概率论与数理统计谢寿才课后习题第二章

(完好版)概率论与数理统计谢寿才版课后习题第二章答案(完好版)概率论与数理统计谢寿才版课后习题第二章答案/(完好版)概率论与数理统计谢寿才版课后习题第二章答案习题二1.设随机变量X的分布函数为0,x0,14,0x1,F(x)13,1x3,12,3x6,1,x6.试求X的概率分布列及P(X1)，P(X1)，P(X3)，P(X3).解:随机变量X的分布列为X0136p141121612则P(X1)P(0)1；P(X1)P(0)P(1)F(1)1；43P(X3)P(6)1；P(X3)P(3)P(6)112262.32.设失散型随机变量X的分布函数为0,x1,F(x)a,1x1,2a,1x2,3b,x2.a且P(X2)12，试求a，b和X的分布列.解：由分布函数的定义可知ab1又因为P(X2)12，则P(X2)P(X2)P(X2)F(2)F(20)a2a17b2ab326故a16，b56.3.设随机变量X的分布函数为0,x1,F(x)lnx,1xe,1,xe.试求P(X2.5)，P(0X3.5)，P(1.5X2.5).解:依据题意X为连续型随机变量，则P(X2.5)F(2.50)F(2.5)ln5ln2，P(0X3.5)F(3.5)F(00)F(3.5)F(0)1，P(1.5X2.5)F(2.50)F(1.50)F(2.5)F(1.5)ln5ln3。4.若P(Xx1)1，P(Xx2)1，此中x1x2，试求P(x1Xx2).解:P(x1Xx2)P(Xx2)P(Xx1)P(Xx2)[1P(Xx1)]1[1(1)]1.5.一只口袋中有5个球，编号分别为1，2，3，4，5.从中任意取3个，以X表示拿出的3个球中的最大号码.求X的分布列；写出X的分布函数，并作图.解：(1)依据题意X表示拿出球中最大的号码，则其可能取值为3，4，5，故其分布列为pkP(Xk)Ck21C11，k3,4,5.C53即X345p110310610(2)由分布函数的定义可知0,x3,1,3x4,F(x)102,4x5,51,x5.作图略.6.有三个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球和2个黑球.现任取一个盒子，从中任取3个球,以X表示所取到的白球数.试求X的概率分布列；取到的白球数许多于2个的概率为多少？解：(1)依据题意X表示所取到的白球数，则其可能取值为0,1,2,3，故其分布列为pkP(Xk)1C1kC43k1C2kC33k1C3kC23kk0,1,2,3.3C533C533C53，即X0123p1612310130(2)依据题意，所求概率为P(X2)P(X2)P(X13).3掷一颗骰子4次，求点数6出现的次数的概率分布.解：以X表示骰子点数出现6的次数，则X~B(4,1)6故其分布列为k4kpkP(Xk)C4k111，k0,1,2,3,4.66即X01234p0.48230.38580.11570.01540.0008一批产品共有100件，此中10件是不合格品.依据查收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假如5件中无不合格品，则这批产品被接受，不然就要重新对这批产品逐一检验.(1)试求5件中不合格品数X的分布列；(2)需要对这批产品进行逐一检验的概率为多少？解：(1)以X表示件产品中的不合格品数，则其可能取值为0，1，2，4，5.故其分布列为pkC10kC905k，k0,1,2,3,4,5.P(Xk)C1005依据题意，所求概率为P(X0)1P(X0)1P(0)0.4162.9.设某人射击命中率为0.8，现向一目标射击20次，试写出目标被击中次数X的分布列.解：以X表示目标被击中的次数，则X~B(20,0.8)故其分布列为pkP(Xk)C20k(0.8)k(0.2)20k，k0,1,2,,20.10.某车间有5台车床，每台车床使用电力是间歇的，均匀每小时有10分钟使用电力.假定每台车床的工作是互相独立的，试求同一时刻最罕有3台车床用电的概率；同一时刻至多有3台车床用电的概率.解：以X表示同一时刻用电车床的台数，则X~B(5,1)6故其分布列为1k5kk5k0,1,2,,5.pkP(Xk)C566，(1)依据题意所求概率为P(X3)P(X3)P(X4)P(X5)0.0355；依据题意所求概率为P(X3)1P(X3)1P(X4)P(X5)0.9967.某优秀的射击手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数许多于29环的概率？