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文档简介
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行列式的复习《行列式》内容归纳要点排列及性质行列式概念行列式性质行列式计算线性方程组求解(Crammer)行列式按行、列展开Laplace
定理*典型例题一、计算排列的逆序数二、计算(证明)行列式三、克莱姆法则回章目录一、计算排列的逆序数例1
计算排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性.解当时为偶排列;当时为奇排列.
行列式的计算是线性代数中的难点、重点,特别是高阶行列式的计算,学生在学习过程中,普遍存在很多困难,难于掌握计算高阶行列式的方法很多,但具体到一个题,要针对其特征,选取适当的方法求解。行列式计算的技巧主要是“化零”和“按行(或列)展开二、计算(证明)行列式4、
其他方法:1、定义法:适用于0比较多的行列式.2、利用性质化三角形行列式3、
按行(列)展开析因子法箭形行列式行(列)和相等的行列式递推公式法加边法(升级法)拆项法数学归纳法方法1定义法(性质)利用n阶行列式的定义计算行列式,此法适用于0比较多的行列式。例1
求下列行列式的值解利用n阶行列式的定义,可直接计算其值D=-2000!EX解:
方法2化三角形法
化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法之一。例2
计算行列式
方法3拆行(列)法
由行列式拆项性质,将已知行列式拆成若干个行列式之和,计算其值,再得原行列式值,此法称为拆行(列)法。例3
求解行列式解按第一列拆开,再提公因子得
D=
再把第1个行列式按第3列展开,第2个行列式按第2列展开.最终得
方法4
降阶法
利用行列式按行按列展开定理将高阶行列式转化为较低阶行列式求解的方法叫做降阶法.它可以分为直接降阶法和递推降阶法直接降阶法用于只需经少量几次降阶就可求得行列式值的情况。
递推降阶法用于需经多次降阶才能求解,并且较低阶行列式与原行列式有相同结构的情况。例4
求解下列行列式:(1)解
利用按行按列展开定理把原行列式按第1列展开降阶后的两个低阶行列式都是三角形行列式,故原行列式的值为(2)解
把原行列式按第1列展开得降阶后的行列式,第1个行列式与原行列式的结构相同,此行列式用Dn-1表示,而后一个行列式是三角形行列式,则上式可表示为
①
将代入
中得把Dn-1
按同样的方法展开得依次下去,得把代入中得②②①而③④④③
例5.计算四阶行列式解因为所以由此递推公式可得*例5解:注:1.一边化简行列式,一边将行列式按行或列展开2.利用行列式的性质,采用“化零”的法,逐步将所给行列式化为三角形行列式.化零时一般尽量选含有1的行(列)及含零较多的行(列);若没有1,则可适当选取便于化零的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数化为1;若所给行列式中元素间具有某些特点,则应充分利用这些特点,应用行列式性质,以达到化为三角形行列式之目的.将行列式降阶,这种方法有助于计算行列式.3)利用递推关系计算例6计算注:1.利用行列式按行(列)展开定理,可以得到关于所求行列式值的递推式.一般来说,递推式的形式多种多样,不同的递推式有不同的解法,应注意这一点.2.当行列式的某一行(列)中零较多时,考虑将行列式按行(列)展开,目的是将行列式降阶,以计算出行列式的值.
方法5
升阶法(加边法)
有时为了计算行列式,特意把原行列式加上一行一列再进行计算,这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。
加边法最大的特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后,就可利用行列式的性质把绝大多数元素化为0,这样就达到简化计算的效果例7
求行列式的值
解行列式第1列有共同元素,第2列有共同元素,…,第
n列有共同元素.根据这些特点给原行列式加边得
给加边后的行列式的第1行乘加到第i行上(i=1,2,…,n)得==方法6利用范德蒙行列式的结果计算例8注:范德蒙行列式是非常重要的,在实际计算行列式时,我们经常遇到的是变形了的范德蒙行列式,故要学会将这种行列式还原成标准的范德蒙行列式.
EX
利用Vandermonde
行列式的结果计算四阶行列式解用互换相邻两行的方法把的
D
第4行调到第1
行,第3
后一个行列式是Vandermonde
行列式,利用它的结果就有行调到第2
行,第
2
行调到第3
行,共经3+2+1=6
次调换,于是解:考察阶范德蒙行列式例、计算行列式显然就是行列式中元素的余子式,即
,(为代数余子式)又由的表达式及根与系数的关系知,中的系数为:
即,
方法7用数学归纳法例9证明对阶数n用数学归纳法注:(一)析因子法例:计算
解:由行列式定义知为的4次多项式.又,当时,1,2行相同,有,为D的根.当时,3,4行相同,有为D的根.故有4个一次因式:方法8其他方法设令则
即,
(二)箭形行列式解:把所有的第列的倍加到第1列,得:
可转为箭形行列式的行列式:(把第
i行分别减去第1行,即可转为箭形行列式)(三)行(列)和相等的行列式
解:解第一章自测题一.填空题(5分/题,共30分)(1)
已知则_____.(2)已知______.(3)行列式(4)在五阶行列式中,项的符号应取(5)设四阶行列式则(6)设,为实数,则当,时,二.计算下列行列式(20分)三.解答题(25分)有非零解?取何值,齐次方程组四.证明题(25分)设
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