高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)

第一课不等式和绝对值不等式第一课1【网络体系】【网络体系】2

【核心速填】

1.不等式的基本性质(1)对称性:a>b⇔____.(2)传递性:a>b,b>c⇒____.(3)加(减):a>b⇒________.(4)乘(除):a>b,c>0⇒______;a>b,c<0⇒______.b<aa>ca+c>b+cac>bcac<bc【核心速填】b<aa>ca+c>b+cac>bc3(5)乘方:a>b>0⇒_____,n∈N*,且n≥2.(6)开方:a>b>0⇒_________,n∈N*,且n≥2.an>bn(5)乘方:a>b>0⇒_____,n∈N*,且n≥2.an42.基本不等式(1)定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥____(当且仅当a=b时,等号成立).(2)定理2:如果a,b>0,那么≥____(当且仅当a=b时,等号成立).2ab2.基本不等式2ab5(3)引理:如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c3≥_____(当且仅当a=b=c时,等号成立).(4)定理3:如果a,b,c∈R+,那么≥____(当且仅当a=b=c时,等号成立).(5)推论:如果a1,a2…an∈R+,那么≥_________(当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立).3abc(3)引理:如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c3≥__63.绝对值三角不等式(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的_____,|a-b|的几何意义表示数轴上两点间的_____.(2)|a+b|≤________(a,b∈R,ab≥0时等号成立).(3)______≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0时等号成立).距离距离|a|+|b||a-c|3.绝对值三角不等式距离距离|a|+|b||a-c|7(4)||a|-|b||≤|a+b|≤________(a,b∈R,左边“=”成立的条件是ab≤0,右边“=”成立的条件是ab≥0).(5)__________≤|a-b|≤|a|+|b|(a,b∈R,左边“=”成立的条件是ab≥0,右边“=”成立的条件是ab≤0).|a|+|b|||a|-|b||(4)||a|-|b||≤|a+b|≤________(a,8【易错警示】

1.关注不等式性质的条件(1)要注意不等式的等价性.(2)应用不等式时,要注意不等式成立的条件.【易错警示】92.基本不等式求最值时的关注点要注意考虑所给式子是否满足“一正,二定,三相等”的要求.3.解绝对值不等式的关注点由绝对值不等式转化为不含绝对值不等式时,要注意转化的等价性,特别是平方时,两边应均为非负数.2.基本不等式求最值时的关注点10类型一不等式的基本性质的应用【典例1】已知:a>b>0,c<0,求证:【证明】,因为a>b>0,c<0,所以c(b-a)>0,ab>0,所以>0,所以类型一不等式的基本性质的应用11【方法技巧】不等式的基本性质应用的注意点(1)注意不等式成立的条件,若弱化或强化了条件都可能得出错误的结论.(2)注意明确各步推理的依据,以防出现解题失误.【方法技巧】不等式的基本性质应用的注意点12【变式训练】1.若a,b是任意实数,且a>b,则(

)A.a2>b2

B.<1C.lg(a-b)>0 D.【解析】选D.因为y=是减函数,所以a>b⇔【变式训练】1.若a,b是任意实数,且a>b,则()132.“x>0”是“x+≥2”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.“x>0”是“x+≥2”的()14【解析】选C.当x>0时,=2,因为x,同号,所以当x+≥2时,则x>0,>0,所以x>0.【解析】选C.当x>0时,=2,因为153.已知:x>y>0,m>n>0求证:【证明】因为m>n>0,所以>0,因为x>y>0,所以>0,所以3.已知:x>y>0,m>n>0求证:16类型二基本不等式的应用【典例2】(1)x,y,z∈R+,x-2y+3z=0,求的最小值.(2)若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:类型二基本不等式的应用17【解析】(1)由x-2y+3z=0,得y=,则当且仅当x=3z时,等号成立.【解析】(1)由x-2y+3z=0,得y=,18(2)因为a,b,c∈R+且a+b+c=1,所以2=(a+b)+(b+c)+(c+a)所以[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·

所以(2)因为a,b,c∈R+且a+b+c=1,19【方法技巧】利用基本不等式求最值问题的类型(1)和为定值时,积有最大值.(2)积为定值时,和有最小值.在具体应用基本不等式解题时,一定要注意适用的范围和条件:“一正、二定、三相等”.【方法技巧】利用基本不等式求最值问题的类型20【变式训练】1.已知x∈R+,则函数y=x2·(1-x)的最大值为_________.【解析】y=x2(1-x)=x·x(1-x)=x·x·(2-2x)×【变式训练】1.已知x∈R+,则函数y=x2·(1-x)的21当且仅当x=2-2x,即x=时取等号.此时,ymax=.答案:

