基于排队论的收费台优化模型研究

基于排队论的收费台优化模型研究

随着出版业的快速发展，超市和购物中心之间的竞争变得越来越激烈。它是超市和任何消费者最终完成交易的唯一途径，团队系统是向前迈出的一步。排队系统是超市和顾客接触的前线,排队系统的服务质量将影响到公司在消费者心中的形象,制约着公司整个运营的水平和绩效。优化排队系统,为顾客提供最佳服务是公司面对竞争的必然选择,而要从根本上解决排队问题,公司必须在可接受的经营成本下,使顾客尽量减少等待时间。由于顾客的到达是随机的,各顾客需要交费的时间也是随机的,若开放的窗口过少,顾客等待时间会很长,使顾客不满意,而导致顾客流失或转向竞争者;若开放的窗口过多,虽然减少了顾客的等待时间,但将导致收银员空闲,使企业的经营成本增加。因此,如何根据顾客流量及所需的交费时间动态地、合理地开设收费窗口数目,使得顾客满意且企业经营成本也不会过高,这是该类企业亟待解决的问题。现有解决这一问题的一般方法是将系统中的顾客由于等待所产生的损失费用加企业开放收费窗口的费用作为总费用,使得这个总费用最小的收费窗口数即为所求。在文献提出的模型中,决策者需根据服务水平来决定最优化的K值(K表示一个拥挤指标,当每个队伍中的人数超过K时就增加一个服务台)和需开放的服务台数。而服务水平的确定又必须考虑每位顾客的机会成本,即他们到达带来的收入是否大于服务台的运营成本,但这往往很难确定。文献探讨了二层限制条件的M/G/1排队模型的优化问题,即服务员在二层限制条件下,根据不同的队长确定开放服务台的数量以降低成本,其假设顾客平均等待费用已知且是线性的。文献划分不同的顾客等级,利用先到先服务的M/G/1排队模型,提出了在多等级顾客中的价值构成模型:净收入=期望收入-顾客等待费用-提高收入所需费用,他们假设顾客的等待费用为已知。以上文献均把顾客由于等待所产生的费用假设为一个已知量,将等待费用和服务成本的总费用作为目标函数得到最优的控制策略,但在实际应用中顾客的等待费用往往很难确定。例如,一个70岁的退休老人与一个30岁的年轻人同样等待1个小时所产生的损失费用显然是不同的,同一个人在不同时间的等待损失费用也是不同的;另一方面,由于这类企业竞争激烈,应提高服务质量,把顾客满意放在首位。因此,上述方法在实际中往往是不可行的。基于此,通过调查获得顾客能接受的平均等待时间TD(N),提出了以TD(N)为约束条件的优化模型,在此约束条件下可求得使服务成本最小的收费台数。本文通过成都市一大型超市的调查数据,利用上述方法对收银台开放数目进行优化,所得结果比该商场原开放方式更能满足顾客的要求,同时还节约了成本。1顾客到达和服务规则大型超市顾客交费排队系统是一个随机服务系统,它有如下特征:(1)顾客到达收费系统是相互独立的,顾客相继到达的时间间隔是随机的;(2)服务规则遵从先到先服务原则,且为等待制,即顾客接受服务需要等待;(3)顾客交费时间是相互独立的。2灭及达到稳态时,p0c系统运行较长时间达到稳态,进入系统的顾客可随时改变其队列。假设顾客的到达服从泊松分布,其交费时间服从负指数分布,因此这个收费系统是M/M/C/∞/∞的一个排队系统。变量设置:λ(i)为顾客平均到达率;μ为服务员的服务率;ρc为系统的服务强度;pn(c)为开放c台收银机时在统计平衡状态下系统中有n个顾客的概率;c(i)为i时段使服务成本最小的收费台数;TD(N)为白天或晚上顾客能够接受的平均等待时间。当到达率为λ(i),服务率为μ的生灭过程达到稳态时,可得p0(c)=[c-1∑k=01k!(λ(i)μ)k+1cμ)c]-1‚(1)pn(c)={1n!(λ(i)μ)np0(c)‚n=1‚2‚⋯‚c；1c!cn-c(λ(i)μ)np0(c)‚n=c+1‚⋯。