材料力学(I)第五章

第五章梁弯曲时的位移§5-1

梁的位移——挠度和转角§5-2

梁的挠曲线近似微分方程及其积分§5-3

按叠加原理计算梁的挠度和转角§5-6

梁内的弯曲应变能§5-5

梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施*§5-4

梁挠曲线的初参数方程1§5-1梁的位移——挠度和转角直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角位移q称为横截面的转角(angleofrotation)。第五章梁弯曲时的位移2弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflectioncurve)为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：第五章梁弯曲时的位移3直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。第五章梁弯曲时的位移(a)(b)4在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；

顺时针转向的转角

为正，逆时针转向的转角

为负。第五章梁弯曲时的位移5§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分Ⅰ.挠曲线近似微分方程的导出在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。第五章梁弯曲时的位移6在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有注意：对于有些l/h>10的梁，例如工字形截面等直梁，如同在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。第五章梁弯曲时的位移7从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作式中，等号右边有正负号是因为曲率1/r为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q=w'沿x方向的变化率，是有正负的。第五章梁弯曲时的位移8第五章梁弯曲时的位移再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w"

，正弯矩对应于负值的w"

，故从上列两式应有由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w

2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程9Ⅱ.挠曲线近似微分方程的积分及边界条件求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为后进行积分，再利用边界条件(boundarycondition)确定积分常数。第五章梁弯曲时的位移10当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有第五章梁弯曲时的位移以上两式中的积分常数C1，C2由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。11边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。第五章梁弯曲时的位移12若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件(constraintcondition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuitycondition)。这两类条件统称为边界条件。第五章梁弯曲时的位移13

例题5-1试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。第五章梁弯曲时的位移14解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为以x为自变量进行积分得于是得该梁的边界条件为：在x=0处

，w=0第五章梁弯曲时的位移15从而有转角方程挠曲线方程根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。第五章梁弯曲时的位移16可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有第五章梁弯曲时的位移17由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的：此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0，

因而也有C1=0，C2=0。第五章梁弯曲时的位移18两式中的积分在坐标原点处(即x=0处)总是等于零，从而有事实上，当以x为自变量时第五章梁弯曲时的位移19思考:试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？第五章梁弯曲时的位移20

例题5-2试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。第五章梁弯曲时的位移21解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为以x为自变量进行积分得：第五章梁弯曲时的位移22该梁的边界条件为在x=0处w=0，在x=l处w=0于是有即从而有转角方程挠曲线方程第五章梁弯曲时的位移23根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相等，且均为最大值，故最大挠度在跨中，其值为第五章梁弯曲时的位移24

例题5-3试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。第五章梁弯曲时的位移25解：约束力为两段梁的弯矩方程分别为为了后面确定积分常数的方便，右边那段梁的弯矩方程M2(x)仍取x截面左边的梁为分离体，使方程M2(x)中的第一项与方程M1(x)中的项相同。第五章梁弯曲时的位移26两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出，并分别进行积分：挠曲线近似微分方程积分得左段梁右段梁第五章梁弯曲时的位移27值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含有(x-a)的项没有以x为自变量而是以(x-a)作为自变量进行积分的，因为这样可在运用连续条件w1'|x=a=w2'|x=a及w1|x=a=w2|x=a确定积分常数时含有(x-a)2和(x-a)3的项为零而使工作量减少。又，在对左段梁进行积分运算时仍以x为自变量进行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0。第五章梁弯曲时的位移28该梁的两类边界条件为支座约束条件：在x=0处w1=0，在x=l处w2=0连续条件：在x=a处

，w1=w2第五章梁弯曲时的位移由两个连续条件得：由支座约束条件w1|x=0=0得从而也有29由另一支座约束条件w2|x=l=0有即从而也有第五章梁弯曲时的位移30从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：左段梁右段梁第五章梁弯曲时的位移31左、右两支座处截面的转角分别为当a>b时有第五章梁弯曲时的位移32显然，由于现在a>b，故上式表明x1<a，从而证实wmax确实在左段梁内。将上列x1的表达式代入左段梁的挠曲线方程得根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax所在

处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的转角方程

等于零，得第五章梁弯曲时的位移33由上式还可知，当集中荷载F作用在右支座附近因而b值甚小，以致

b2和

l2相比可略去不计时有它发生在处。而此时处(跨中点C)的挠度wC为第五章梁弯曲时的位移34当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角qmax和最大挠度wmax为可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。第五章梁弯曲时的位移35思考:试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠曲线。并指出：(1)跨中挠度是否最大？(2)跨中挠度的值是否接近最大挠度值？第五章梁弯曲时的位移l/4l/236§5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理(principleofsuperposition)。第五章梁弯曲时的位移37悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附录Ⅳ中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。第五章梁弯曲时的位移38

例题5-5试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度

wC和两支座截面的转角qA及qB。第五章梁弯曲时的位移(a)

解：此梁

wC及qA，qB实际上可不按叠加原理而直接利用本教材附录Ⅳ表中序号13情况下的公式得出。这里是作为灵活运用叠加原理的例子，假设没有可直接利用的现成公式来讲述的。39作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。第五章梁弯曲时的位移(b)(a)40在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材附录Ⅳ表中序号8的公式有第五章梁弯曲时的位移C41注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁

AC和右半跨梁

CB分别视为受集度为

q/2的均布荷载作用而跨长为

l/2的简支梁。于是利用附录Ⅳ表中序号8情况下的公式有第五章梁弯曲时的位移在集度为q/2的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有C42按叠加原理得第五章梁弯曲时的位移43

例题5-6试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面B的转角qB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。第五章梁弯曲时的位移44第五章梁弯曲时的位移

解：为利用本教材附录Ⅳ中简支梁和悬臂梁的挠度和转角资料，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁(图b)和简支梁(图c)连接而成。原来的外伸梁在支座B左侧截面上的剪力和弯矩应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上，它们的指向和转向也应与的正负相对应，如图b及图c中所示。45图c中所示简支梁BC的受力情况以及支座约束情况与原外伸梁BC段完全相同，因此再注意到简支梁B支座左侧的外力2qa将直接传递给支座B而不会引起弯曲后，便可知道按图d和图e所示情况由本教材附录Ⅳ中的资料求

Bq，

BM和wDq，wDM并叠加后得到的就是原外伸梁的

B和wD。第五章梁弯曲时的位移46第五章梁弯曲时的位移47图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B支座截面是可以转动的，其转角就是上面求得的qB，由此引起的A端挠度w1=|qB|·a应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA：第五章梁弯曲时的位移48§5-4梁挠曲线的初参数方程Ⅰ.初参数方程的基本形式前已得到等直梁的挠曲线近似方程为弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系为后一个微分关系按q(x)向上为正导出。*第五章梁弯曲时的位移49为了使下面导出的挠曲线初参数方程(initialparametricequation)中除了包含与位移相关的初参数q0和w0以外，也包含与内力相关的初参数FS0和M0，先将二阶的挠曲线近似微分方程对x取二阶导数求得等直梁挠曲线的四阶微分方程第五章梁弯曲时的位移然后进行积分得50以x=0代入以上四式，并注意到以x为自变量时上列四式中的积分在坐标原点(x=0)处均为零，于是得第五章梁弯曲时的位移式中，FS0，M0，

0和w0为坐标原点处横截面(初始截面)上的剪力、弯矩、转角和挠度，它们是初参数方程中的四个初参数。51将积分常数C1，C2，C3，C4代入上述表达式中的后二式即得转角和挠曲线初参数方程的基本形式：初参数方程中的四个初参数可由梁的边界条件确定。第五章梁弯曲时的位移52显然，如果梁上的分布荷载是满布的(分布荷载在全梁上连续)，而且除梁的两端外没有集中力和集中力偶，亦即荷载和内力在全梁范围内为连续函数，则可直接应用上述两个方程。简支梁或悬臂梁受满布分布荷载作用时就属这种情况。在此条件下，当分布荷载为向下的均布荷载时，q(x)=-q，从而有第五章梁弯曲时的位移x53

例题5-7试利用初参数方程求图示等直梁的跨中挠度wC和支座B处截面的转角qB。第五章梁弯曲时的位移x54解：1.根据边界条件确定初参数另一初参数q0需利用x=l处挠度等于零的边界条件求出。根据挠曲线的初参数方程有由x=0处的边界条件得：从而得第五章梁弯曲时的位移x552.列出挠曲线方程和转角方程，求所需挠度和转角将已得到的四个初参数代入初参数方程得：挠曲线方程即转角方程即第五章梁弯曲时的位移56Ⅱ.一般情况的处理

这里所说的一般情况是指梁上分布荷载不连续，梁上除两端外其余部分也有集中力或集中力偶等作用的情况。此时，外力(荷载和约束力)将梁分为数段，每段梁的挠曲线方程和转角方程各不相同，但相邻两段梁在交界处的挠度和转角仍连续。现就几种常遇情况下的初参数方程加以讨论。第五章梁弯曲时的位移57初参数：q0≠0(其值未知)，w0=0第五章梁弯曲时的位移情况一58转角方程：挠曲线方程：AC段梁（0≤x≤a）CB段梁（a≤x≤l）第五章梁弯曲时的位移59

CB段梁转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于自x=a处开始有向下的均布荷载而在AC段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中增加的项。未知初参数q0可由x=l处wB=w|x=l=0的边界条件求得。第五章梁弯曲时的位移60情况二初参数：

0≠0(其值未知)，w0=0第五章梁弯曲时的位移61AC段梁（0≤x≤b）CB段梁（b≤x≤l）转角方程：挠曲线方程：第五章梁弯曲时的位移62

CB段梁的转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于考虑C截面(x=b)以右没有向下的均布荷载，而从由AC段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中减去了的那部分在C截面以右的均布荷载产生的影响的相关项。未知初参数q0可由wB=w|x=l=0的边界条件求得。第五章梁弯曲时的位移63情况三初参数：q0≠0(其值未知)w0≠0(其值未知)第五章梁弯曲时的位移64CA段梁(0≤x≤c)AB段梁(c≤x≤c+l)转角方程：挠曲线方程：第五章梁弯曲时的位移65

AB段梁的转角和挠曲线方程中的第二项，是由于考虑在由CA段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中，应将向上的约束力在A截面(x=c)偏右截面上产生的剪力的影响包含进去而增加的项。未知初参数q0和w0

可由边界条件wA