内蒙古赤峰市2021-2022学年高二数学下学期期中理科试卷含解析

Page13内蒙古赤峰市2021-2022学年高二数学下学期期中（理科）试卷一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）1.下列求导运算中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数的求导公式及导数的四则运算法则，对四个选项一一验证即可.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.故选：D2.复数的实部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】由复数除法运算法则化简复数，由实部定义可得结果.【详解】，的实部是．故选：C.3.已知某一随机变量的分布列如下，且，则的值为（）490.50.2A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】由概率和为1求得b，再由数学期望公式建立方程，解之可得选项..【详解】因为，由，解得，故选：B.4.设随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性计算．【详解】由已知，所以．故选：B．5.有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是.A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】C【解析】【详解】若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对，则乙也猜对，故也不满足条件.而如果丙猜对，其他老师都不会对.故答案为C.6.2021年3月28日，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”，其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇､腾冲银杏小镇､禄丰黑井古镇､剑川沙溪古镇､瑞丽畹町小镇､德钦梅里雪山小镇．某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】6个云南特色小镇中任意选两个有15况，其中一个是安宁温泉小镇有5情况，根据古典概型概率公式即可求解．【详解】6个云南省特色小镇分别为，其中为安宁温泉小镇则6个云南特色小镇中任意选两个的可能结果有共15种其中一个是安宁温泉小镇有共5种所以要求的概率为故选：A7.除以8的余数为（）A. B.1 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理求解，即，展开后观察各项值可得．【详解】，展开式中除最后一项外其他项都是8的整数倍，又，所以所求余数为7．故选：D．8.暑假期间，甲同学外出旅游的概率是，乙同学外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设甲外出旅游为事件，乙外出旅游为事件，事件“甲、乙两位同学恰有一人外出旅游”为，由独立事件、互斥事件和对立事件的概率公式计算可得．【详解】设甲外出旅游为事件，乙外出旅游为事件，事件“甲、乙两位同学恰有一人外出旅游”为，由题意，，所以．故选：C．9.若（），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据赋值法分别令、，然后可得.【详解】令，则，再令，则，∴.故选：B.10.定义在R上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论错误的是（）A.是的一个极小值点B.和都是的极大值点C.的单调递增区间是D.的单调递减区间是【答案】B【解析】【分析】根据导函数的图象和极值点的定义逐个分析判断即可【详解】对于A，由图象可知，当时，，当时，，所以是的一个极小值点，所以A正确，对于B，由图可知，当时，，所以在上单调递增，所以和不是的极值点，所以B错误，对于C，当时，，所以的单调递增区间是，所以C正确，对于D，当时，，所以的单调递减区间是，所以D正确，故选：B11.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种 B.90种C.60种 D.30种【答案】C【解析】【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.12.已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，根据题意可得函数是偶函数，，且函数在上递增，不等式即为不等式，根据函数得单调性即可得出答案.【详解】解：令，因为是定义在R上的偶函数，所以，则，所以函数也是偶函数，，因为当时，，所以当时，，所以函数在上递增，不等式即为不等式，由，得，所以，所以，解得或，所以的解集是.故选：B.二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）13.______.【答案】【解析】【分析】由题意结合微积分基本定理运算即可得解.【详解】由题意.故答案为：.【点睛】本题考查了微积分基本定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14.已知，则的值为___________.【答案】.【解析】【分析】求出导函数，分别代入1和-1得到方程组，解得，，再相加可得答案.【详解】由，得，所以，①②由①②得，,则.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的计算，属于基础题.15.已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口连续遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为___________．【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式计算即可.【详解】设事件A：第一个路口遇到红灯，事件B：第二个路口遇到红灯，则，，，故答案为：．16.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则__________．【答案】【解析】【分析】先换元令，平方可得方程，解方程即可得到结果.【详解】令，则两边平方得，得即，解得：或（舍去）本题正确结果：【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.三、解答题（共6题，17题10分，其余小题每题各12分，共70分）17.设与是函数的两个极值点.（1）试确定常数和的值；（2）求函数的单调区间；【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先对函数进行求导，根据可求出和的值．

（Ⅱ）将和的值代入导函数，然后根据函数的单调性与其导函数之间的关系可判断函数的单调性．试题解析：（1）由题意可知：（2）18.已知二项式的展开式中，前三项系数的和是.（Ⅰ）求n的值和展开式中所有项的系数和S；（Ⅱ）求展开式中含x的整数次幂的所有项.【答案】（Ⅰ）6，；（Ⅱ）所有项，，，.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意利用展开式的通项公式，求得的值．再令，可得展开式中所有项的系数和．（Ⅱ）由题意利用展开式的通项公式，求得展开式中含的整数次幂的所有项．【详解】解析：（Ⅰ）展开式的通项为，，故由已知得，在中令得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，得展开式中含x的整数次幂的所有项为，，，.19.某大学为该市即将举行的国际马拉松比赛招募志愿者，被招募的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图7-1所示．

（1）分别求出成绩在第3，4，5组的人数．（2）现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试．①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有名学生被考官D面试，求的分布列和均值．【答案】（1）第3组人数为，第4组的人数为，第5组的人数为（2）①②分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，列出算式求解即可（2）根据题意，分别求出时对应概率值，进而列出的分布列表格，进而可得答案【小问1详解】由频率分布直方图，知第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为．【小问2详解】利用分层抽样，第3组、第4组、第5组中分别抽取3人、2人，1人．①设“甲或乙进入面试”为事件，则，所以甲或乙进入面试的概率为．②的所有可能取值为0，1，2，，，，所以的分布列为012．20.某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.（1）求摸奖者第一次摸球时恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，有种方法，恰好摸到1个红球有种方法，然后可求概率；（2）求出的所有可能值，分别求解其对应的概率，然后可得分布列.【详解】设表示摸到个红球，表示摸到个蓝球，则与独立.（1）从装有3个红球与4个白球袋中任意摸出3个球，有种方法，恰好摸到1个红球有种方法，故所求概率为.（2）的所有可能值为：0，10，50，200，且，，，.综上知的分布列为01050200【点睛】本题主要考查古典概率和随机变量的分布列，分布列求解时主要分为两个步骤：一是求解随机变量所有的取值；二是求解每个取值对应的概率.侧重考查数学建模的核心素养.21.为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频数分布表：周末运动时间（分钟）人数（1）从周末运动时间在的学生中抽取人，在的学生中抽取人，现从这人中随机推荐人参加体能测试，记推荐的人中来自的人数为，求的分布列和数学期望；（2）由频数分布表可认为：周末运动时间服从正态分布，其中为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到）；参考数据1：当时，，，．参考数据2：，.【答案】（1）分布列见解析，期望为；（2）．【解析】【分析】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值；（2）计算得出，，可求得或，可得出，再利用独立重复试验的概率公式可求得.【详解】（1）随机变量的可能取值为、、，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：所以；（2），又，，所以，所以或，所以，所以.【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求