当且仅当x=2-2x,即x=时取等号.222.求函数y=的最小值.【解析】y=

+2+2tan2α=3+

+2tan2α≥3+2

=3+2

.当且仅当2tan2α=即tanα=时,等号成立.所以ymin=3+2.2.求函数y=的最小值.23类型三绝对值不等式的解法【典例3】解关于x的不等式|2x-1|<|x|+1.【解析】当x<0时,原不等式可化为-2x+1<-x+1,解得x>0,又x<0,故x不存在.当0≤x<时,原不等式可化为类型三绝对值不等式的解法24得所以0<x<当x≥时,原不等式可化为得≤x<2.综上,原不等式的解集为{x|0<x<2}.得所以0<x<25【方法技巧】绝对值不等式的常见类型及解法(1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).(2)|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x).(3)|f(x)|>g(x)⇔[f(x)]2>[g(x)]2.【方法技巧】绝对值不等式的常见类型及解法26(4)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型:①零点分段讨论法;②利用|x-a|的几何意义法;③在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象.(4)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x27【变式训练】1.解不等式|x+1|>|x-3|.【解析】方法一:由|x+1|>|x-3|两边平方得(x+1)2>(x-3)2,所以8x>8,所以x>1,所以原不等式的解集为{x|x>1}.【变式训练】1.解不等式|x+1|>|x-3|.28方法二:当x≤-1时,有-x-1>-x+3,此时x无解;当-1<x≤3时,有x+1>-x+3,即x>1,所以此时1<x≤3;当x>3时,有x+1>x-3成立,所以x>3.所以原不等式解集为{x|x>1}.方法二:当x≤-1时,有-x-1>-x+3,此时x无解;292.已知函数f(x)=|2x+1|-|x|-2.(1)解不等式f(x)≥0.(2)若存在实数x,使得f(x)≤|x|+a,求实数a的取值范围.2.已知函数f(x)=|2x+1|-|x|-2.30【解析】(1)函数f(x)=|2x+1|-|x|-2【解析】(1)函数f(x)=|2x+1|-|x|-231当x<-时,由-x-3≥0,可得x≤-3,当-≤x<0时,由3x-1≥0,求得x∈∅,当x≥0时,由x-1≥0,求得x≥1.综上可得,不等式的解集为{x|x≤-3或x≥1}.当x<-时,由-x-3≥0,可得x≤-3,32(2)f(x)≤|x|+a,即①,由题意可得,不等式①有解,由于-|x|表示数轴上的x点到-点的距离减去它到原点的距离,故故有解得a≥-3.(2)f(x)≤|x|+a,即33类型四绝对值不等式的恒成立问题【典例4】(2016·衡阳高二检测)设函数f(x)=|2x-a|+|2x+1|(a>0),g(x)=x+2.(1)当a=1时,求不等式f(x)≤g(x)的解集.(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.类型四绝对值不等式的恒成立问题34【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≤g(x),即|2x-1|+|2x+1|≤x+2,【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≤g(x),35解①求得x无解,解②求得0≤x<解③求得综上,不等式的解集为解①求得x无解,解②求得0≤x<36(2)由题意可得|2x-a|+|2x+1|≥x+2恒成立,转化为|2x-a|+|2x+1|-x-2≥0恒成立,令h(x)=|2x-a|+|2x+1|-x-2=易得h(x)的最小值为-1,令-1≥0,解得a≥2.(2)由题意可得|2x-a|+|2x+1|≥x+2恒成立,易37【方法技巧】对于恒成立不等式求参数范围问题的常见类型及其解法(1)分离参数法:运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.【方法技巧】对于恒成立不等式求参数范围问题的常见类型及其解法38(2)更换主元法:不少含参数的不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.(3)数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直观地解决问题.(2)更换主元法:不少含参数的不等式恒成立问题,若直接从主元39【变式训练】1.若不等式|x-a|+|x-2|≥1对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.【解析】设y=|x-a|+|x-2|,则ymin=|a-2|因为不等式|x-a|+|x-2|≥1对任意x恒成立,所以|a-2|≥1,解得a≥3或a≤1.【变式训练】1.若不等式|x-a|+|x-2|≥1对任意实数402.(2016·南昌高二检测)已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.(1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x).(2)若存在x∈R,使得f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.2.(2016·南昌高二检测)已知函数f(x)=|2x+1|41【解析】(1)当a=0时,由f(x)≥g(x)得|2x+1|≥|x|,两边平方整理得3x2+4x+1≥0,解得x≤-1或x≥-,所以原不等式的解集为(-∞,-1]∪【解析】(1)当a=0时,由f(x)≥g(x)得|2x+1|42(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x+1|-|x|,令h(x)=|2x+1|-|x|,即h(x)=故h(x)min=,故可得到实数a的范围为(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x+1|-|x|,43第二课柯西不等式、排序不等式与数学归纳法第二课44【网络体系】【网络体系】45

