都是一个新的代表和u(x)一样偏好的效用函数。10/8/202329偏好和效用（续六）以下我们假定消费者的偏好关系是连续的，因而偏好和效用（续七）第二，命题3.C.1只告诉我们，若X上的理性偏好关系≥是连续的，则存在某一代表≥的连续效用函数；它并非意味着所有代表≥的效用函数都是连续的。下面讨论效用函数的可微性。10/8/202330偏好和效用（续七）第二，命题3.C.1只告诉我们，若X上的理图3.C.3里昂惕夫偏好

10/8/202331图3.C.3里昂惕夫偏好10/7/202331偏好和效用（续八）连续偏好有可能不能用一个可微的效用函数来代表。例如图3.C.3所举的里昂惕夫偏好的情形，此时u(x1,x2)=min{x1,x2}。里昂惕夫偏好不可微起因于x1=x2时无差异曲线上的弯折。10/8/202332偏好和效用（续八）连续偏好有可能不能用一个可微的效用函数来代偏好和效用（续九）但就技术处理而言，可微的效用函数更为方便，因此，在经典需求理论中一般假设效用函数是二阶可微的。直观地说，二阶可微所要求的条件，是无差异集是拟合得很好的光滑曲面，使得商品之间的替代率可微地依赖于消费水平。10/8/202333偏好和效用（续九）但就技术处理而言，可微的效用函数更为方便，偏好和效用（续十）对偏好的限制将转化为对效用函数性质的限制。例如，单调性意味着效用函数是递增的：若x»y，则u(x)＞u(y)。又如，偏好的凸性意味着u(·)是拟凹的，偏好的严格凸性意味着u(·)是严格拟凹的。

10/8/202334偏好和效用（续十）对偏好的限制将转化为对效用函数性质的限制。我的观点从第一章到现在，微观经济学中给出的假设越来越多。每增加一个假设，就增加了一些经济学或数学的分析工具；同时，每增加一个假设，就排除了一些实际情况。

10/8/202335我的观点从第一章到现在，微观经济学中给出的假设越来越多。每增我的观点（续）在开始学习微观经济学时，只有这样做，才能给出微观经济学的基本情景或范式，并在此基础上展开分析。但在掌握了对基本情景的分析后，就需要一步步放松假设，逼近现实，同时考虑当某些经济学或数学分析工具因缺少假设而不能使用时，应该用什么分析工具作为替代。10/8/202336我的观点（续）在开始学习微观经济学时，只有这样做，才能给出微我的观点（续二）在研究经济学问题时，则要考虑哪些假设对该问题是适用的，哪些是不适用的。认为只有使用经典的假设和分析工具的研究，才是高水平的经济学研究；把无法使用经典的假设和分析工具的研究排除在高水平研究乃至经济学研究的范围之外，造成对现实经济问题的研究畸轻畸重，这是我最担心的。10/8/202337我的观点（续二）在研究经济学问题时，则要考虑哪些假设对该问题效用最大化问题从本部分往下，我们开始研究消费者决策问题。研究的隐含前提是完全竞争市场下的价格接受者假设。即：假定市场上有L种商品；对单个消费者来说，这些商品的价格是不变的和独立于消费者个人行动的。10/8/202338效用最大化问题从本部分往下，我们开始研究消费者决策问题。研究效用最大化问题（续）在给定价格p»0和财富w＞0的条件下，消费者选择其最偏好的消费束。这被称为效用最大化问题（UMP），表述如下：

u(x)s.t.p·x≤w

在效用最大化问题中，消费者在瓦尔拉斯预算集Bp,w={x∈RL+:p·x≤w}中选择一个消费束，以最大化其效用水平。10/8/202339效用最大化问题（续）在给定价格p»0和财富w＞0的条件下，消效用最大化问题（续二）命题3.D.1若p»0，且u(·)是连续的，则效用最大化问题只有一个解。证明：若p»0，则瓦尔拉斯预算集Bp,w={x∈RL+:p·x≤w}是一个紧集，因为它是有界的（任给l=1，…，L，有：对于所有的x∈Bp,w，xl≤w/pl）和闭的。连续函数在任何紧集上总有一个最大值。10/8/202340效用最大化问题（续二）命题3.D.1若p»0，且u(·)效用最大化问题（续三）第二章提到，在给定的一组价格p和财富w下，消费者会相应选择一个或多个消费束x。x(p,w)被称为瓦尔拉斯需求对应。在讨论效用最大化问题时，教材71页又提到瓦尔拉斯需求对应，并指出：第一，每一价格-财富状况(p,w)»0；第二，x(p,w)∈RL+；第三，瓦尔拉斯需求对应亦称为序数需求对应或市场需求对应。10/8/202341效用最大化问题（续三）第二章提到，在给定的一组价格p和财富w图3.D.1(a)效用最大化问题的单一解

