2022年江西省萍乡市南坑中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年江西省萍乡市南坑中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合,则

（）A． B． C． D．参考答案：A2.若，则

Ks5uA．

B．

C．

D．参考答案：A略3.若集合，则集合A. B. C. D.R参考答案：C略4.公比为等比数列的各项都是正数，且，则（

）

参考答案：选5.已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点，其中，，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】不妨设抛物线标准方程，将条件转化为坐标，代入解出，即得结果.【详解】不妨设抛物线标准方程，可设，则，即抛物线的焦点到其准线的距离是，选B.【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.6.(07年全国卷Ⅱ文)已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A解析：已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为，所以侧棱与底面所成角的余弦值等于，选A。7.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）.A．

B．

C．

D．4参考答案：B

【知识点】由三视图求面积、体积G2解析：根据该几何体的三视图可得该几何是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=×4×2=4，棱锥的高h=1，故棱锥的体积V=Sh=，故选：B．【思路点拨】根据该几何体的三视图可得该几何是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出棱锥的底面积和高，代入棱锥体积公式可得答案．8.已知0<a<b<l．则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.已知集合A={x∈N|x≤3}，B={x|x2+6x﹣16＜0}，则A∩B=（）A．{x|﹣8＜x＜2} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A={x∈N|x≤3}={0，1，2，3}，B={x|x2+6x﹣16＜0}={x|﹣8＜x＜2}，A∩B={0，1}．故选：C．10.设是等差数列的前项和，若，则＝A．1

B．－1

C．2

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为．参考答案：．【分析】先求出基本事件总数，再求出这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数，由此能求出这两个数恰好为一奇一偶的概率．【解答】解：随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，基本事件总数n=，这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数m==6，∴这两个数恰好为一奇一偶的概率p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12.设全集U=R，A=则AB=________．参考答案：13.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是．参考答案：16考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算b值，并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a

b

是否继续循环循环前

1

1/第一圈

2

2

是第二圈

3

4

是第三圈

4

16

否则输出的结果为16故答案为：16．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．14.已知数列{an}满足a1=1，an﹣an﹣1=n（n≥2），则数列{an}的通项公式an=

．参考答案：n（n+1）【考点】数列递推式．【分析】由已知得an﹣an﹣1=n（n≥2），由此利用累加法能求出该数列的通项公式．【解答】解：∵数列{an}满足：a1=1，an﹣an﹣1=n（n≥2），（n≥2），∴an=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1=1+2+3+4+…+n=n（n+1），故答案为：．15.在区间和分别取一个数,记为,则方程表示离心率大于的双曲线的概率为

．参考答案：

【知识点】双曲线的简单性质H6解析：∵方程表示离心率大于的双曲线，∴＞，∴b＞2a，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示离心率大于的双曲线的概率为：P===，故答案为：．【思路点拨】当方程表示离心率大于的双曲线，表示焦点在x轴上且离心率大于的双曲线时，计算出（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间和分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解即可．16.已知函数，则函数的值为____________.参考答案：17.已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为

参考答案：本题主要考查平面向量的运算.因为向量与向量的夹角为，所以在上的投影为，问题转化为求，因为故所以在上的投影为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（﹣1，）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足+=；（1）求椭圆的标准方程；（2）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当=λ且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）由圆O与直线l相切，和m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此能求出△AOB面积S的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵+=，∴点M是线段PF2的中点，∴OM是△PF1F2的中位线，又OM⊥F1F2∴PF1⊥F1F2∴，解得a2=2，b2=1，c2=1，∴椭圆的标准方程为=1．（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，∴，即m2=k2+1，由，消去y：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△＞0，∴k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，=x1x2+y1y2==λ，∴，∴，解得：，S=S△AOB===，设μ=k4+k2，则，S=，，∵S关于μ在[]上单调递增，S（）=，S（2）=．∴．19.（本小题12分）已知椭圆的离心率，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，P为椭圆C上的动点.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程;（Ⅱ）M为过P且垂直于轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？参考答案：（Ⅰ）由题意可设圆的方程为，

