福建省福州鼓楼区2024届高一数学第一学期期末统考试题含解析

福建省福州鼓楼区2024届高一数学第一学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数（）A. B.C. D.2．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最小值是A. B.C. D.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B.C. D.4．已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（）A. B.C. D.5．将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A. B.C. D.6．函数的图像向左平移个单位长度后是奇函数，则在上的最小值是（）A. B.C. D.7．下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是（）A. B.C. D.9．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：：I(t)=ert（其中r为指数增长率）描述累计感染病例数I(t)随时间t（单位：天）的变化规律.有学者基于已有数据估计出累计感染病例数增加1倍需要的时间约为2天，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，指数增长率r的值约为（）（参考数值：ln20.69）A.0.345 B.0.23C.0.69 D.0.83110．已知是第二象限角，，则（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．的值为______12．已知幂函数在上单调递减，则______13．不等式的解集是______14．某高校甲、乙、丙、丁4个专业分别有150，150，400，300名学生．为了了解学生的就业倾向，用分层随机抽样的方法从这4个专业的学生中抽取40名学生进行调查，应在丁专业中抽取的学生人数为______15．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝______.16．已知，，，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知集合A={x|2-a⩽x⩽2+a}，B={x|（1）当a=3时，求A∩B，A∪∁（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围18．设函数，是定义域为R的奇函数（1）确定的值（2）若，判断并证明的单调性；（3）若，使得对一切恒成立，求出的范围.19．若存在实数、使得，则称函数为、的“函数”（1）若．为、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求、的解析式；（2）设函数，，是否存在实数、使得为、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，请求出、的值；若不存在，请说明理由．（注：为自然数．）20．设为实数，函数.（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）是否存在满足：在上值域为.若存在，求的取值范围.21．求经过点和,圆心在轴上的圆的方程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.2、A【解题分析】将看作整体，先求的取值范围，再根据不等式恰有一个整点和函数的图像，推断参数，的取值范围【题目详解】做出函数的图像如图实线部分所示，由，得，若，则满足不等式，不等式至少有两个整数解，不满足题意，故，所以，且整数解只能是4，当时，，所以，选择A【题目点拨】本题考查了分段函数的性质，一元二次不等式的解法，及整体代换思想，数形结合思想的应用，需要根据题设条件，将数学语言转化为图形表达，再转化为参数的取值范围3、D【解题分析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为,选D.4、B【解题分析】由已知可得，结合零点存在定理可判断零点所在区间.【题目详解】由已知得，所以，又，，，，所以零点所在区间为，故选：B.5、A【解题分析】由题意结合辅助角公式可得，进而可得g(x)＝2sin，由三角函数的性质可得，化简即可得解.【题目详解】设f(x)＝cosx＋sinx＝2sin，向左平移m个单位长度得g(x)＝2sin，∵g(x)的图象关于y轴对称，∴，∴m＝,由m>0可得m的最小值为.故选：A.【题目点拨】本题考查了辅助角公式及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6、D【解题分析】由函数图像平移后得到的是奇函数得，再利用三角函数的图像和性质求在上的最小值.【题目详解】平移后得到函数∵函数为奇函数，故∵，∴，∴函数为，∴，时，函数取得最小值为故选【题目点拨】本题主要考查三角函数图像的变换，考查三角函数的奇偶性和在区间上的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、C【解题分析】利用不等式性质逐一判断即可.