【核心速填】

1.二维形式的柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式:____________________________________________.若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2【核心速填】若a,b,c,d都是实数,则(a2+46(2)柯西不等式的向量形式:__________________________________________.当且仅当是零向量,或存在实数k,使=k时,等号成立.设是两个向量,则||·|||·|≤(2)柯西不等式的向量形式:________________47(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么________________________________________

(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那482.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则________________________________________________.当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)22.一般形式的柯西不等式(a12+a22+…+an2)(b1493.排序不等式设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1≤________________≤a1b1+a2b2+…+anbn.a1c1+a2c2+…+ancn3.排序不等式a1c1+a2c2+…+ancn504.数学归纳法一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当____时,命题成立.(2)假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时,命题成立.证明______时,命题也成立.n=n0n=k+14.数学归纳法n=n0n=k+151【易错警示】

关注数学归纳法应用时常出现的三个错误(1)对假设设而不用.(2)机械套用数学归纳法中的两个步骤致误.(3)没有搞清从k到k+1的跨度.【易错警示】52＜1-＜.类型一利用柯西不等式证明不等式【典例1】若n是不小于2的正整数,求证:＜1-＜.类型一53【证明】1-所以求证式等价于<<.【证明】1-54由柯西不等式,有

[(n+1)+(n+2)+…+2n]>n2,于是>==≥=.由柯西不等式,有55＜1-＜.又由柯西不等式,有所以＜1-＜.又由柯56【方法技巧】利用柯西不等式证题的技巧(1)柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)·(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai,bi∈R,i=1,2,…,n),形式简洁、美观、对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解.【方法技巧】利用柯西不等式证题的技巧57(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会.(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着58【变式训练】1.设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:【变式训练】1.设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证59【解题指南】利用柯西不等式的向量形式,目标式的左边应是两个向量的数量积.由于变量a,b,c的系数都相等,由整体性可构造向量m=(),n=(1,1,1),利用|m·n|≤|m||n|可得证.【解题指南】利用柯西不等式的向量形式,目标式的左60【证明】令m=(),n=(1,1,1),则m·n=而|m|=又|n|=,由|m·n|≤|m||n|,得所以当且仅当a=b=c=1时,等号成立.【证明】令m=(),n=612.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证:(2)求的最小值.2.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.62【解析】(1)根据柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)]≥(5x+4y+3z)2,因为5x+4y+3z=10,所以【解析】(1)根据柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+563(2)根据基本不等式,得当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即x2+y2+z2≥2,当且仅当时,等号成立.综上,≥2×32=18.(2)根据基本不等式,得64类型二利用排序不等式证明不等式【典例2】设A,B,C表示△ABC的三个内角的弧度数,a,b,c表示其对边,求证:类型二利用排序不等式证明不等式65【证明】方法一:不妨设A>B>C,则有a>b>c由排序原理:顺序和≥乱序和所以aA+bB+cC≥aB+bC+cAaA+bB+cC≥aC+bA+cBaA+bB+cC=aA+bB+cC【证明】方法一:不妨设A>B>C,则有a>b>c66上述三式相加得3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c)所以

