《应用数学基础上》课件第九章 二次曲线

第九章二次曲线

在这一章里，我们将讨论在生产实践和科学研究中常遇见的圆、椭圆、双曲线、抛物线，主要是学习掌握它们的定义、方程、性质、图形及一些应用.第一节圆第二节椭圆第三节双曲线第四节抛物线第五节曲线与方程第一节圆一、圆的方程图9-1圆的形式示意

知道了圆的标准方程，还可以根据一点到圆心的距离与半径的关系来判断该点在圆上、圆内，还是圆外.二、平移变换

下面我们就来研究改变坐标系位置的一种方法.这种方法不改变坐标轴的方向和长度单位，把坐标系的原点移到某一个定点，而得到一个新坐标系.称这种方法为坐标系的平移变换.简称移轴.（！图形不变，坐标变.）图9-2坐标系的平移变换这就是坐标平移变换的公式，简称移轴公式.图9-3例5题图形图9-4例6题图形图9-5例7题图形习题思考题：课堂练习题：答案答案答案答案答案第二节椭圆一、椭圆的定义与标准方程1.椭圆的定义

定义平面内到两定点距离之和等于一个常数的点的轨迹称为椭圆.两个定点，称为椭圆的焦点.2.椭圆的标准方程图9-6椭圆的形成示意二、椭圆的几何性质根据椭圆的标准方程来研究椭圆的性质.1.范围由椭圆的标准方程（9-5）得图9-9椭圆性质的图形示意2.对称性3.顶点椭圆和它的对称轴的交点，称为椭圆的顶点.4.离心率图9-10例4的解题图形

描绘椭圆，可以根据椭圆的标准方程用描点法画出，但这样做比较复杂，通常是结合椭圆的几何性质，作出其略图.步骤如下.(1)将椭圆方程化为标准形式；(2)作出椭圆的四个顶点；(3)适当描出椭圆在第一象限的一些点，再利用对称性描出其他象限的点；(4)用光滑的曲线顺势连接这些点.习题思考题：课堂练习题：答案答案答案第三节双曲线

双曲线也是一种常见的曲线.当宇宙火箭燃料用完时,如果速度超过11.19km/s,它就会沿着一条双曲线轨道飞出地球的引力范围.一、双曲线的定义和标准方程1.双曲线的定义定义图9-11双曲线的形成示意2.双曲线的标准方程称式（9-7）为焦点在x轴上的双曲线的标准方程.

称式（9-8）为焦点在y轴上的双曲线的标准方程.(!可根据标准方程中平方项的符号判定双曲线的焦点在哪个坐标轴上.)二、双曲线的几何性质根据双曲线的标准方程（9-7）来研究双曲线的性质.1.范围2.对称性3.顶点4.渐近线我们在第一象限来作确切的说明.如图9-14所示.考虑双曲线图9-14第一象限内双曲线的渐近线

所以，我们把这条直线称为双曲线的渐近线.根据对称性知道，双曲线有两条渐近线：5.离心率

双曲线的半焦距与实半轴这比，称为双曲线的离心率，三、等轴双曲线、双曲线的画法1.等轴双曲线它的实轴与虚轴相等，这样的双曲线称为等轴双曲线.2.双曲线的画法(3)利用双曲线的范围、顶点、对称性和渐近线，画出双曲线的略图.习题思考题：课堂练习题：答案答案答案答案答案第四节抛物线1.抛物线的定义图9-15抛物线的形成示意定义2.抛物线的标准方程图9-16开口向右的抛物线图9-17几种开口方向不同的抛物线（a）图9-17（b）图9-17（c）二、抛物线的几何性质1.范围2.对称性3.顶点三、抛物线的画法抛物线的画法步骤如下.(1)将方程化为标准方程；(2)判定抛物线的开口方向和对称轴;(3)描出抛物线上五点：顶点和两组对称点，根据对称性，用光滑的曲线将这些点顺势连接.习题思考题：课堂练习题：椭圆抛物线双曲线答案答案答案分析（单击左键显示答案）第五节曲线与方程一、曲线与方程

在第八章我们学习了平面上直线与二元一次方程的关系，下面研究平面上一般曲线与方程的关系.

在研究曲线与方程的关系时，可以把一条曲线看作是满足某种条件的点的轨迹.即:(1)曲线上的点都满足某种条件;(2)满足某种条件的点都在曲线上.

前面学习过的圆、椭圆、双曲线、抛物线，它们的点所满足的条件都是用一个二元二次方程表示的.曲线上所有点的坐标都满足这个方程；(2)坐标满足这个方程的所有点都在这条曲线上.曲线的方程.方程的曲线.从前面的学习可知，求曲线方程的一般步骤如下.

求曲线方程时，一定要注意适当选取坐标系.这样能使得到的方程比较简单.二、圆锥曲线

圆锥曲线主要是指圆、椭圆、双曲线和抛物线，这些名称的由来是因为这些曲线都是由一个平面与正圆锥面相截得出的.如图9-19所示.

我们也可以统一定义圆锥曲线.

定义到一定点（焦点）与到一定直线（准线）的距离之比为常数e（离心率）的动点的轨迹为圆锥曲线.图9-19圆锥曲线的形成示意

椭圆、双曲线都具有对称中心，因此椭圆、双曲线又称为有心圆锥曲线（或称有心二次曲线）；抛物线不具有对称中心，因此抛物线称为无心圆锥曲线.椭圆（包括圆）、双曲线、抛物线还有一个共同的特征：它们的方程都是二元二次方程，所以它们常被称为二次曲线.三、二次曲线的光学性质

椭圆有这样一个聚光特征：从椭圆的一个焦点发出的光线或声波，经过椭圆的反射后，集中到另一个焦点上.如图9-20所示.

有一种叫做“耳语廓”的建筑物，它的顶的纵断面是一个椭圆的半弧，在一个焦点处低声说话，本来不可能在另一焦点处听到的声音，经过反射后，却能清晰地听到.图9-20椭圆的聚光特征示意双曲线也有如下光学特性.

与椭圆、双曲线类似，抛物线也有独特的光学性质.图9-21双曲线的光学特征示意太阳灶就是根据这一特性设计的.

反过来，一个光源放在焦点上，经过抛物线反射后成为一束平行光线，探照灯、汽车前灯就是这一特征的实际应用.如图9-22（b）所示.图9-22太阳灶、探照灯的原理示意(b)(a)习题思考题：课堂练习题：1.什么是二次曲线？2.椭圆、双曲线、抛物线的统一性是什么？3.学习本章后重点掌握哪三种方程.答案答案答案答案答案答案部分思考题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：1.圆、椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，由于它们的方程都是二次的，所以又叫二次曲线