解：以X表示射击手命中环10的次数，则X~B(3,0.7)故其分布列为C3k(0.7)k(0.3)3k，kpkP(Xk)0,1,2,3.依据题意所求概率为P(X2)1P(X2)1P(X0)P(X1)0.784.12.设随机变量X和Y均遵从二项分布，即X~B(2,p)，Y~B(4,p).若P(X1)89，试求P(Y1)?解：依据题意随机变量X~B(2,p)，则P(Xk)C2kpk(1p)2k，k0,1,2.又因为P(X1)89，则P(X1)1P(X1)1P(X0)1C20p0(1p)28p2.93则Y~B(4,2).304故P(Y1)1P(Y1)1P(Y0)1C402180.338113.已知一电话交换台每分钟的呼叫次数遵从参数为4的泊松分布，求：(1)每分钟恰有8次呼叫的概率；(2)每分钟呼叫次数大于8的概率.解：以X表示交换台每分钟的呼叫次数，则X~P(4)故其分布列为pkP(Xk)4ke4，k0,1,2,.k!(1)依据题意所求概率为p8P(X8)48e40.0298；8!依据题意所求概率为P(X8)1P(X8)10.9790.021.14.某公司生产的一种产品，依据历史生产记录可知，该产品的次品率为0.01，问该种产品300件中次品数大于5的概率为多少？解：以X表示300件产品中的次品数，则X~B(300,0.01)用参数为np3000.013的泊松分布作近似计算，得所求概率为P(X5)1P(X5)53k310.9161.k0k!保险公司在一天内承保了5000份同年龄段，为期一年的寿险保单，在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付3万元.设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人能否死亡互相独立.求该公司对于这批投保人的赔付总数不超出30万元的概率.解：以X表示该年龄段投保人在一年内的死亡人数，则X~B(5000,0.0015)用参数为np50000.00157.5的泊松分布作近似计算，得所求概率为P(X10)10C5000k(0.0015)k(0.9985)10k107.5ke7.50.8622.k0k0k!有一繁忙的汽车站，每天有大批汽车经过，设一辆汽车在一天的某段时间内失事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过,问失事故的车辆数不小于2的概率是多少？解：以X表示该汽车站每天失事故的车辆数，则X~B(1000,0.0001)用参数为np10000.00010.1的泊松分布作近似计算，得所求概率为P(X2)1P(X2)20.1ke0.10.10k!k17.进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p，则失败的概率为q1p(0p1).(1)将试验进行到第一次成功为止，求所需试验次数X的分布列.(2)将试验进行到第r次成功为止，求所需试验次数Y的分布列.（此分布被称为负二项分布）解：(1)依据题意，以X表示试验第一次成功为止所需试验次数，则X遵从参数为p的几何分布，其分布列为pkP(Xk)p(1p)k1，k1,2,,(0p1)(2)依据题意，以Y表示试验第r次成功为止所需试验次数，则Y的可能取值为r,r1,,rm,，（即在k次伯努利试验中，最后已此必定是成功，而前面k1次中一定有r次是成功的，由二项分布得其概率为r1pr1(1p)kr，再乘以最后一次成功的1Ck1概率p），则其分布列为pkP(Xk)Ckr11pr(1p)kr，kr,r1,,(0p1).18.一篮球运动员的投篮命中率为0.45，求他初次投中时累计已投篮次数X的分布列，并计算X为偶数的概率.解：依据题意，以X表示篮球运动员初次投篮命中的投篮次数，则其分布列为pkP(Xk)0.45(10.45)k1，k1,2,故篮球运动员初次投篮命中的投篮次数为偶数次的状况是互不相容的，即所求概率为pP(X2k)0.45(10.45)2k10.3548.k1k119.设随机变量X的概率密度为x,0x1,f(x)2x,1x2,0,其他.试求P(X1.5).解：由概率密度函数的定义可知P(X1.5)1.511.5x)dx0.875.f(x)dxxdx(20120.