宁夏石嘴山市2023届高三数学重点班上学期期中文试题含解析

Page14宁夏石嘴山市2023届高三数学（重点班）上学期期中（文）试题满分：150分考试时长：120分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：B.2.（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用复数的乘法计算得解.详解】解：由题意.故选：B.3.下列函数中是增函数的为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.4.已知向量，满足，，则A.4 B.3 C.2 D.0【答案】A【解析】【分析】由向量数量积的运算法则计算．【详解】．故选：A．【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算法则，属于基础题．5.已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于，所以命题为假命题；由于在R上为增函数，，所以，所以命题为真命题；所以为假命题，为真命题，为假命题，为假命题.故选：B．6.函数的最小正周期和最大值分别是（）A.和 B.和2C.和 D.和2【答案】C【解析】【分析】化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．【详解】，．当时，函数取得最大值；函数的周期为，最大值．故选：C7.在中，,BC=1,AC=5，则AB=A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.8.函数的单调递增区间是A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=，则y=lnt，∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；x∈(4,+∞)时,t=为增函数；y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.简称为“同增异减”.9.记为等比数列的前n项和.若，，则（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴.故选：A.10.当时，函数取得最小值，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出导函数，由题意，解得，即可计算.【详解】当时，函数取得最小值，所以，所以，得，又，根据函数在处取得最值，所以即得，所以，.故选：C.11.将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于原点O对称，则的最小值是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角函数的图象变换与性质求解，【详解】由题意得的图象向左平移个单位长度得，而的图象关于原点O对称，则，即，得，，的最小值是．故选：C12.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量,．若，则______________．【答案】【解析】【分析】由向量平行得：，代入公式即可得到.【详解】因为，，解得.故答案为：14.记为等差数列的前项和，若，则___________.【答案】100【解析】【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.【详解】得【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键．15.已知，则________.【答案】【解析】【分析】将等式两边平方，结合二倍角的正弦公式可求得结果.【详解】将两边平方，可得，解得.故答案为：.16.已知定义域为的偶函数，其导函数为，满足,则的解集为_________．【答案】【解析】【分析】令，对函数求导，根据条件可得单调递增，且单调递增，进而利用单调性和奇偶性求解．【详解】的解集为的解集，令，则，因为，所以当时有，所以，即当时，单调递增，又因为，所以，所以的解集为的解集，由单调性可知，又因为为偶函数，所以解集为【点睛】本题解题的关键是构造新函数，求导进而得出函数的单调性，然后利用奇偶性和单调性求解．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.每个试题考生都必须作答.17.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥ann的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；（2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意有，解答，所以，所以等差数列的通项公式为；（2）由条件，得，即，因为，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因为，所以有，即，解得，所以的取值范围是：【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.18.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.试题解析：（1）由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝.（2）由S＝bcsinA＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.从而由正弦定理得sinBsinC＝sinA×sinA＝sin2A＝×＝.考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.19.设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列满足时,∴∴当时,,上式也成立∴（2）∴数列的前n项和【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.20.已知函数的部分图象如图所示，其中的图像与轴的一个交点的横坐标为.（1）求这个函数的解析式，并写出它的递增区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1），（2）最大值是，最小值是【解析】【分析】（1）由三角函数的图象与性质求解，（2）由整体代换法求解，【小问1详解】由图知，，，，，由得，故的递增区间是【小问2详解】时，，，在区间上的最大值是，最小值是21.已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，然后对进行分类讨论，研究出的单调区间；（2）根据函数在处取得极值，求出，然后对分离参数，转化为，构造函数求出最值，进而求出实数的取值范围．【小问1详解】在区间上，．

当时，在区间上单调递减；

当时，令，则令，则，

从而函数的单调递增区间为，函数的单调减区间为，综上，当时，的单调减区间为；

当时，的单调递增区间为，的单调减区间为；【小问2详解】因为函数在处取得极值，所以，解得．

因为对恒成立，即对恒成立，

所以只需当，．

令，，时，；时，，

故在上递减，在上递增，．

所以，即，实数的取值范围为.【点睛】对于恒成立问题，常通过分离参数转化为最值问题，用到以下两个结论：(1)恒成立⇔；(2)恒成立⇔.22.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．【答案】（1）切线方程是；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．（2）方法一：当时，，令，只需证明即可．【详解】（1），．因此曲线在点处的切线方程是．（2）［方法一］：【最优解】放缩当时，．令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以．因此．［方法二］：【通性通法】导数的应用函数的定义域为R，．当时，令，得，或，其中．则函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．又，当时，恒成立，故，故当时，．［方法三］：等价变形＋含参讨论不等式等价于．令．当时，（导数法证明过程参考方法二）．当时，易知在R上单调递增且．所以存在唯一实数使得，即．函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．故．记，则的图像为开口向上，对称轴的抛物线，故函数在区间内单调递减，故．综上所述，当时，．［方法四］：【最优解】利用切线