上述三式相加得67方法二:不妨设A>B>C,则有a>b>c,由排序不等式即aA+bB+cC≥(a+b+c),所以方法二:不妨设A>B>C,则有a>b>c,68【延伸探究】在本例条件下,你能证明吗?【延伸探究】在本例条件下,你能证明69【证明】能.由0<b+c-a,0<a+b-c,0<a+c-b,有0<A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)=a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C)=(a+b+c)π-2(aA+bB+cC).得【证明】能.由0<b+c-a,0<a+b-c,0<a+c-b70【方法技巧】利用排序不等式证明不等式的策略(1)在利用排序不等式证明不等式时,首先考虑构造出两个合适的有序数组,并能根据需要进行恰当地组合.这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择.【方法技巧】利用排序不等式证明不等式的策略71(2)根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有关的不等式问题,利用排序不等式解决往往很简捷.(2)根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有关的不等式72【变式训练】若a1≤a2≤…≤an,而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn,证明:当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,等号成立.【变式训练】若a1≤a2≤…≤an,而b1≥b2≥…≥bn或73【证明】不妨设a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn.则由排序原理得:a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b1+a2b2+…+anbna1b1+a2b2+…+anbn≤a1b2+a2b3+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b3+a2b4+…+an-1b1+anb2……【证明】不妨设a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn.74a1b1+a2b2+…+anbn≤a1bn+a2b1+…+anbn-1.将上述n个式子相加,得:n(a1b1+a2b2+…+anbn)≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)上式两边除以n2,得等号当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时成立.a1b1+a2b2+…+anbn≤a1bn+a2b1+…+a75类型三利用柯西不等式和排序不等式求最值【典例3】(1)已知实数x,y,z满足x2+2y2+3z2=3,求u=x+2y+3z的最小值和最大值.(2)设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,求M=a1+的最小值.类型三利用柯西不等式和排序不等式求最值76【解析】(1)因为(x+2y+3z)2=(x·1+y·+z·)2≤[x2+(y)2+(z)2]·[12+()2+()2]=(x2+2y2+3z2)(1+2+3)=18.【解析】(1)因为(x+2y+3z)277当且仅当,即x=y=z时,等号成立.所以-3≤x+2y+3z≤3,即u的最小值为-3,最大值为3.当且仅当,即x=y=z时,等号成立78(2)设b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一个排列,且b1<b2<b3<b4<b5.因此b1≥1,b2≥2,b3≥3,b4≥4,b5≥5.又1≥由排序不等式,得(2)设b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a479即M的最小值为即M的最小值为80【方法技巧】利用柯西或排序不等式求最值的技巧(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定,其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理.在这类题目中,利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易.【方法技巧】利用柯西或排序不等式求最值的技巧81(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时,要关注等号成立的条件,不能忽略.(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时,要关注等号成立的82【变式训练】1.设x1,x2,x3,x4是2,3,4,5的任一排列,则2x1+3x2+4x3+5x4的最小值是_________.【解析】反序和最小,即最小值为2×5+3×4+4×3+5×2=44.答案:44【变式训练】1.设x1,x2,x3,x4是2,3,4,5的任832.已知|x|≤1,|y|≤1,试求x+y的最大值.【解析】由柯西不等式得x+y

当且仅当xy=

即x2+y2=1时,等号成立,所以x+y的最大值为1.2.已知|x|≤1,|y|≤1,试求x+y84类型四用数学归纳法证明恒等式【典例4】用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).类型四用数学归纳法证明恒等式85【证明】(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),【证明】(1)当n=1时,86则当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-2k2-5k-3=-(k+1)(2k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],则当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)287即当n=k+1时,等式成立.由(1)(2)可知,对任何n∈N+,等式都成立.即当n=k+1时,等式成立.88【方法技巧】利用数学归纳法证明恒等式的方法用数学归纳法证明恒等式的关键是证明n=k+1时命题成立,从n=k+1的待证目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端,再运用归纳假设即可.同时应注意目标恒等式另一端的变化(即用k+1代替恒等式中的n).【方法技巧】利用数学归纳法证明恒等式的方法89【变式训练】1.用数学归纳法证明:(n∈N+).【证明】(1)当n=1时,左边=1-,右边=,等式成立.【变式训练】1.用数学归纳法证明:90(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即当n=k+1时,(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即91所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对于任意n∈N+等式都成立.所以当n=k+1时,等式也成立.922.是否存在常数a,b,使得2+4+6+…+(2n)=an2+bn对一切n∈N+恒成立?若存在,求出a,b的值,并用数学归纳法证明,若不存在,说明理由.2.是否存在常数a,b,使得2+4+6+…+(2n)=an293【解析】取n=1和2,