…………1分∵直线与圆相切，∴，即，

…………2分又，即，，解得，，…………3分∴

椭圆方程为．

…………4分

（Ⅱ）设，其中．由已知及点在椭圆上可得，整理得，其中．

………………6分①当时，化简得，

…7分∴点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段；……8分②当时，方程变形为，其中，

……9分当时，点的轨迹为中心在原点，实轴在轴上的双曲线满足的部分；

……………10分当时，点的轨迹为中心在原点，实轴在轴上的双曲线满足的部分；

……………11分当时，点的轨迹为中心在原点，长轴在轴上的椭圆。

……………12分20.已知函数，，其中．(1)若是函数的极值点，求实数a的值；(2)若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数a的取值范围．参考答案：(1)(2)试题分析：本题主要考查利用导数求函数的极值、单调区间、最值等基础知识及分类讨论思想，也考查了学生分析问题解决问题的能力及计算能力.第一问先对函数进行求导，再把极值点代入导函数求得实数a的值；第二问对任意的x1，x2∈[1，e]都有f(x1)≥g(x2)成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max，利用导数分别判断函数f(x)、g(x)的单调性并求其在定义域范围内的最值，判断单调性时可对实数a进行分类讨论，则可求得实数a的取值范围．试题解析：(1)∵h(x)＝2x＋＋lnx，其定义域为(0，＋∞)，∴h′(x)＝2－＋，∵x＝1是函数h(x)的极值点，∴h′(1)＝0，即3－a2＝0.∵a＞0，∴a＝.经检验当a＝时，x＝1是函数h(x)的极值点，∴a＝.(2)对任意的x1，x2∈[1，e]都有f(x1)≥g(x2)成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max.当x∈[1，e]时，g′(x)＝1＋＞0.∴函数g(x)＝x＋lnx在[1，e]上是增函数，∴g(x)max＝g(e)＝e＋1.∵f′(x)＝1－＝，且x∈[1，e]，a＞0①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，f′(x)＝＞0，∴函数f(x)＝x＋在[1，e]上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋a2.由1＋a2≥e＋1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意．②当1≤a≤e时，若1≤x≤a，则f′(x)＝＜0，若a＜x≤e，则f′(x)＝＞0.∴函数f(x)＝x＋在[1，a)上是减函数，在(a，e]上是增函数．∴f(x)min＝f(a)＝2a.由2a≥e＋1，得a≥.又1≤a≤e，∴≤a≤e.③当a＞e且x∈[1，e]时f′(x)＝＜0，函数f(x)＝x＋在[1，e]上是减函数．∴f(x)min＝f(e)＝e＋.由e＋≥e＋1，得a≥，又a＞e，∴a＞e.综上所述，a的取值范围为[，＋∞)．考点：1.利用导数求函数的极值、单调区间、最值；2.分类讨论思想.21.已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定义h（x）=max{f（x），g（x）}=．（1）求函数f（x）的极值；（2）若g（x）=xf'（x），且存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），求实数a的取值范围；（3）若g（x）=lnx，试讨论函数h（x）（x＞0）的零点个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为不等式在x∈[1，2]上有解，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）通过讨论a的范围结合函数的单调性判断函数的零点个数即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）…令f'（x）=0，得x1=0或，∵a＞0，∴x1＜x2，列表如下：x（﹣∞，0）0f'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为…（2）g（x）=xf'（x）=3ax3﹣6x2，∵存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），∴f（x）≥g（x）在x∈[1，2]上有解，即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x∈[1，2]上有解，即不等式在x∈[1，2]上有解，…设，∵对x∈[1，2]恒成立，∴在x∈[1，2]上单调递减，∴当x=1时，的最大值为4，∴2a≤4，即a≤2…（3）由（1）知，f（x）在（0，+∞）上的最小值为，①当，即a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上无零点…②当，即a=2时，f（x）min=f（1）=0，又g（1）=0，∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有一个零点…③当，即0＜a＜2时，设φ（x）=f（x）﹣g（x）=ax3﹣3x2+1﹣lnx（0＜x＜1），∵，∴φ（x）在（0，1）上单调递减，又，∴存在唯一的，使得φ（x0）=0．Ⅰ．当0＜x≤x0时，∵φ（x）=f（x）﹣g（x）≥φ（x0）=0，∴h（x）=f（x）且h（x）为减函数，又h（x0）=f（x0）=g（x0）=lnx0＜ln1=0，f（0）=1＞0，∴h（