设随机变量X的概率密度为Acosx,x,f(x)20,x.2试求：(1)常数A;(2)X落在区间(0,)内的概率.4解：(1)由概率密度函数的正则性可知1f(x)dx21；Acosxdx2AA22依据题意，所求概率为P(0X)4412f(x)dx0cosxdx.4024设随机变量X的分布函数为0,x0,F(x)Ax2,0x1,1,x1.试求：(1)常数A；(2)X落在区间(0.3,0.7)内的概率；(3)X的概率密度.解：(1)由分布函数的连续性可知F(10)limF(x)limAx2AF(1)1A1；x1x1(2)依据题意，所求概率为P(0.3X0.7)F(0.7)F(0.3)0.4；由分布函数和密度函数的关系可知2x,0x1,f(x)F(x)0,其他.某加油站每周补给一次油，假如这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变量，其概率密度为x4f(x)0.051,0x100,1000,其他.试问该加油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在5%以下？解：设该油站的储油罐容量为a升(a0)，以X表示该加油站每周油品销售量，则依据题意100xa5P(Xa)0.05f(x)dxdx10.05a0.051a100100a10050.05a46.23.在区间[0,a]上任意扔掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设该质点落在区间[0,a]中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正，试求X的分布函数和概率密度.解：设X的分布函数为F(x)，则当x0时，因为{Xx}是不行能事件，因此F(x)P(Xx)0；当xa时，因为{Xx}是必然事件，因此F(x)P(Xx)1；当0xa时，有F(x)P(Xx)P(0Xx)kx，此中k为比率系数，由分布函数的右连续性可知，1F(a)F(a0)limF(x)kak1a则X的分布函数为xa0,x0,F(x)x,0xa,axa.1,由分布函数和密度函数的关系可得其概率密度函数为f(x)1,0xa,a0,其他.24.设随机变量X遵从区间(0,10)上的均匀分布，求对X进行4次独立观察中，最罕有3次的观察值大于5的概率？解：依据题意，随机变量X~U(0,10)，则其概率密度函数为10x10,f(x),10其他.0,故对X进行独立观察中观察值大于5的概率为pP(X5)f(x)dx100.5550.1dx以Y表示对X进行独立观察中观察值大于5的次数，则Y~B(4,p)故所求概率为P(X3)P(X3)P(X4)C43(0.5)3(0.5)1C44(0.5)40.3125.25.设随机变量K~U(0,5)，求方程4x24KxK20无实根的概率和有实根的概率.解：依据题意，随机变量K~U(0,5)，则其密度函数为10x5,f(x),5其他.0,依据韦达定理可得，当16K216K3201K2时，方程无实根，其概率为P(1X2)220.6；f(x)dx0.2dx11当16K216K320K1或K2时，方程有实根，其概率为P({X1}{X2})1P(1X2)0.4.26.设顾客在某银行的窗口等候服务的时间X（以分计）遵从指数分布，其概率密度为f(x)0.2e0.2x,x0,0,x0.某顾客在窗口等候服务，若超出10分钟他便走开，他每个月要到银行5次，以Y表示他未等到服务而走开窗口的次数，试求他最罕有一次没有等到服务而走开的概率.解：依据题意，顾客在银行窗口等候服务的时间X遵从指数分布，则等候时间超出10分钟的概率为pP(X10)10f(x)dx0.2e0.2xdxe210以Y表示他未等到服务而走开窗口的次数，则Y~B(5,e2)故所求概率为C50(e2)0(1e2)5P(X1)1P(X1)1P(X0)10.5167。27.某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命X（以小时计）都遵从同一指数分布11,x0,xf(x)6000,x0试求：此仪器在最先使用的300小时内，最罕有一个该种电子元件损坏的概率.解：依据题意，以X表示该型号电子元件的寿命，则该型号电子元件寿命小于300小时的概率为pP(X300)30030011xdx1f(x)dxe6001e20600e0.5)以Y表示该型号电子元件损坏数，则Y~B(3,1故所求概率为P(X1)1P(X1)1P(X0)1C30(1e0.5)0(e0.5)30.3101.设随机变量X~N(3,22)，求(1)P(1X5)；(2)P(X5)；(3)确立a，使得P(Xa)P(Xa)？