北京海淀区高三二模理科数学答案与评分标准

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.2013．5、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案BDCBCABD、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9.2 10.C>b>a 11.(1,√3)12.2; 1 13.[0,1] 14.②③；2—√2三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(本小题满分13分)π解：(I)因为sιn(X-一)W04π所以X-—≠kπ,k∈Z 2分4π所以函数的定义域为{XIX≠kπ+-,k∈Z} 4分4cos2X-sin2X(II)因为f(X)=1 6分sinX-cosX=1+(CosX+SinX)=1+√2sin(X+-) 8分4又y=sinX的单调递增区间为(2kπ--,2kπ+-),k∈Z22πππ 3π π令 2kπ-—<X+ <2kπ+一解得2kπ- <X<2kπ+—24 2 4 4π又注意到X≠kπ+-,43π π所以f(X)的单调递增区间为(2kπ-一,2kπ+-),k∈Z…一4411分13分16.解：（I）设至少一张中奖为事件A贝UP（A）=1-0.52=0.75 4分（II）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为自则ξ可以取5,0,-45,-145 6分己的分布列为J 50-45-145P50%50%-2%-P2%P所以ξ的期望为Eξ=5X50%+0X(50%—2%—P)+(—45)X2%+(—145)XP=2.5—90%—145p 11分8所以当1.6—145p〉0时，即p<725 12分8所以当0<p<—时，福彩中心可以获取资金资助福利事业 13分/乙D.解：(I)因为点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上所以PH1平面ABC，所以PH1AC 1分因为在直角梯形ABCD中，NABC=NDAB=90，ZCAB=30，BC=2，AD=4 。 。所以AC=4，NCAB=60，所以AADC是等边三角形，所以H是AC中点， ^ 2分所以HE//PC 3分同理可证EF//PB又HEEF=E,CPPB=P所以EFH//PBC平面PBC 5分(II)在平面ABC内过H作AC的垂线如图建立空间直角坐标系，则A(0,—2,0),P(0,0,2√3),B(√3,1,0) 6分因为E(0,—1,√3),HE=(0,—1,√3)设平面PHB的法向量为n=(X,y,Z)

因为HB=(√3,1,0),HP=(0,0,2√3)[HB∙n=0所以有《[HP∙n=03XX+y=0Z=0即令X=√3,则y=-3,所以n=«3,—3,0)CoS<n,HE>=n∙HE3 √3InI∙lHEΓ2∙2√3^48分 10分 11分所以直线HE与平面PHB所成角的正弦值为亘4(In)存在，事实上记点E为M即可 12分因为在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=1PA=2, 13分2在直角三角形PHB中，点PB=4,EF=1PB=22所以点E到四个点P,O,C,F的距离相等 14分1.解：(I)因为S(t)=—It-aIet,其中t≠a 2分2当a=0,S(t)=-11Iet，其中t≠011当t>0时，S(t)=-tet,S'(t)=Tt+1)et,22所以S'(t)>0，所以S(t)在(0,+∞)上递增， 4分11当t<0时，S(t)=—-tet，S'(t)=--(t+1)et，22令S'(t)=--(t+1)et>0，解得t<-1,所以S(t)在(-∞,-1)上递增令SKt)=--(t+1)et<0，解得t>-1,所以S(t)在(-1,0)上递减 7分综上，S(t)的单调递增区间为(0,+∞)，(-∞,-1)S(t)的单调递增区间为(-1,0)(II)因为S(t)=11-aIet，其中t≠a当a>2，t∈[0,2]时，S(t)=-(a-1)et因为于∈[0,2]，使得S(t)≥e，所以S(t)在[0,2]上的最大值一定大于等于e

