高考数学(考点解读-命题热点突破)专题09-三角恒等变换与解三角形-理

PAGEPAGE15三角恒等变换与解三角形【考向解读】正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，1.和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．2.预测2017年高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视．3.边和角的计算；4.三角形形状的判断；5.面积的计算；6.有关的范围问题．【命题热点突破一】三角恒等变换例1、(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.解析：基本法：将θ－eq\f(π,4)转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－eq\f(π,2).由题意知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，θ是第四象限角，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))>0，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝eq\f(4,5).taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)－\f(π,2)))＝－eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝－eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝－eq\f(\f(4,5),\f(3,5))＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)速解法：由题意知θ＋eq\f(π,4)为第一象限角，设θ＋eq\f(π,4)＝α，∴θ＝α－eq\f(π,4)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)).如图，不妨设在Rt△ACB中，∠A＝α，由sinα＝eq\f(3,5)可得，BC＝3，AB＝5，AC＝4，∴∠B＝eq\f(π,2)－α，∴tanB＝eq\f(4,3)，∴tanB＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)(2)若tanα＞0，则()A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0答案：C【感悟提升】解决三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的．在三角函数问题中变换的基本方向有两个：一个是变换函数名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系等；变换角的形式可以使用两角和、差的三角函数公式、倍角公式，对角进行代数形式的变换等．【变式探究】(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝eq\f(1,4)，那么cos2α＝________．(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋sinα＝－eq\f(4\r(3),5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))等于()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5)D.eq\f(3,5)【答案】（1）－eq\f(7,8)（2）A【解析】（1）依题意得cosα＝eq\f(1,4)，所以cos2α＝2cos2α－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(7,8).（2）由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋sinα＝－eq\f(4\r(3),5)，得eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(4\r(3),5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(4,5)，于是coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)－\f(π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(4,5).【命题热点突破二】正、余弦定理例2、【2016高考山东理数】（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.【感悟提升】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．求三角形中的角，关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再根据角的范围求出对应的角的大小．解题时要注意利用三角形内角和定理，即A＋B＋C＝π.【答案】eq\f(2,3)π【解析】∵eq\f(cosB,cosC)＋eq\f(2a,c)＋eq\f(b,c)＝0，∴ccosB＋2acosC＋bcosC＝0，由正弦定理得sinCcosB＋2sinAcosC＋sinBcosC＝0，∴sin（B＋C）＋2sinAcosC＝sinA＋2sinAcosC＝0，∵sinA≠0，∴cosC＝－eq\f(1,2)，∴C＝eq\f(2,3)π.【变式探究】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csinB＝bcosC＝3.(1)求b；(2)若△ABC的面积为eq\f(21,2)，求c.【感悟提升】求解三角形的边和面积的关键是利用正、余弦定理求出相关角度和边长．正弦定理揭示了三角形三边和其对角的正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．正弦定理可以使各边的比值和各个内角的正弦的比值相互转化．只要知道了三角形三边之间的比例关系即可利用余弦定理求出三角形的内角．【命题热点突破三】正、余弦定理的实际应用例3、已知一块四边形园地ABCD中，A＝45°，B＝60°，C＝105°.若AB＝2m，BC＝1m，则该四边形园地ABCD的面积等于________m2.【答案】eq\f(6－\r(3),4)【解析】如图所示，连接AC.根据余弦定理可得AC＝eq\r(3)m，易知△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，所以∠DAC＝15°，∠DCA＝15°，故△ADC为等腰三角形.设AD＝DC＝xm，根据余弦定理得x2＋x2＋eq\r(3)x2＝3，即x2＝eq\f(3,2＋\r(3))＝3（2－eq\r(3)）.所以四边形园地ABCD的面积为eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×3×（2－eq\r(3)）×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3)＋6－3\r(3),4)＝eq\f(6－\r(3),4)m2.【感悟提升】使用正、余弦定理解三角形的关键是把求解目标归入到可解三角形中(可解三角形指符合正弦定理、余弦定理的应用条件，能够求出三角形各个元素的三角形)，在一些复杂的问题中，需要把求解目标分解到两个或者更多个可解三角形之中．【变式探究】如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A处时，经观察，在河对岸有一参照物C与学生前进方向成30°角，学生前进200m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为()A．50(eq\r(3)＋1)mB．100(eq\r(3)＋1)mC．50eq\r(2)mD．100eq\r(2)m【答案】A【解析】在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200，由正弦定理得BC＝eq\f(200×sin30°,sin45°)＝100eq\r(2)（m），所以河的宽度为BCsin75°＝100eq\r(2)×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)＝50（eq\r(3)＋1）（m）.【命题热点突破四】正、余弦定理解具有空间结构的三角形综合问题例4、如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.【答案】100eq\r(6)【解析】依题意，在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°.由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，即eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(600,sin45°)，所以BC＝300eq\r(2).在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝300eq\r(2)·tan30°＝100eq\r(6).【感悟提升】解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．【变式探究】如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.【答案】150【易错分析】对于求解有空间结构的三角形问题，有两个易错点：一是方位角的确定；二是选择合适的三角形，并在相关三角形中进行边和角的转换．【高考真题解读】1.【2016高考新课标2理数】若，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】，且，故选D.2.【2016高考新课标3理数】若，则（）(A)(B)(C)1(D)【答案】A【解析】由，得或，所以，故选A．3.【2016年高考四川理数】=.【答案】【解析】由二倍角公式得1.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C2.【2016高考新课标2理数】的内角的对边分别为，若，，，则．【答案】【解析】因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.3.【2016高考天津理数】在△ABC中，若,BC=3，,则AC=（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】A【解析】由余弦定理得,选A.4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是▲.【答案】8.【解析】，又，因即最小值为8.1.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（II）若，求.【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有cosA==．所以sinA==．由（Ⅰ），sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，所以sinB=cosB+sinB，故tanB==4．2.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acosB.（I）证明：A=2B；（II）若△ABC的面积，求角A的大小.【答案】（I）证明见解析；（II）或．（Ⅱ）由得，故有，因为，所以．又，，所以．当时，；当时，．综上，或．3.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.1.【2015高考四川，理12】.【答案】.【解析】法一、.法二、.法三、.2.【2015高考浙江，理11】函数的最小正周期是，单调递减区间是．【答案】，，.【解析】，故最小正周期为，单调递减区间为，.3.【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(I);(II),.【解析】(I)由已知，有.所以的最小正周期.(II)因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，，所以在区间上的最大值为，最小值为.4.【2015高考重庆，理18】已知函数（1）求的最小正周期和最大值；（2）讨论在上的单调性.【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）在上单调递增；在上单调递减.【解析】（1）