即2+4+6+…+(2n)=n2+n.以下用数学归纳法证明:(1)当n=1时,已证.【解析】取n=1和2,94(2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时等式成立,即2+4+6+…+(2k)=k2+k,那么,当n=k+1时有2+4+6+…+(2k)+(2k+2)=k2+k+(2k+2)=(k2+2k+1)+(k+1)=(k+1)2+(k+1),(2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时等式成立,95即当n=k+1时等式成立.根据(1)(2)知,存在使得对任意n∈N+,等式都成立.即当n=k+1时等式成立.96类型五利用数学归纳法证明不等式【典例5】设a,b为正实数,n∈N+.求证:类型五利用数学归纳法证明不等式97【证明】(1)当n=1时,显然成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即要证明n=k+1时,不等式成立,即证明:【证明】(1)当n=1时,显然成立.98在的两边同时乘以得要证明只需证明因为在的两边同时乘以得99⇔2(ak+1+bk+1)≥(a+b)(ak+bk)⇔2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)≥0⇔ak+1-abk-bak+bk+1≥0⇔(a-b)(ak-bk)≥0.又a-b与(ak-bk)同正负(或同时为0),所以最后一个不等式显然成立,⇔2(ak+1+bk+1)≥(a+b)(ak+bk)100这就证明了当n=k+1时,不等式成立.综合(1)(2)可知,对任何n∈N+,不等式恒成立.这就证明了当n=k+1时,不等式成立.101【方法技巧】利用数学归纳法证明不等式的关键应用数学归纳法证明不等式的关键是在运用归纳假设时,应分析p(k)与p(k+1)的差异及联系,利用拆、添、并、放等手段,从p(k+1)中分离出p(k),再进行局部调整,也可考虑寻求二者的结合点,以便顺利过渡,利用归纳假设,经过适当放缩、恒等变形,得到结论需要的形式.【方法技巧】利用数学归纳法证明不等式的关键102【变式训练】求证:(n∈N+).【证明】(1)当n=1时,,不等式成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即【变式训练】求证:103当n=k+1时,因此,欲证明n=k+1时,原不等式成立,只需证明成立.即证明当n=k+1时,104可以转化为证明也就是证明而=k2+3k+2-[2k+1+2]=k2+k+1-2=[-1]2>0,可以转化为证明105于是有成立.所以当n=k+1时,原不等式也成立.由(1),(2)可知,当n∈N+时,原不等式都成立.于是有成立.106第三课证明不等式的基本方法第三课107【网络体系】【网络体系】108【核心速填】

1.比较法(1)作差比较法的依据:若a,b∈R,则______⇔a>b;a-b=0⇔a=b;______⇔a<b.(2)作商比较法的依据:若a>0,b>0,则_____⇔a>b;=1⇔a=b;_____⇔a<b.a-b>0a-b<0【核心速填】a-b>0a-b<0109(3)比较法的步骤:作差(商)→变形→判符号(与0(或1)比较大小)→结论.(3)比较法的步骤:作差(商)→变形→判符号(与0(或1)比1102.综合法推证过程:3.分析法推证过程:

2.综合法1114.反证法反设→推理→矛盾→结论.5.放缩法分析待证式的形式特点,适当放大或缩小.4.反证法112【易错警示】

(1)利用比较法证明不等式时,最后变形的结果要容易判断其符号,即变形为一个常数,或变形为若干个因式的乘积,或变形为一个或几个平方的和等.【易错警示】113(2)用分析法证明不等式时,一定要注意用好反推符号,或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.(3)用放缩法时,放缩要得当,不能“过大”也不能“过小”.(2)用分析法证明不等式时,一定要注意用好反推符号,或“要证114类型一比较法证明不等式【典例1】设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2).因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0.从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,故3a3+2b3≥3a2b+2ab2成立.类型一比较法证明不等式115【方法技巧】比较法证明不等式的依据及步骤(1)依据:不等式的意义及实数比较大小的充要条件.(2)一般步骤:①作差;②恒等变形;③判断结果的符号;【方法技巧】比较法证明不等式的依据及步骤116④下结论.其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形.④下结论.117【变式训练】1.(2016·南阳高二检测)已知a,b是正实数,n是正整数.求证:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).【证明】(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=abn+anb-an+1-bn+1=a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(bn-an).【变式训练】1.(2016·南阳高二检测)已知a,b是正实数118当a>b>0时,bn-an<0,a-b>0,此时(a-b)(bn-an)<0;当b>a>0时,bn-an>0,a-b<0,此时(a-b)(bn-an)<0;当a=b>0时,bn-an=0,a-b=0,此时(a-b)(bn-an)=0.综上所述:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)≤0.即(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).当a>b>0时,bn-an<0,a-b>0,此时(a-b)(1192.(2016·福州高二检测)已知α∈(0,π),求证:2sin2α≤2.(2016·福州高二检测)已知α∈(0,π),120【证明】2sin2α-=4sinαcosα-因为α∈(0,π),所以sinα>0,1-cosα>0,又(2cosα-1)2≥0,所以2sin2α-≤0,所以2sin2α≤.【证明】2sin2α-=4sinαcosα-121类型二综合法证明不等式【典例2】已知a>0,a2-2ab+c2=0且bc>a2,试证明:b>c.【证明】因为a2-2ab+c2=0,所以a2+c2=2ab.又a2+c2≥2ac,且a>0,所以2ab≥2ac,所以b≥c.若b=c,由a2-2ab+c2=0,得a2-2ab+b2=0,所以a=b.从而a=b=c,这与bc>a2矛盾.从而b>c.类型二综合法证明不等式122【方法技巧】综合法证明不等式的依据、注意点及思考方向(1)依据:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论.【方法技巧】综合法证明不等式的依据、注意点及思考方向123(2)注意点:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当……时,取等号”的理由要理解掌握.(2)注意点:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)124(3)思考方向:综合法证明不等式的思考方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立.(3)思考方向:综合法证明不等式的思考方向是“顺推”,即由已125【变式训练】1.(2016·昆明高二检测)已知a,b是不相等的正实数,求证:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2.【解题指南】因为a,b是不相等的正实数,所以a2b+a+b2及ab2+a2+b均可用三正数的均值不等式,从而用综合法可证明.【变式训练】1.(2016·昆明高二检测)已知a,b是不相等126【证明】因为a,b是正实数,所以a2b+a+b2≥3=3ab>0,(当且仅当a2b=a=b2即a=b=1时,等号成立);同理:ab2+a2+b≥3=3ab>0,(当且仅当ab2=a2=b即a=b=1时,等号成立);【证明】因为a,b是正实数,127所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)≥9a2b2,(当且仅当a=b=1时,等号成立);因为a≠b,所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2.所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)≥9a2b2,1282.若a,b,c都是正数,能确定与的大小吗?【解析】能确定,因为a,b,c都是正数,+(b+c)≥4a,+(a+c)≥4b,+(a+b)≥4c,所以≥2(a+b+c),所以2.若a,b,c都是正数,能确定129类型三分析法证明不等式【典例3】设a,b,c均为大于1的正数,且ab=10.求证:logac+logbc≥4lgc.类型三分析法证明不等式130【证明】由于a>1,b>1,故要证明logac+logbc≥4lgc,只要证明≥4lgc.又c>1,故lgc>0,所以只要证≥4即≥4,因ab=10,故lga+lgb=1,只要证明≥4.(*)【证明】由于a>1,b>1,故要证明logac+logbc≥131由a>1,b>1,故lga>0,lgb>0,所以0<lgalgb≤即(*)式成立.所以,原不等式logac+logbc≥4lgc得证.由a>1,b>1,故lga>0,lgb>0,132【方法技巧】分析法证明不等式的依据,思维方向及适用方法(1)依据:分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.【方法技巧】分析法证明不等式的依据,思维方向及适用方法133(2)思维方向:分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待证的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.(2)思维方向:分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待134(3)适用方法:当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.(3)适用方法:当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法135【变式训练】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数y=f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,求证:为偶函数.【变式训练】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数y136【证明】要证为偶函数,只需证明其对称轴为x=0,即只需证=0,只要证a=-b,由已知,抛物线f(x+1)的对称轴x=-1与对称轴x=关于y轴对称,所以-1=,所以a=-b,所以为偶函数.【证明】要证为偶函数,只需证明其对称轴137类型四反证法与放缩法证明不等式【典例4】已知0<x<2,0<y<2,0<z<2,求证:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1.【解析】假设x(2-y)>1,y(2-z)>1,z(2-x)>1均成立.则三式相乘有:xyz(2-x)(2-y)(2-z)>1,…①类型四反证法与放缩法证明不等式138由于0<x<2,所以0<x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,同理:0<y(2-y)≤1,且0<z(2-z)≤1,所以三式相乘得0<xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1,…②②与①矛盾,故假设不成立.所以x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1.由于0<x<2,所以0<x(2-x)=-x2+2x=-(x-139【方法技巧】1.反证法先假设要证明的结论是不正确的,然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析,得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而原来的命题结论正确.【方法技巧】1402.放缩法将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小),使不等式由繁化简,达到证明的目的.2.放缩法141【变式训练】1.对于任何大于1的自然数n,证明:【证明】设a>b>0,m>0,则所以【变式训练】1.对于任何大于1的自然数n,证明:142所以所以所以1432.设Sn=求证:不等式对所有的正整数n都成立.2.设Sn=144【证明】因为且所以对所有的正整数n都成立.【证明】因为145高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)146第一节绝对值不等式第一节绝对值不等式147[主干知识梳理]一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤

，当且仅当

时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，那么

|a－c|≤

，当且仅当

时，等号成立．|a|＋|b|ab≥0|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0[主干知识梳理]|a|＋|b|ab≥0|a－b|＋|b－c|148二、绝对值不等式的解法1．不等式|x|<a与|x|>a的解集：不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a<x<a}∅∅|x|>a{x|x>a，或x<－a}{x|x≠0}R二、绝对值不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x1492.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：

(1)|ax＋b|≤c⇔

；

(2)|ax＋b|≥c⇔

(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型150方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；151高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)152高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)1533．|x|2－2|x|－15>0的解集是________． 解析∵|x|2－2|x|－15>0， ∴|x|>5或|x|<－3(舍去)， ∴x<－5或x>5.

答案(－∞，－5)∪(5，＋∞)3．|x|2－2|x|－15>0的解集是________．1544．若存在实数x满足不等式|x－4|＋|x－3|<a，则实数a的取值范围是________． 解析由绝对值不等式的几何性质知，

|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1， 所以函数y＝|x－4|＋|x－3|的最小值为1， 又因为原不等式有实数解， 所以a的取值范围是(1，＋∞)． 答案(1，＋∞)4．若存在实数x满足不等式|x－4|＋|x－3|<a，则实数155高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)156

[关键要点点拨]1．不等式|x－a|＋|x－b|≥c的解就是数轴上到A(a)，B(b)两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．2．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.[关键要点点拨]157绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法158高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)159高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)160高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)161

[规律方法]形如|x－a|±|x－b|≥c不等式的常用解法：(1)零点分段讨论法，其步骤为：①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．(2)用|x－a|±|x－b|的几何意义求解．(3)数形结合，作出y＝|x－a|±|x－b|的图象，直观求解．[规律方法]162高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)163高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)164其图象如图所示．由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．其图象如图所示．由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0165高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)166绝对值三角不等式的应用绝对值三角不等式的应用167高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)168高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)169高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)170高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)171高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)172高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)173绝对值不等式的证明绝对值不等式的证明174高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)175

[规律方法]含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．[规律方法]176高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)177高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)178高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)179高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)180高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)181高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)182高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)183高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)184【高手支招】

解含有参数的绝对值不等式时，以下几点在备考时要高度关注：(1)要准确、熟练地利用绝对值的定义或公式法、平方法、几何意义法、零点分段讨论法等去掉绝对值．(2)去掉绝对值的几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能施行．因此，我们在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．

【高手支招】解含有参数的绝对值不等式时，以下几点在备考时185(3)将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时强化函数；数形结合与转化化归思想方法的灵活应用．(3)将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命186本讲优化总结本讲优化总结187

专题探究精讲讲末综合检测本讲优化总结知识体系网络 专题探究精讲讲末综合检测本讲优化总结知识体系网络188知识体系网络知识体系网络189专题探究精讲本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查，考查形式多以选择题出现．专题一不等式性质的基本应用专题探究精讲本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论190例1例1191【思路点拨】结合不等式性质和函数性质(单调性)来比较大小或用特值法判断．【答案】

D【思路点拨】结合不等式性质和函数性质(单调性)来比较大小或192不等式的应用主要体现在两大方面：一是不等式作为一种重要工具在研究解答数学学科本身有关问题及其他学科有关问题方面的应用；二是解决现实生活、生产及科学技术领域中的实际问题．专题二不等式的综合应用不等式的应用主要体现在两大方面：一是不等式作为一种重要工具在193不等式应用主要是：利用不等式求函数的定义域、值域；利用不等式求函数最大值、最小值；利用不等式讨论方程根及有关性质；利用不等式解应用题．1．利用不等式求函数的定义域、值域求函数定义域，首先要判断好函数类型，依各种不同函数的要求写出含有x的不等式．如由几部分经加、减、乘、除等构成的函数，需求不等式组的解．不等式应用主要是：利用不等式求函数的定义域、值域；利用不等式194已知函数y＝f(2x)的定义域是[1,2]，则函数y＝f(log2x)的定义域是(

)A．[2,4]B．[4,16]C．[0,1]D．[1,2]【思路点拨】本题是两个方面的问题：①已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域；②已知f(x)的定义域，求f[φ(x)]的定义域．例2已知函数y＝f(2x)的定义域是[1,2]195【解析】