【题目详解】选项A中，若，，则，若，，则，故错误；选项B中，取，满足，但，故错误；选项C中，若，则两边平方即得，故正确；选项D中，取，满足，但，故错误.故选：C.【题目点拨】本题考查了利用不等式性质判断大小，属于基础题.8、D【解题分析】利用函数的奇偶性求在上的表达式.【题目详解】令，则，故，又是定义在上的奇函数，∴.故选：D.9、A【解题分析】由题设可知第天感染病例数为，则第天的感染感染病例数为,由感染病例数增加1倍需要的时间约为2天，则，解出即可得出答案.【题目详解】由题设可知第天感染病例数为，则第天的感染感染病例数为由感染病例数增加1倍需要的时间约为2天，则所以，即所以故选：A10、B【解题分析】利用同角三角函数基本关系式求解.【题目详解】因为是第二象限角，，且，所以.故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】直接利用对数的运算法则和指数幂的运算法则求解即可【题目详解】12、##【解题分析】依题意得且，即可求出，从而得到函数解析式，再代入求值即可；【题目详解】解：由题意得且，则，，故故答案为：13、【解题分析】先利用指数函数的单调性得，再解一元二次不等式即可【题目详解】故答案为【题目点拨】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题14、12【解题分析】利用分层抽样的性质直接求解详解】由题意应从丁专业抽取的学生人数为：故答案为：1215、【解题分析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意16、【解题分析】由已知条件结合所给角的范围求出、，再将展开即可求解【题目详解】因为，所以，又因为，所以，所以，因为，，所以，因为，所以，所以，故答案为：.【题目点拨】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知角的三角函数值的符号确定角的范围进而可求角的正弦或余弦，将所求的角用已知角表示即.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）A∩B={x|-1⩽x⩽1或4⩽x⩽5}；A∪∁RB【解题分析】（1）a=3时求出集合A，B，再根据集合的运算性质计算A∩B和A∪∁（2）根据A∩B=∅，讨论A=∅和A≠∅时a的取值范围，从而得出实数a的取值范围【题目详解】解：（1）当a=3时，A={x|2-a⩽x⩽2+a}={x|-1⩽x⩽5}，B={x|x2-5x+4⩾0}={x|x⩽1A∩B={x|-1⩽x⩽1或4⩽x⩽5}；又∁RA∪∁（2）A∩B=∅，当2-a>2+a，即a<0时，A=∅，满足题意；当a⩾0时，应满足2-a>12+a<4，此时得0⩽a<1综上，实数a的取值范围是(-∞,1)【题目点拨】本题考查了集合的基本运算以及不等式解法问题，注意等价变形的应用，属于中档题18、（1）2；（2）单调递增，证明见解析；（3）.【解题分析】（1）利用奇函数定义直接计算作答.（2）求出a值，再利用函数单调性定义证明作答.（3）把给定不等式等价变形，再利用函数单调性求出最小值，列式计算作答.【小问1详解】因是定义域为的奇函数，则，而，解得，所以的值是2.【小问2详解】由（1）得，是定义域为的奇函数，而，则，即，又，解得，则函数在上单调递增，，，，因，则，，于是得，即，所以函数在定义域上单调递增.【小问3详解】当时，，，，而函数在上单调递增，，于是得，令，函数在上单调递减，当，即时，，因此，，解得，所以的范围是.【题目点拨】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.19、（1），；（2）存在；，.【解题分析】（1）由已知条件可得出关于、的等式组，由此可解得函数、的解析式；（2）由偶函数的定义可得出，由函数的值域结合基本不等式以及对数函数的单调性可求得的值，进而可求得的值，即可得解.【小问1详解】解：因为为、的“函数”，所以①，所以因为为奇函数，为偶函数，所以，所以②联立①②解得，【小问2详解】解：假设存在实数、，使得为，的“函数”则①因为是偶函数，所以即，即，因为，整理得因为对恒成立，所②，因为，当且仅当，即时取等号所以，由于的值域为，所以，且又因为，所以，综上，存在，满足要求20、（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）不存在.【解题分析】（1）直接求出，从而通过解不等式可求得的取值范围；（2）根据二次函数的单调性即可得出分段函数的单调性；（3）首先判断出，从而得到，即在上单调递增；然后把问题转化为在上有两个不等实数根的问题，从而判断出不存在的值.【题目详解】（1）∵，∴，即，所以，所以的取值范围为.（2）易知，对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递减，综上知，在上单调递增，在上单调递减；（3）由（2）得，又在上的值域为，所以，又∵在上单调递增，∴，即在上有两个不等实数根，即在上有两个不等实数根，即在上有两个不等实数根，令，则