(2)由文献可得,在M/M/C/∞/∞系统中,对于时段i(i=1,2,…,14),当系统达到统计平衡状态时,每个顾客在系统中的等待时间W的均值为E(W)=pc(c)cμ(1-ρc)2=p0(λ(t)μ)n1n!nμ(nμ-λ)2‚(3)式中,ρc=λ(i)cμ。本文的模型是,当系统达到统计平衡状态时,一个顾客在收费系统中的平均等待时间E(W)不超过顾客能够接受的平均等待时间TD(N)的条件下,求使服务成本最小的收费台数c(i)=min{c|E(W)≤ΤD(Ν)}={min{c|pc(c)[cμ(1-ρc)2]≤ΤD}‚1≤i≤9；min{c|pc(c)[cμ(1-ρc)2]≤ΤΝ}‚10≤i≤14。(4)设Xi表示在时段i,当收费台开放数为c(i)时,c(i)个收费台中正在工作的台数,则Xi的分布为P(Xi=k)=pk(c(i)),k=0,1,…,c(i)-1,(5)Ρ(Xi=c(i))=1-c(i)-1∑k=0pk(c(i)),(6)所以E(Xi)=c(i)-1∑k=1kpk(c(i))+c(i)[1-c(i)-1∑k=0pk(c(i))]。(7)因此,收费台的有效工作率为E(Xi)c(i)。3顾客到达率计算公式与顾客进路数据的统计描述对成都某大型超市进行调查,数据如下:(1)共设有40台收银机,这些收银机各时段的开放情况见表1。(2)在收费系统现场连续记录了150名顾客各自进入系统的时刻,利用文献中定数检验法得到一天i时段内进入收费系统的顾客流是一个符合泊松分布的顾客流,其平均到达率记为λ(i)(数据见表1)。值得注意的是,进入收费系统的顾客流在一个时段内是一平稳泊松流,但在整个一天内却不是一个平稳泊松流。(3)利用计算机收费记录数据,随机选取了400名顾客交费时所需的时间数据,通过统计检验得到顾客交费时所需的时间v是服从负指数分布且其均值为E(v)=μ-1=1.629min/人,即μ=36.8人/h。(4)通过对100名随机选择的购物顾客的调查,获得了顾客在交费时能够接受的等待时间数据。对这些数据的分析发现,9∶00～19∶00顾客能够接受的等待时间均值为TD=0.11h,19∶00～23∶00的均值为TN=0.13h。这说明,晚上顾客的时间没白天那么紧迫,所以晚上能够接受的等待时间大于白天能够接受的等待时间。4cibi和ez根据上述模型,借助MATLAB软件,代入以上的商场数据即可研究该排队系统中服务台数的优化设计问题。编制含有5个子程序[关于p0(c),pn(c),E(W),c(i)和E(Xi)]的MATLAB源程序来实现如下功能:给定顾客在各时段的平均到达率λ(i)、平均服务率μ,以及服务台数的起始变化值及终止值(需要注意最小开放服务台数应保证系统服务率,即ρc=λ(i)cμ＜1才能使系统达到统计平衡)的情况下,算出各时段顾客等待时间不超过TD(N)的c(i)值,再算出E(Xi)值及E(Xi)c(i)的值。计算结果见表2。5收银台有效工作率(1)从表2可见,在时段9∶00～11∶00及17∶00～21∶00优化的台数c(i)小于实际开放的台数,可见这些时段实际开放的台数过多,而11∶00～17∶00和21∶00～23∶00期间实际开放的收费台数又太少,尤其是22∶00～23∶00时段,这样顾客等待的时间将会超过他们能接受的等待时间,从而使得顾客不满意。从表2还可看到,优化后各时段收费系统的有效工作率E(Xi)c(i)均在95%以上,说明收银员的工作量比较饱和,避免了由于收银台开放数过多造成的人员浪费。(2)大型超市的排队系统还可设置少许辅助人员,在客流量大时作收银员,客流量小时可将顾客准备购买但排队时又放弃购买的货物整理放回货架,这样既可进一步优化排队系统,也是降低成本的一种途径。6节约成本的原则从上可