10/8/202342图3.D.1(a)效用最大化问题的单一解10/7/20效用最大化问题（续四）图3.D.1(a)显示的是当L=2时，效用最大化问题的单一解。该图是初级经济学和中级微观经济学中常见的、用无差异曲线和预算线来表示的消费者均衡图。图中，点x(p,w)位于无差异集u(y)=u(x(p,w))中，该无差异集的效用水平是瓦尔拉斯预算集Bp,w中所有点可能达到的最高效用水平。10/8/202343效用最大化问题（续四）图3.D.1(a)显示的是当L=2时，效用最大化问题（续五）注意：如前面所说，如果效用函数是凸性的但并非严格凸性的，对于给定的(p,w)»0，最优集x(p,w)可能有多于一个的元素，如教材70页图3.D.1(b)所示。若x(p,w)对于所有(p,w)都是单值，那就象第二章所说的，称之为瓦尔拉斯需求函数，亦称为序数需求函数或市场需求函数。10/8/202344效用最大化问题（续五）注意：如前面所说，如果效用函数是凸性的效用最大化问题（续六）命题3.D.2假定u(·)是一个连续效用函数，它代表了定义在消费集X=RL+上的局部非饱和的偏好关系≥，则瓦尔拉斯需求对应x(p,w)具有下述性质：1.在(p,w)上具有零次齐次性：任给p,w和标量a＞0，有x(ap,aw)=x(p,w)。2.瓦尔拉斯定律：任给x∈x(p,w)，有p·x=w

10/8/202345效用最大化问题（续六）命题3.D.2假定u(·)是一个连效用最大化问题（续七）3.凸性/惟一性：如果偏好关系≥是凸的，从而u(·)是拟凹的，则x(p,w)是一个凸集；如果偏好关系≥是严格凸的，从而u(·)是严格拟凹的，则x(p,w)只包含单一的元素。其中最后一点，介绍定义3.B.4时我讲过。我的观点与教材60-61页有关边际替代率递减成立条件的说法不同，但与这里命题3.D.2的说法一致。10/8/202346效用最大化问题（续七）3.凸性/惟一性：如果偏好关系≥是凸的效用最大化问题（续八）如果u(·)是连续可微的，则最优消费束x*∈x(p,w)可以通过一阶条件来刻划。其库恩-塔克必要条件是指：如果x*∈x(p,w)是效用最大化问题的一个解，则存在一个拉格朗日乘子λ≥0，使得对于所有的l=1，…，L，有：若x*l＞0，则该式成立(3.D.1)10/8/202347效用最大化问题（续八）如果u(·)是连续可微的，则最优消费束效用最大化问题（续九）等价地，令▽u(x)=[∂u(x)/∂x1,…,∂u(x)/∂xL]代表u(·)在x的梯度向量，则可将不等式3.D.1写成如下矩阵形式：▽u(x*)≤λp(3.D.2)以及x*·[▽u(x*)-λp]=0(3.D.3)因此，若有内点解（即如果x*»0），则必然有▽u(x*)=λp(3.D.4)10/8/202348效用最大化问题（续九）等价地，令▽u(x)=[∂u(x)/图3.D.4(a)内点解

10/8/202349图3.D.4(a)内点解10/7/202349效用最大化问题（续十）图3.D.4(a)描述的是当L=2且有内点解时的一阶条件。该图与图3.D.1(a)一样，也是用无差异曲线和预算线来表示的消费者均衡图。根据3.D.4式，消费者效用函数的梯度向量▽u(x*)必须与价格向量p成比例。若▽u(x*)»0，则这等价于以下等式，即对任何两种商品l和k，有10/8/202350效用最大化问题（续十）图3.D.4(a)描述的是当L=2且有效用最大化问题（续十一）(3.D.5)3.D.5式的左边是x*点上商品l对商品k的边际替代率MRSlk(x*)，即消费者为多得到一单位商品l而愿意放弃的商品k的数量。当L=2时，消费者的无差异集在x*点的斜率恰好为-MRS12(x*)。10/8/202351效用最大化问题（续十一）10/7/202351效用最大化问题（续十二）这意味着在内点最优点上，任何两种商品的边际替代率都必须等于它们的价格比。如果不是这样，消费者可以通过改变消费结构来提高效用水平。例如，如果[∂u(x*)/∂xl]/[∂u(x*)/∂xk]＞(pl/pk)，则将对商品l的消费量增加dxl，同时将对商品k的消费量减少(pl/pk)dxl，则消费者的效用变化为[∂u(x*)/∂xl]dxl-[∂u(x*)/∂xk](pl/pk)dxl＞0。10/8/202352效用最大化问题（续十二）这意味着在内点最优点上，任何两种商品图3.D.4(b)边角解

