傅里叶级数的推导

傅立叶级数(FourierSeries)推导终于还是在外国人的教材上看到了原来傅立叶级数是大大的有道理的。这本书名字叫做<patialdifferentialequationsanintroduction〉，就是偏微分方程导论。作者是WalterA.Strauss。正是在建立经典物理学的过程之中，傅立叶在研究热的传播时，伯努利在研究波的传播和扩散时，得到了以下的偏微分方程(这个推导在物理课本上有，国内的诸多教材都有推导，也不是很难，不是这篇文章关注的焦点，就略提一下，不详谈了)：当然，这个方程的第二个式子和第三个式子是偏微分方程的初值和边值条件，现在这个被称做是狄利克莱条件。在不同的场合下，初边值一般是不同的，比如其他还有纽曼条件，罗宾条件等，但是方程的解法却是大同小异。傅立叶又是怎么解这个方程的呢。OK，接下来就来看看傅立叶是怎样给这个方程的解加上自己的名字的。在上面这个方程的推导过程中，傅立叶发现，这个解u其实可以表示为X(x)・T(t)，如果哪位仁兄想问为什么，只好请您再屈驾看一下物理课本了。u=X(x)T(t)代入上述方程就可以得到(其中入是一个常数。因为E欢=宜幻携=°)行了，现在得到两个二阶常微分方程，自己都会解了。经过一番尝试，我们会发现，只有当入>0时，这两个方程的解才会有一些意义。我们就来看一看吧，现在已经假设入=p*p>0并且p>0那么这个常微分方程组的解就具有以下形式乂〈力=Ccos^x+£JsinfixT(f)=j4cos+5sinpct,其中A，B，C，D都是常数。第二步就是把边界条件加进来=就U)X(0)=X(l)=0O=^(O)=C?O=^p)=£)sin段对于C=D=0这样的平凡解，我们当然不感兴趣，所以我们还是让Pl=nnA和B是一些确定的常数，这些解的和仍然是一个解，所以任意的有限和是原方程的一个解以工，◎二】8$二—+BnSin=—）sm二―^)=Z—-呵呵，到此为止，看到傅立叶级数了。接下的任务就是计算A和B。幸好，我们有以下规律口sm sm ax=\}[m于是，有以下推导TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".mJlTi,r® ,\o"CurrentDocument"飙工)sm ax=|2dAsin sm ax\o"CurrentDocument"' ' M-l ' '=2dA]qsm—sm―-—ax2 ...mm.•A=jJ0^x)smfX'有了这个公式以后，方程（1）的解才算是完全地得到了。接下来，人们自然会想，那么什么样的函数才可以用傅立叶级数来表示呢？经过近一个世纪的争论，才惊讶地知道原来所有函数都可以表示为傅立叶级数（这句话大有问题，但是像我这样的升斗小民也就只能把所有可积函数理解为黎曼可积的了）。这个问题的证明思路也不难，那就是用公式（2）把一个普通函数强行化为傅立叶级数，再证明这个级数收敛甚至是一致收敛就可以了。说到这里，可以总结一下了。傅立叶研究一个物理过程，得到了一个偏微分方程，用特殊的方法去处理这个方程，发现解是三角函数的函数项级数。而它就是后来被称做傅立叶级数的东西。进一步又发现，随便一个函数都可以用公式（2）处理成傅立叶级数，再一研究又发现这个级数竟收敛于原来的函数。于是这个意义就大了。在通讯的时候可以说成是任何信号都可以表示成几个三角函数的叠加（因为收敛，所以取有限和便可以很好地达到实际应用时的精度要求），而三角函数