00S'(t)=--[t-(a-1)]et，令S'(t)=0，得t=a-1 8分当a-1≥2时，即a≥3时S'(t)=-—[t-(a-1)]et>0对t∈(0,2)成立，S(t)单调递增1所以当t=2时，S(t)取得最大值S(2)=-(a-2)e212令一(a-2)e2≥e，解得 a≥-+2，2e所以a≥3 10分当a-1<2时，即a<3时1S'(t)=-—[t-(a-1)]et>0对t∈(0,a-1)成立，S(t)单调递增21S'(t)=-—[t-(a-1)]et<0对t∈(a-1,2)成立，S(t)单调递减21所以当t=a-1时，S(t)取得最大值S(a-1)=-ea-1令S(a-1)=-ea-1≥e ，解得a≥ln2+2所以ln2+2≤a<3 12分综上所述，ln2+2≤a 13分19.解:(I)因为椭圆M:竺+y2=1(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2,a2 b2一内角为60的菱形的四个顶点,所以a=√3,θb=1,椭圆M的方程为χ2+y2=14分1(II)设A(X,y),B(X,y),因为AB的垂直平分线通过点(0,--),显然直线AB有斜率，11 22 2当直线AB的斜率为0时,则AB的垂直平分线为了轴,则x1=T2,，=，2所以SAAOBT2X1||X1=1X10甲=1XIrI子=∖,X12(1-1-x3,2(3—X2)

1 1因为\:X2(3-X2)≤X12+(3-X12)=3，vI1 2 2所以S ≤旦，当且仅当IXI=且时AAOB 2 1 2SAAOB取得最大值为—26分，当直线AB的斜率不为0时,则设AB的方程为y=kx+1y=kX+1X2 ，代入得到(3k2+1)X2+6kt+3t2-3=0了+y2=1当A=4(9k2+3—3t2)>0,方程有两个不同的解IP3k2+1>12①所以V所以2 3k2+1x+x→ :—3kt2 3k2+19分化简得到3k2+1=412代入①，得至U0<t<410分|t|又原点到直线的距离为d=EIABI二百Ix-XI=B1(9k2+3-2)12 3k2+1所以S =1IABIldI=AAOB211114(9k2+3-3t2)

3k2+1 1化简得到SAAOB="'4-2)12分因为0<t<4，所以当t=2时,即k=±4时，SAaob取得最大值W综上，AAOB面积的最大值为显2又χ+χ二卫，1 2 3k2+1二t，4±⅛+1 1《2 2「10-X±X2k'②20.(I)解：法1：法2：法3：3分(II)每一列所有数之和分别为2,0, -2,0,每一行所有数之和分别为-1,1;①如果首先操作第三列，则aa2-1a一a22—a1-a22—aa2则第一行之和为2a-1，第二行之和为5-2a，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，1 5所以a≤1或a≥52 21当a≤1时，则接下来只能操作第一行，2一a1-a2一aa22—a1-a22—aa2止匕时每列IJ之和分别为2-2a,2-2a2,2-2a,2a2必有2-2a2≥0,解得a=0,-1当a≥!■时,则接下来操作第二行aa2-1a-a2a—2a2-1a—2-a2此时第4列和为负，不符合题意.6分②如果首先操作第一行—a1-a2aa22—a1—a2a—2a2则每一列之和分别为2—2a,2—2a2,2a—2,2a2当a=1时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉当a≠1时，2-2a，2a-2至少有一个为负数，所以此时必须有2—2a2≥0，即-1≤a≤1,所以a=0或a=—1经检验，a=0或a=-1符合要求综上：a=0,-1 9分（In）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。证明如下：记数表中第，行第j列的实数为C（i=1,2,

ij,m；j=12,n），各行的数字之和分别为「J,,a,

m各列的数字之和分别为b,b,12,bn,A=a+a+12+a,

mB=b+b+12+b,数表中mXn个实数之和为nS，则S=A=B。，记K=minkc+kc1≤i≤mf1i1 2i2I1k=1或-1(1=1,2,

in1,n)且IkC1i1+kc+2i2+kc≠0ninT=min1≤j≤nλ=min{K,T}.c+tc+11j22j+1cmmmjIt=1或—1(S=1,2,S,m)且Itc+1c+11j22j+1c≠0