10/8/202353图3.D.4(b)边角解10/7/202353效用最大化问题（续十三）图3.D.4(b)描述的是当L=2且有边角解时的一阶条件。此时x*2=0。边角解时，消费者效用函数的梯度向量▽u(x*)不必与价格向量p成比例。该图中，MRS12(x*)＞p1/p2。10/8/202354效用最大化问题（续十三）图3.D.4(b)描述的是当L=2且效用最大化问题（续十四）与内点最优点不同的是，边角最优点上，能够出现边际替代率和价格比率的不相等，因为消费者此时不可能在消费量已经为0的条件下，进一步减少对商品2的消费。10/8/202355效用最大化问题（续十四）与内点最优点不同的是，边角最优点上，效用最大化问题（续十五）此时的一阶条件告诉我们，满足库恩-塔克必要条件意味着：对于那些x*l=0的l，∂ul(x*)/∂xl≤λpl，即不等式3.D.2适用；对于那些x*l＞0的l，∂ul(x*)/∂xl=λpl，即3.D.3式适用。10/8/202356效用最大化问题（续十五）此时的一阶条件告诉我们，满足库恩-塔效用最大化问题（续十六）不等式3.D.2与3.D.3式中的拉格朗日乘子λ等于在x*点上消费者财富边际增加所引起的效用变化——即消费者财富的边际效用，或称财富的影子价格。尽管是花钱买边际效用，但消费者对边际效用会有自己的估价，即多花100元买的商品的效用值多少元，这个“值多少元”就是所花100元的影子价格——它完全可以高于100元。10/8/202357效用最大化问题（续十六）不等式3.D.2与3.D.3式中的拉效用最大化问题（续十七）效用函数本来反映的是消费束x与效用u之间的关系。但由于xl=w/pl，因而也可以用p和w代替x作为自变量来构建效用函数。由此构建出来的效用函数v(p,w)被称为间接效用函数，u(x)则被称为直接效用函数。间接效用函数具有以下基本性质。10/8/202358效用最大化问题（续十七）效用函数本来反映的是消费束x与效用u效用最大化问题（续十八）命题3.D.3假定u(·)是一个连续效用函数，它代表了定义在消费集X=RL+上的局部非饱和的偏好关系≥，则间接效用函数v(p,w)是：1.零次齐次的。2.在w上是严格递增的，并且对于任意l，它在pl上都是非递增的。10/8/202359效用最大化问题（续十八）命题3.D.3假定u(·)是一个效用最大化问题（续十九）3.拟凸的；也就是说，对于任意，集合{(p,w):v(p,w)≤}都是凸的。4.在p和w上是连续的。10/8/202360效用最大化问题（续十九）3.拟凸的；也就是说，对于任意支出最小化问题研究支出最小化问题的前提是：p»0和u＞u(0)。支出最小化问题(EMP)，表述如下：p·x

s.t.u(x)≥u

10/8/202361支出最小化问题研究支出最小化问题的前提是：p»0和u＞u(0支出最小化问题（续）效用最大化问题是在给定财富w的条件下，使消费者的效用达到最大水平。支出最小化问题则是在给定效用水平u的条件下，使消费者所需支付的财富达到最低水平。两者目标相同，形式上相似，一个问题的目标函数是另外一个问题的约束条件，因而这两个问题是对偶问题。