∵y＝f(2x)的定义域是[1,2]，∴1≤x≤2.∴2≤2x≤4，即y＝f(x)的定义域是[2,4]．∵2≤log2x≤4,4≤x≤16.∴函数y＝f(log2x)的定义域是{x|4≤x≤16}．【答案】

B【名师点评】求定义域一般是根据条件列出不等式组求之，但求复合函数的定义域要切实把握好内外函数的定义域与值域的关系．【解析】∵y＝f(2x)的定义域是[1,2]，1962．利用不等式求函数最大值、最小值求函数最大值、最小值主要方法有公式法(利用重要不等式和算术平均数与几何平均数定理)、配方法、判别式法、换元法等．求函数的最大值、最小值一定要注意函数定义域．例32．利用不等式求函数最大值、最小值例3197高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)198高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)199【名师点评】本题是复合函数求值域问题，利用换元法求得函数值域，一定要注意换元后变量范围的变化．【名师点评】本题是复合函数求值域问题，利用换元法求得函数值2003．恒成立问题中求字母范围的问题在给定区间上不等式恒成立，一般地有类似下面常用的结论：(1)f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a；(2)f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.已知函数f(x)在定义域(－∞，1]上是减函数，问是否存在实数k，使得f(k－sinx)≥f(k2－sin2x)对一切x∈R恒成立，并说明理由．例43．恒成立问题中求字母范围的问题例4201【思路点拨】首先应根据函数单调性去掉函数符号，转化为关于sinx的不等式恒成立问题．【解】

∵f(x)在(－∞，1]上是减函数，∴k－sinx≤k2－sin2x≤1.假设存在实数k符合题设．∵k2－sin2x≤1即k2－1≤sin2x对一切x∈R恒成立，且sin2x≥0，∴k2－1≤0，－1≤k≤1.①【思路点拨】首先应根据函数单调性去掉函数符号，转化为关于s202高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)203【名师点评】该类题目形式上是探索性问题，实际上与封闭型题很接近，直接从条件出发，采用求函数最值的方法可探求出结论．【名师点评】该类题目形式上是探索性问题，实际上与封闭型题很204本讲优化总结本讲优化总结205

专题探究精讲本讲优化总结知识体系网络讲末综合检测 专题探究精讲本讲优化总结知识体系网络讲末综合检测206知识体系网络知识体系网络207专题探究精讲证明不等式的常用方法专题一证明不等式的常用方法主要指比较法、综合法、分析法等．证明不等式时可首先考虑这些方法．

已知a，b，c∈R＋，n∈N＋.求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．

【思路点拨】不等式的两端是多项式形式，考虑用比较法证明．例1专题探究精讲证明不等式的常用方法专题一证明不等式的常用方法主208【证明】

(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1＝abn＋anb－an＋1－bn＋1＝a(bn－an)＋b(an－bn)＝(a－b)(bn－an)．当a>b>0时，bn－an<0，a－b>0，此时(a－b)(bn－an)<0；当b>a>0时，bn－an>0，a－b<0，此时(a－b)(bn－an)<0；【证明】(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)209当a＝b>0时，bn－an＝0，a－b＝0，此时(a－b)(bn－an)＝0.综上所述：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)≤0.即：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．【名师点评】两端作差后，为判断差的符号，用到了分解因式的手段，但必须讨论a，b的取值才能确定an－bn的符号．当a＝b>0时，bn－an＝0，a－b＝0，210例2【思路点拨】本题若用比较法，则不易变形；若直接用综合法，则不易发现与已知不等式的关系．因而可试用分析法．例2【思路点拨】本题若用比较法，则不易变形；若直接用综合法211高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)212【名师点评】该例用分析法将一个较为复杂的不等式转化为简单的不等式，从而找到使它成立的条件．当然，该例也适用分析法与综合法相结合的方法．【名师点评】该例用分析法将一个较为复杂的不等式转化为简单的213用反证法证明不等式专题二主要针对从正面不易直接证明的问题，特别是含有“至少”、“至多”以及含有否定意义的命题．

已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立．并证明你的结论．例3用反证法证明不等式专题二主要针对从正面不易直接证明的问题，特214【思路点拨】

①利用函数的单调性，并结合不等式性质推证．②写出逆命题后，看一看能不能直接证．可考虑反证法．【证明】

(1)∵a＋b≥0，∴a≥－b.由已知f(x)的单调性得：f(a)≥f(－b)．又a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．【思路点拨】①利用函数的单调性，并结合不等式性质推证．215高中数学选修4-5复习课课件(多套整理)216【名师点评】