ruc历年微积分概率论数学分析考题部分带答案统计二重积分

二重积分二重积分的概念，性质和计算1分割2近似

(以直代曲)3求和yxoy=f(x)ab..分法越细，越接近精确值1.

曲边梯形的面积f(

i).4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细.ab...分法越细，越接近精确值1分割2近似

(以直代曲)3求和1.

曲边梯形的面积.f(

i)4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细....分法越细，越接近精确值1分割2近似

(以直代曲)3求和1.

曲边梯形的面积.f(

i)S

=.S.ab问题：如何计算曲顶柱体的体积？一、问题的提出1.曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xoy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.问题：如何计算曲顶柱体的体积？“分割,近似,求和,取极限”

解决问题的思路:类似定积分解决问题的思想:×x0z

y

DSS:z=f(x,y)１分割：任意分割区域

D,

化整为零2近似：以平代曲１.

曲顶柱体的体积

ix0z

yDS:z=f(x,y)3求和：2近似：以平代曲１分割：任意分割区域

D,

化整为零.

i１.

曲顶柱体的体积x0z

yDS:z=f(x,y)3求和4取极限令分法无限变细

i2近似：以平代曲１分割：任意分割区域

D,

化整为零.V=１.

曲顶柱体的体积x0z

yV..１.

曲顶柱体的体积S:z=f(x,y)3求和4取极限令分法无限变细2近似：以平代曲１分割：任意分割区域

D,

化整为零V=二、二重积分的定义１.定义:将区域D

任意分成

n

个小区域任取一点若存在一个常数

I,使可积

,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,

0xyD直角坐标系下面积元素图示引例1中曲顶柱体体积:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,

因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作2.注解:(1)二重积分的存在性：若函数在D上可积.在有界闭区域上连续,则(２)二重积分几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．

当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．三、二重积分的性质性质１当为常数时，性质２定积分的性质性质１.性质２性质３对区域具有可加性性质３.若为D的面积，性质4性质4性质５若在D上特殊地则有如果在上性质５

特殊地性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算或记为或记为

利用直角坐标系计算二重积分1、2、X-型区域Y-型区域abxyoDcdDyxo例1

计算下列二重积分？解原式

因为被积函数没有对称性，即例1

计算下列二重积分先积后积如何？解原式

计算麻烦！例1

计算下列二重积分先积后积要用两次分部积分解原式

例1

计算下列二重积分由围成先积后积如何？解原式

要分成两部分之和例1

计算下列二重积分由围成先积后积要分作两部分计算解

小结：化二重积分为二次积分时，积分次序的确定应考虑积分区域的形状，还应考虑积分计算的难度与方便。例2

计算下列二次积分解原式

o11yxy=xy=x1/2原有积分次序不可求！例2

计算下列二次积分解o242yxy=xy=x/2原式积分区域D可表示为：xyzo例3

计算下列立体的体积（1）由四个平面围成的柱体被平面及截得的立体的体积。解例3

计算下列立体的体积（2）由曲面及平面围成的立体。解第二类换元积分法

有些二重积分，其积分区域的边界曲线用极坐标表示较为方便，或被积函数用极坐标表示比较简单，这时可考虑利用极坐标计算。（演示）在二重积分的定义式中被积函数可用极坐标表示为：面积元素如图所示：于是，极坐标下二重积分为：可表示为参考直角坐标系下化二重积分为二次积分的做法，可得：

利用极坐标系计算二重积分D