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第二节空间向量的数量积运算考点梳理空间向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作.规定，并且.向量与的夹角，记作，如下图：若，则称与互相垂直，记作：.空间向量的数量积：定义：已知空间两个向量，，则叫做向量，的数量积，记作，即．（1）常用结论(，为非零向量)①(为单位向量)；②；③或；④；⑤．（2）空间向量的数量积满足如下运算律：①；②（交换律）；=3\*GB3③（分配律）．感悟与升华（1）空间向量数量积的有关概念、运算与性质和平面向量数量积的相关概念、运算与性质是一样的，只是从二维空间推广到了三维空间,即多了一个竖坐标而已；（2）和平面向量的数量积在平面三角问题中的应用一样，我们同样可以利用空间向量的数量积求解空间距离和夹角等问题.例题分析一、数量积及其运算：例1、（1）（2023·全国·高三练习）（多选题）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．（2）（2022·四川·南部县二中高二练习）已知空间向量､､是两两互相垂直的单位向量，=____.（3）（2023·湖南·益阳平高学校高二期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．二、利用空间向量的数量积求异面直线所成的角（1）直线的方向向量：在直线上取非零向量，与向量平行的非零向量称为直线的方向向量．（2）异面直线所成的角：设、分别是两条异面直线的方向向量，直线所成的角为,；两向量的夹角为，，则.例2、（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，，，，为中点.(1)用空间的一个基底表示，；(2)求异面直线与所成角的余弦值.三、利用空间向量的数量积求线段的长度1、空间向量的长度（模）向量的模：.推广：；.2、利用向量求线段的长度将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用求解.例3、（2023·湖北·赤壁一中高二联考）在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，M是的中点，则（

）A．5 B．7 C．3 D．★综合运用能力提高例4、（2023秋·山东济南市章丘区第四中学高二期末）（多选）金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有，若正四面体的棱长为，则（

）A．B．C．D．点睛：正四面体对棱中点的连线必过正四面体的中心.例5、（2022·深圳市外语学校高二期末）如图所示，在正方体中，点是上底面内（含边界）的一点，且平面，求异面直线与所成

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