2022年湖南省株洲市建宁中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022年湖南省株洲市建宁中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断一定正确的是（

）A．B．C．D．参考答案：C略2.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C3.在中，，分别为中点，为上任意一点，实数满足，设的面积分别为，取得最大值时，的值为A. B. C. D.

参考答案：B略4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺,问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（

）A．128π平方尺

B．138π平方尺

C.140π平方尺

D．142π平方尺参考答案：B5.己知实数x，y满足，直线（2＋）x一（3＋）y＋（l一2）＝0（R）过定点A，则的取值范围为A、［，7］B、［，5］C、（－，］［7，＋］D、（－，］［5，＋］参考答案：B6.已知，方程在［0，1］内有且只有一个根，则在区间内根的个数为

A.2011

B.1006

C.2013

D.1007参考答案：C由，可知，所以函数的周期是2，由可知函数关于直线对称，因为函数在［0，1］内有且只有一个根，所以函数在区间内根的个数为2013个，选C.7.已知函数在处有极值，则等于(

)

A.或

B.

C.或18

D.参考答案：A略8.函数f（x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜）的部分图象如图所示，则(

) A．A=2，φ= B．A=2，φ= C．A=2，φ= D．A=2，φ=参考答案：A考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求得A，根据特殊点的坐标求出φ的值，可得结论．解答： 解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜）的部分图象可得A=2，再把（0，）代入，可得2sinφ=，即sinφ=，∴φ=，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求得A，根据特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．9.下列有关命题的说法正确的是（

）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”；B．“”是“”的必要不充分条件；C．命题“存在使得”的否定是：“对任意均有”；D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．参考答案：DA．命题“若，则”的否命题为：“若，则”；B．“”是“”的充分不必要条件；C．命题“存在使得”的否定是：“对任意均有”；D．因为命题“若，则”为真，所以它的的逆否命题为真命题，因此正确的命题只有选项D。10.已知集合，则A∩B==（

）A.{－1,0,1}

B．{0,1}

C．{－1,0}

D．{0}参考答案：D解不等式，可得，所以集合，又，利用交集中元素的特征，求得，故选D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若，则a的取值范围是____________.参考答案：12.已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____。参考答案：2（14）设满足约束条件，则的最大值为______。13.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是

_参考答案：14.已知不等式的解集为,不等式的解集为,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是_______________参考答案：略15.设满足，则的取值范围是▲参考答案：[2,+∞]16.化简

．参考答案：

17.已知数列中，，（），则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列满足且，求的前项和.参考答案：（Ⅰ），由，

（Ⅱ）叠加=

19.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元米，中间两道隔墙建造单价为248元米，池底建造单价为80元平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价参考答案：设污水处理池的宽为x米，则长为米，则总造价

当且仅当当长为16.2米，宽为10米时吗，总造价最低，，最低总造价为38880元。20.（满分14分）已知函数，（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；(Ⅲ)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.参考答案：解（Ⅰ）当

时，

，定义域为；………………1分，当时，；当时，。所以单调减区间为；单调增区间为，故时，有极小值，极小值为1.…………4分（Ⅱ），则，………………6分因为所以令得。若，即，则在上恒为正值，则在上为增函数；若，即，则在上为负值，在上为正值，所以此时单调减区间为；单调增区间为………………8分(Ⅲ)由第（Ⅱ）问的解答可知只需在上存在一点，使得。若时，令，解得，不满足条件。………9分若，即时，同样可得不满足条件。………………10分若，即时，在处取得最小值，………………11分令，即，所以………………12分考察式子，因为，所以左端大于1，而右端小于1，所以不成立………………13分当，即时，在上单调递减，只需，得，又因为，所以，。………………14分21.（2017?清城区校级一模）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表：女性用户：分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030（Ⅰ）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；

女性用户男性用户合计“认可”手机

“不认可”手机

合计

P（X2≥k）0.050.01k3.8416.635X2=（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）利用数据直接填写联列表即可，求出X2，即可回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，求出相应概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表如下图：

女性用户男性用户合计“认可”手机140180320“不认可”手机60120180合计200300500…，所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关．…（6分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，；；．…（9分）所以X的分布列为X123P或．…（12分）【点评】本题考查独立检验以及离散性随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．22.已知点F（0，1），直线l1：y=﹣1，直线l1⊥l2于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线l2于点H．设点H的轨迹为曲线r．（Ⅰ）求曲线r的方程；（Ⅱ）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C，D，（ⅰ）求证：直线CD过定点；（ⅱ）若P（1，﹣1），过点O作动直线L交曲线R于点A，B，直线CD交L于点Q，试探究+是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意推出|HF|=|HP|，利用抛物线定义，求解点H的轨迹方程．（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P（x1，﹣1），切点C（xC，yC），D（xD，yD）．求出函数的导数，推出切线方程，然后求出直线CD的方程，说明直线CD过定点．（ⅱ）求出直线CD的方程为．设l：y+1=k（x﹣1），求得xQ=，设A（xA，yA），B（xB，yB）．联立y+1=k（x﹣1）与x2=4y，利用韦达定理，化简+推出定值．【解答】满分（13分）．解：（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，∴点H到点F（0，1）的距离与到直线l1：y=﹣1的距离相等，…（2分）∴点H的轨迹是以点F（0，1）为焦点，直线l1：y=﹣1为准线的抛物线，…（3分）∴点H的轨迹方程为x2=4y．…（4分）（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P（x1，﹣1），切点C（xC，yC），D（xD，yD）．由y=，得．∴直线PC：y+1=xC（x﹣x1），…（5分）又PC过点C，yC=，∴yC+1=xC（x﹣x1）=xCx1，∴yC+1=，即．…（6分）同理，∴直线CD的方程为，…（7分）∴直线CD过定点（0，1）．…（8分）（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P（1，﹣1）在直线CD的方程为，得x1=1，直线CD的方程为．设l：y+1=k（x﹣1），与方程联立，求得xQ=．…（9分