场电势零点选取的受限性

场电势零点选取的受限性

1确定电势零的条件静态能量场是一个保守的领域，电势是相对于物理的变量。电势大小取决于电势点的选择。只有确定电势点的电势值后，才能确定点的电势值。从理论上讲,电势零点和重力势能零点的选取一样,都是任意的。选择不同的电势零点,电场中某一点的电势就具有不同的值。但是,在实际电势的计算中,电势零点的选取并不是任意的,也是有限制的,本文将具体讨论静电场电势零点选取的受限性,以及针对不同的带电体,如何选择电势零点。2电势的定义式电势零点选取之后,电场中各点的电势应该具有确定的值,并且具有物理意义,那么就要求计算电势的定义式:Vp=∫popppoE·di必须是收敛的。有了这个条件,在实际的电势计算中,我们必须考虑具体的情况。2.1场源荷所需位置的选取一个点电荷q在距离它为r处的P点产生的电势Vp。我们知道,点电荷q在周围空间产生的场强的大小E=q4πƐ0r2E=q4πƐ0r2,可见,随着距离的增大,E是变小,在r→∞远处,场强E→0,现在假设选取任意一点p0点为电势零点,p0距离场源电荷q的距离为r0,则由电势的计算式:Vp=∫popppoE·di=∫rorrroE·di=∫rorq4πƐ0r2dr=q4πƐ0[1r−1r0]=∫rroq4πƐ0r2dr=q4πƐ0[1r-1r0]讨论:1.如果此时选取r0=0,即场源电荷q处为电势零点,则会得出:Vp=q4πƐ0[1r−1r0]Vp=q4πƐ0[1r-1r0]→-∞,那么此时电场中任一点的电势都是一个趋于负无穷的值,这是没有意义的,所以,不能选取场源电荷本身所在的位置为电势零点。2.通常选取无限远处即r0→∞处为电势零,Vp=q4πƐ0[1r−1r0]=q4πƐ0rVp=q4πƐ0[1r-1r0]=q4πƐ0r,这样电场中的各点电势就是一个关于r的函数,给定一个r,该点的电势就有了确定的值。可见,在计算点电荷产生的电势时,不能选取场源电荷本身所在的位置为电势零点(见讨论1),通常选取无限远处为电势零点(见讨论2),得出电场中距离场源电荷为r的一点的电势:Vp=q4πƐ0rVp=q4πƐ0r。电场中某一点的电势在数值上就等于单位正电荷放在该点处的电势能,也等于单位正电荷从该点经过任意路径到无限远处时电场力所做的功。例如表示电场中A点的电势:VA=WAq0=∫∞AVA=WAq0=∫A∞E·di(1)(1)上式也是计算电场中某一点电势的定义式,但前提是选择无限远处为电势能零点。2.2无限东北部带电体的电势有限大的带电体即对一个带电体来说,电荷分布在有限的区域内。带电体来周围存在电场,每点都有确定的电场强度,在带电体附近空间,电场线密集,根据场强和电势的关系可知,在带电体附近,电势的变化率较大,并且随着距离的增大,E是减小的,电势的变化率也变小,从无限远处看此带电体,可以将其看成是一个点电荷,那么在无限远处此带电体产生的场强E可以近似的认为等于零(即E=0),在无穷远这个区域内,可以认为是等势的,即V∞=0。那么对于有限大的带电体,通常选取无限远处为电势零点(V∞=0),电场中其他各点的电势值即可确定。例如计算均匀带电球面电场中的电势分布。本例可以选取无限远处为电势零点(V∞=0)。已知均匀带电球面在空间激发的电场强度的方向沿半径向外辐射,电场强度的大小为:E1=q4πƐ0r2r>RE1=q4πƐ0r2r>RE2=0r<R沿半径方向积分,P点的电势为:r>R时,Vp=∫p∞E·di=∫∞rq4πƐ0r2dr=q4πƐ0r∫r∞q4πƐ0r2dr=q4πƐ0rr<R时,由于球内外电场强度的函数关系不同,积分必须分段进行,即Vp=∫p∞E·di=∫rRE2·dr+∫R∞E1·dr=∫Rr0⋅dr+∫∞Rq4πƐ0r2dr=q4πƐ0R=∫rR0⋅dr+∫R∞q4πƐ0r2dr=q4πƐ0R由上例中可以看出,电荷分布在有限区域内,一般情况下,可选择无限远处为电势零点。先求出场强的表达式,再利用电势和场强的关系,选择合适的积分路径,计算出某一点的电势。2.3相干/整点电势绝无限大带电体,比如“无限长”的导线,或者“无限大”的平面,“无限长”的圆柱面等带电体,这些理想化的物理模型,其上面的电荷分布延伸到无限远处,在计算这些带电体在周围空间产生的电势时,就不能选取无限远处为电势零点,而只能选取其周围一点有限远处为电势零点,利用电势的相对性和电势差的绝对性来计算。