第52讲-椭圆的几何性质(原卷版)

第52讲椭圆的几何性质课程标准掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围掌握直线与椭圆的位置关系基础知识回顾1、椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b焦距eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b22、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．4、．AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)直线AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0). 5、直线与椭圆的关系将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．再求一元二次方程的判别式Δ，当：①Δ>0⇔直线与椭圆相交；②Δ＝0⇔直线与椭圆相切；③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．6、设直线l与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线l斜率，则AB＝eq\r(（1＋k2）)|x1－x2|．自主热身、归纳总结1、直线y＝kx－k＋1(k为实数)与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.相交、相切、相离都有可能第2题图2、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是____．3、中心为原点，一个焦点为F(0,5eq\r(2))的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为eq\f(1,2)，则该椭圆的方程是____________．4、已知直线y＝－x＋1与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)，焦距为2，则线段AB的长是()A.eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(4\r(2),3)C.eq\r(2) D．25、(一题两空)已知点F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点，点P在此椭圆上，则椭圆离心率为________，△PF1F2的周长为________．例题选讲考点一椭圆的离心率的值例1(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，第(1)题图上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是____．(2)已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．P为椭圆C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为____．变式1、(1)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)变式2、（四川省乐山一中2019届质检）设F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆x2＋y2＝eq\f(a2,9)与线段PF交于A，B两点，若A，B三等分线段PF，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(\r(10),4) D.eq\f(\r(17),5)变式3、焦点在x轴上的椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为eq\f(b,3)，则椭圆的离心率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)变式4、(2017苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________．方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。考点二椭圆离心率的范围例2、(2020·福州模拟)过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．变式1、设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝120°，则椭圆离心率e的取值范围是____．变式2、(2020·上饶模拟)已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．变式3、已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.(1)若e＝eq\f(\r(3),2)，求椭圆的方程；(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且eq\f(\r(2),2)＜e≤eq\f(\r(3),2)，求k的取值范围．变式4、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，为右准线上一点．点在椭圆上，且．（1）若椭圆的离心率为，短轴长为．=1\*GB3①求椭圆的方程；（2）若在轴上方存在两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．求离心率的值关键是找到不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。考点三直线与椭圆的综合问题例3、[2018·江苏高考]如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(eq\r(3)，eq\f(1,2))，焦点F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点，若△AOB的面积为eq\f(2\r(6),7)，求直线l的方程．变式1、在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝b2经过椭圆E：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)的焦点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M(－1，0)，N(1，0)，记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2－2k2＝1时，求k1·k2的值．变式2、（浙江杭州高级中学2019届模拟）已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝eq\f(\r(5),5)，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．方法总结：直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)求直线方程：可依题设条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程．(2)求面积：先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值．(3)弦长问题：利用根与系数的关系、弦长公式求解．(4)中点弦或弦的中点问题：一般利用点差法求解，注意判断直线与椭圆是否相交．五、优化提升与真题演练1、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测）设A，B分别为椭圆C：(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C过点P(2，1)，当线段AB长最小时椭圆C的离心率为_______.2、【2019年全国Ⅲ卷】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.3、(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(2\r(2),3)4、(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(1,3)5、(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)6、(2017扬州期末）如图，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，圆O：x2＋y2＝b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：y＝kx＋b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P，Q，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→)).(1)若点P(－3,0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C的方程；(2)若λ＝3，求椭圆C的离心率e的取值范围．7、(2017苏北四市摸底）如图，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在