10/8/202362支出最小化问题（续）效用最大化问题是在给定财富w的条件下，使图3.E.1支出最小化问题10/8/202363图3.E.1支出最小化问题10/7/202363支出最小化问题（续二）图3.E.1中，最优消费束x*是允许消费者达到效用水平u的最小花费消费束。从几何上说，x*是集合{x∈RL+:u(x)≥u}中的一个点，该点所在的预算线是所有与集合RL+的边界相交或相切的预算线中位置最低的。10/8/202364支出最小化问题（续二）图3.E.1中，最优消费束x*是允许消支出最小化问题（续三）命题3.E.1描述了支出最小化问题与效用最大化问题之间的关系。命题3.E.1假定u(·)是一个连续效用函数，它代表了定义在消费集X=RL+上的局部非饱和的偏好关系≥，而且价格向量为p»0，则有10/8/202365支出最小化问题（续三）命题3.E.1描述了支出最小化问题与效支出最小化问题（续四）1.如果当财富为w＞0时，x*在效用最大化问题中是最优的，那么当要求达到的效用水平为u(x*)时，x*在支出最小化问题中就是最优的。而且这一支出最小化问题中的最小支出水平正好就是w。10/8/202366支出最小化问题（续四）1.如果当财富为w＞0时，x*在效用最支出最小化问题（续五）2.如果当要求达到的效用水平是u＞u(0)时，x*在支出最小化问题中是最优的。那么当财富为p·x*时，x*在效用最大化问题中就是最优的。而且这一在效用最大化问题中的最大效用水平就是u。10/8/202367支出最小化问题（续五）2.如果当要求达到的效用水平是u＞u(支出最小化问题（续六）当p»0时，支出最小化问题的解在非常一般的条件下存在。对约束集，仅仅要求是非空的，即u＞u(0)。从现在起，我们假定这一要求得到了满足。10/8/202368支出最小化问题（续六）当p»0时，支出最小化问题的解在非常一支出最小化问题（续七）给定价格p»0及要求达到的效用水平u＞u(0)，支出最小化问题解的值表示为e(p,u)。函数e(p,u)被称为支出函数。对于任意的(p,u)，它的值即为p·x*，其中x*为支出最小化问题的任意一个解。支出函数的基本性质见命题3.E.2。它类似于命题3.D.3所描述的效用最大化问题中间接效用函数的性质。10/8/202369支出最小化问题（续七）给定价格p»0及要求达到的效用水平u＞支出最小化问题（续八）命题3.E.2假定u(·)是一个连续效用函数，它代表了定义在消费集X=RL+上的局部非饱和的偏好关系≥，则支出函数e(p,u)是：1.在p上一次齐次的。2.在u上是严格递增的，并且对于任意l，它在pl上都是非递减的。3.在p上是凹的。4.在p和u上是连续的。10/8/202370支出最小化问题（续八）命题3.E.2假定u(·)是一个连支出最小化问题（续九）命题3.E.1使我们可以在支出函数与间接效用函数之间建立联系。特别是对于任意的p»0，w＞0，以及u＞u(0)，有：e(p,v(p,w))=w和v(p,e(p,u))=u(3.E.1)这些条件意味着，对于给定的价格向量，e(,·)和v(,·)是互逆的。10/8/202371支出最小化问题（续九）命题3.E.1使我们可以在支出函数与间支出最小化问题（续十）支出最小化问题中的最优商品向量集表示为h(p,u)RL+，它被称为希克斯或补偿需求对应，如果是单值，则被称为希克斯或补偿需求函数。10/8/202372支出最小化问题（续十）支出最小化问题中的最优商品向量集表示为图3.E.3希克斯需求函数

10/8/202373图3.E.3希克斯需求函数10/7/202373支出最小化问题（续十一）什么是“财富或收入保持不变”，微观经济学有不同的解释。在介绍斯拉茨基财富补偿时，我们讨论了其中的一种情况。在讨论希克斯需求函数时，我们遇到了另外一种情况，即价格变化前后，在不同的相对价格条件下，消费者消费的最优商品向量集保持在同一条无差异曲线上。10/8/202374支出最小化问题（续十一）什么是“财富或收入保持不变”，微观经支出最小化问题（续十二）希克斯需求对应的基本性质见命题3.E.3。它类似于命题3.D.2所描述的瓦尔拉斯需求对应的性质。命题3.E.3假定u(·)是一个连续效用函数，它代表了定义在消费集X=RL+上的局部非饱和的偏好关系≥，则对于任意p»0，希克斯需求对应h(p,u)具有下述性质：10/8/202375支出最小化问题（续十二）希克斯需求对应的基本性质见命题3.E支出最小化问题（续十三）1.在p上是零次齐次的：对于任意p,u和a＞0，均有h(ap,u)=h(p,u)。2.没有超额效用：任给x∈h(p,u)，有u(x)=u。3.凸性/惟一性：如果偏好关系≥是凸的，从而u(·)是拟凹的，则h(p,u)是一个凸集；如果偏好关系≥是严格凸的，从而u(·)是严格拟凹的，则h(p,u)有惟一的一个元素。10/8/202376支出最小化问题（续十三）1.在p上是零次齐次的：对于任意p,支出最小化问题（续十四）通过前面对命题3.E.1的介绍，我们在支出函数与间接效用函数之间建立了如3.E.1所描述的联系。利用命题3.E.1，我们同样可以把希克斯需求对应与瓦尔拉斯需求对应之间的关系写成：h(p,u)=x(p,e(p,u))和x(p,w)=h(p,v(p,w))(3.E.4)10/8/202377支出最小化问题（续十四）通过前面对命题3.E.1的介绍，我们支出最小化问题（续十五）3.E.4式的两个关系中，h(p,u)=x(p,e(p,u))解释了为何用补偿需求对应来描述h(p,u)。当价格