解：由正态分布标准化UXX3可得2(1)P(3X5)P13U53P(2U1)22(1)(2)(1)(2)10.8185；(2)P(X1)P13U13P(2U1)22(1)(2)(2)(1)0.1359；(3)依据题意P(Xa)P(Xa)，则a3a3PUa3a3PUPU21PU222a3a3a31(0)0.5)122(22故a3。设随机变量X~N(4,32)，求P(2X5)(2)P(X3)(3)设a为参数，使得P(Xa)0.9，问a最多取为多少？解：由正态分布标准化UXX4可得3(1)P(2X5)P24U54P2U1333(13)(2)(13)(2)10.6065；(2)P(X3)1P(X3)1P34U3417U133P331[(73)(13)]0.6392；(3)依据题意P(Xa)0.9，则PUa41PUa40.9PUa43330.1即a40.1((1.28)0.8997，(1.29)0.9015)3故由标准正态分位数定义可得a41.285a0.1453即参数a最大取为0.145.X(以m计)拥有概率密度30.丈量到某一目标的距离时，发生的随机偏差1(x20)2f(x)e3200，x40230m的概率.试求在三次丈量中，最罕有一次偏差的绝对值不超出解：依据题意，以X表示丈量中随机产生的偏差，由其密度函数的定义可知X~N(20,402)，则偏差绝对值超出30m的概率为P(X30)1P(X30)1P(30X30)P3020U3020P(1.25U0.25)4040(0.25)(1.25)(0.25)(1.25)10.4931,以Y表示丈量中偏差绝对值超出30m的次数，则Y~B(3,4931)故全部概率为C30(10.4931)0(0.5069)3P(X1)1P(X1)1P(X0)10.8698.31.某单位招聘员工，共有10000人报考.假设考试成绩遵从正态分布，且已知90分以上有359人，60分以下有1151人，现按考试成绩从高分到低分一次录取2500人，试问被录用者中最低分数是多少？解：依据题意，以X表示报考人的成绩分数，则X~N(,2)故P(X90)1P(X90)1PU90903590.03591100009090（查表得）0.96411.8P(X60)60601151PU0.115110000601.2（查表得）由、可得72，10，即X~N(72,102)，设录取者中最低分数为a，则P(Xa)25000.251P(Xa)，100000.251a721a72PU1010a720.75，((0.67)0.7486，(0.68)0.7517)10故a72a78.75100.675已知失散型随机变量X的分布列为X21013p1516151151130试求YX2与ZX的分布列.解：依据题意可得X21013YX241019ZX21013p1516151151130故合并整理得YX2的分布列Y0149X的分布列Z0123p1573015113033.设随机变量X的概率密度为f(x)0.5cos(0.5x),0x,0,其他.对X独立重复观察4次，Y表示观察值大于3的次数，求Z2Y1分布列.解：依据题意，由概率密度函数定义可知，对X进行独立观察中观察值大于3的概率为pP(X)f(x)dx0.5cos(0.5x)dx0.5.333以Y表示对X进行4次独立观察中观察值大于3的次数，则Y~B(4,0.5)故其分布列为k)C4k(0.5)k(10.5)4k，kpkP(X0,1,2,3,4.即Y01234Z2Y111357p0.06250.250.3750.250.0625故Z11357p0.06250.250.3750.250.0625设随机变量X~U(0,1)，试求以下随机变量函数的概率密度：(1)Y1X；(2)YeX；(3)Y2lnX；(4)YlnX.解：依据题意，随机变量X~U(0,1)，则其密度函数为fX(x)1,0x1,0,其他.(1)由y1xxh(y)1y，且有h(y)10，则Y1X的密度函数为fY(y)fX(1y)(1y),01y1,0,其他.1,0y1,0,其他.(2)由yex0xh(y)lny，且有h(y)10，则YeX的密度函数为yfX(lny)(lny),0lny1,fY(y)其他.0,1y,1ye,0,其他.(3)由y2lnx0xh(y)e0.5y，且有h(y)0.5e0.5y0，则YeX的密度函数为fY(y)fX(e0.5y)(e0.5y),0e0.5y1,0,其他.0.5e0.5y,y0,0,其他.(4)由ylnx0，故当y0时，有FY(y)0，从而fY(y)0当y0时，yl