那么如何确定电荷分布延伸到无限远处的带电体周围空间的电势值,下面将用两个例子对此类问题做以探讨。例1:计算“无限长”均匀带电直线电场的电势分布。“无限长”直线如图放置,其上电荷线密度为λ。分析如下:如图所示建立直角坐标系。将导线所在的位置定义为OY轴,我们可以在OX轴上距直线为r处任取一点P,求出P点的电势。由高斯定理可知,“无限长”均匀带电直线周围任一点电场强度的大小:E=λ2πƐ0rE=λ2πƐ0r讨论:1.若选择无限远处为电势零点,则带电直线外任一点P的电势为:Vp=∫p∞E·di=∫∞rλ2πƐ0rdr=λ2πƐ0(ln∞−lnr)=∫r∞λ2πƐ0rdr=λ2πƐ0(ln∞-lnr)ln∞是发散的,即电势值为无限大,是不合理的,因此在“无限长”均匀带点直线的电场中不能选无限远处为电势零点。2.若选择轴线上r=0处为电势零点,则Vp=∫p0E·di=λ2πƐ0=λ2πƐ0(ln0-lnr),ln0也是无意义的,因此电势零点选在轴线上也无法计算出电场中的电势分布。3.若选择电场中任一点p0(到带电直线的距离为r0)为电势零点,如图所示,则距带点直线为r的p点的电势为Vp=∫pp0E·di=∫rorλ2πƐ0rdr=λ2πƐ0∫rroλ2πƐ0rdr=λ2πƐ0(lnr0-lnr)(2)r0取(0,∞)的任意值,就可以计算出对应的P点的电势值。由此可见,在计算“无限长”均匀带电直线在周围空间激发的电势时,既不能选取无限远处为电势零点,也不能选取带电直线上一点为电势零点,而只能选在带点直线外一个距离带电直线有限远的确定点上。(2)式中,由于r0⊂(0,∞),可选取r0=1m,则ln1=0,也就是说将电势零点选在距带电直线为1m处,则p点的电势为:Vp=λ2πƐ0Vp=λ2πƐ0lnr,此时电势的表达式为最简。由上式看出,若细线带正电(λ>0),当场点到细线的垂直距离r<1m时,由于lnr<0,故该区域各点的电势VP>0;显然,在r>1m的区域,各点的电势VP<0。可见,电势值是相对的,根据电势零点的不同而变化,但是两点之间的电势差是绝对的,不随电势零点的选取而变化,所以我们选择了合适的电势零点以后就可以由电势差算出各点的电势值。例2电荷面密度为σ的“无限大”均匀带电平面,求距平面为r处p点的电势。由高斯定理知,“无限大”均匀带电平面在两边产生的场强大小为:E=σ2Ɛ0E=σ2Ɛ0讨论1.如果选取无限远处为电势零点,则,Vp=∫p∞E·di=∫∞rσ2Ɛ0dr=σ2Ɛ0(∞−r)=∫r∞σ2Ɛ0dr=σ2Ɛ0(∞-r),会得出Vp→∞的结论,显然是不正确的。2.选择有限远处P0点为电势零点,则由,Vp=∫pp0E·di=∫rorσ2Ɛ0dr=σ2Ɛ0(r0−r)=∫rroσ2Ɛ0dr=σ2Ɛ0(r0-r),当r0取(0,∞)的任意一个值时,p点的电势具有相应的值。当r0→0时,即P0点选择在无限大的均匀带电平面上,此时,Vp=σ2Ɛ0rVp=σ2Ɛ0r,为最简的电势表达式。3关于静电场电势零点的选取由以上例题可以看出,虽然从理论上讲,在计算电势时,电势零点的选取是任意的,但是要具体问题具体分析,注意以下几点:(1)在“无限长”均匀带电直线和“无限大”均匀带电平面的电场中,计算电势时,电势零点不能选取在无限远处,而只能选在有限远处适当的位置。(2)在计算点电荷产生的电势时,电势零点不能选在场源电荷(即点电荷处),而要选在除此之外的位置。(3)在计算电荷分布为有限的带电体在周围空间产生的电势时,一般选择无限远处一点为电势零点。(4)电势零点选取的原则是使计算的电势值有意义,并且使电势的表达式尽可能简洁。(5)电势大小的正负与电势零点的选取密切相关。在理论上,计算一个有限大小的带电体所激发的电场中各点的电势时,通常选无限远处的一点为电势零点,但在实际问题中,常选择地球的电势为零,其他带电体的电势都是相对于地球而言的。这样的规定有很多方便之处:一方面可以在任何地方都能方便地和地球比较而确定各个带电体的电势;另一方面,地球是一个半径很大的导体,在这样的导体上增减一些电荷对其电势的影响是很小的,因此地球的电势比较稳定。在工业上,消除静音的重要措