高三上学期数学一轮学案+基本立体图形及直观图

三数学一轮学案自学互助，导学精练第页基本立体图形及直观图组编刘杰审核刘学娟【学习目标】1.借助特殊几何体，掌握锥体、柱体、台体的结构特点；2.结合图形特点，会画其直观图，掌握直观图的画法；3.将展开图还原为直观图，借助直观图和展开图，解决直观图中的相关问题；【知识梳理】一、空间几何体的结构特征eq\a\vs4\al(1.简单几何体,1多面体的结构特征)名称棱柱棱锥棱台图形底面互相且多边形互相且侧棱互相且相交于,但不一定延长线交于侧面形状①特殊的四棱柱eq\x(四棱柱)eq\o(→,\s\up7(底面为),\s\do5(平行四边形))eq\x(\a\al(平行,六面体))eq\o(→,\s\up7(侧棱垂直),\s\do5(于底面))eq\x(\a\al(直平行,六面体))eq\o(→,\s\up7(底面为),\s\do5(矩形))eq\x(长方体)eq\o(→,\s\up7(底面),\s\do5(边长相等))eq\x(正四棱柱)eq\o(→,\s\up7(侧棱与底面),\s\do5(边长相等))eq\x(正方体)上述四棱柱有以下集合关系:{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．②多面体的关系:eq\x(棱柱)eq\o(→,\s\up7(一个底面退化),\s\do5(为一个点))eq\x(棱锥)eq\o(→,\s\up7(平行于底面的),\s\do5(平面截得))eq\x(棱台)(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球▲图形母线互相且,于底面长度且相交于延长线交于轴截面全等的全等的全等的侧面展开图二、直观图1、画法：常用2、规则：（1）在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点,画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点,且使,它们确定的平面表示水平面；（2）已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；（3）已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中长度，平行于轴的线段，长度变为原来的；（4）连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.简记为：①；②；③；④.思考：斜二测画法中，直观图与原图有什么变化吗？ 【诊断自测与教材衍化】（教材必修第二册101页及其衍化题）判断（1）长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体；（）（2）四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；（）（3）圆柱的每个轴截面都是全等矩形（）（4）用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台（）2.（教材必修第二册101页）填空（1）一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他面都是全等的矩形，则这个几何体是；（2）一个多面体最少有个面，此时这个多面体是．3．（2022·河南商丘·高三期末）下列关于棱锥､棱台的说法正确的是A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的D．棱台的各侧棱延长后必交于一点4.（教材必修第二册105页第3题）充满气的车轮内胎可由下面哪个平面图形绕轴旋转而成A． B． C． D．【考点检测】考点一、基本立体图形的结构特征5.（教材必修第二册106页第6题）下面给出的命题中，正确的个数是①一个棱柱至少有5个面②平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形③正棱锥的侧面是全等的等腰三角形④有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台=5\*GB3⑤有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥A．1 B．2 C．3 D．46.（教材必修第二册106页第10题衍生）下列命题正确的是A．所有棱长都相等的直四棱柱一定是正方体 B．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 C．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台7（多选）（2022·江西上饶·高三期末）下列命题正确的是A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体C．底面是正多边形的棱柱是正棱柱；D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面考点二、直观图8.用斜二测画法画下列图形的直观图；（1）（教材必修第二册108页例题）水平放置的正六边形．（2）（教材必修第二册112页第5题）用斜二测画法画出水平放置的一角为60°、边长为4cm的菱形的直观图．（3）（教材必修第二册112页第7题）一个几何体的三视图如图所示画出这个几何体的直观图9．（2022·上海·高三专题练习）如果一个水平放置的图形用斜二测画法画出的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______.10．（2022·全国·高三专题练习）水平放置的的斜二测直观图如图所示,已知,则中边上的中线的长度为_______.考点三、展开图11.（教材必修第二册106页第7题）如图，长方体中由下面的平面图形围成的是A．B．C．D．12．多选题（2022·全国·模拟预测）如图是一个边长为1的正方体的侧面展开图，将其还原成正方体后，下列说法中正确的是A．AB⊥CEB．C．EF与AB所成角为60°D．AB与平面CEF所成角的大小为30°13．（2022·山东聊城·）某同学劳动课上制作了一个圆锥形礼品盒，其母线长为40cm，底面半径为10cm，从底面圆周上一点A处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A点，则所用金色彩线的最短长度为___________cm.14.如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为______cm.15.（英才）如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝eq\r(2)，BB1＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AA1，C1B1的中点，则沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径为．16.（英才）如图所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm和10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，则这条绳长的最小值为cm．【高考链接】17．（2020·全国·高考真题（理））如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.18．答案：立体图形及直观图1.解析：（1）长方体是四棱柱，直四棱柱的底面不一定是长方形，故不一定是长方体，错误；（2）正确；对于（3）圆柱的每一个截面都是全等的矩形，故正确；对于（4）用一个平行于底面的平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台，故错误．2.解：（1）两个面互相平行且全等的五边形，则这两个面肯定是几何体的上、下底面，其余各面是全等的矩形，则这些矩形是侧面，符合直五棱柱的定义和结构特点，故几何体的名称：直五棱柱；（2）4；四面体；3.【答案】D对于A，棱台的各侧棱的延长线交于一点，因此有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，故A错；对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台，故B错误；对于C，棱台的侧面展开图不一定是由若干个等腰梯形组成的，故C错误；对于D，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确.4.【答案】C车轮内胎截面为圆形，故车轮内胎是由圆形绕车轮轴所在直线旋转一周得到的几何体．故选：C．5.【答案】D①三棱柱有5个面组成，所以一个棱柱至少有5个面，所以①正确；②平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，满足平行六面体的结构特征，所以②正确；③正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，满足正棱锥的定义，所以③正确；④有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台，不满足棱台的定义，所以④不正确．对于=5\*GB3⑤：有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，符合四棱锥的定义，故=5\*GB3⑤正确；故选：D6.【答案】B所有棱长相等的直四棱柱，若底面是菱形，则它不是正方体；所以A不正确；长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体，满足长方体的定义，所以B正确；有两个面平行，其他各个面都是平行四边形两个扣在一起的斜棱柱组成的多面体就不是棱柱，故C错误；有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台，不满足棱台的定义，所以D不正确．故选：B．7.【答案】BD对于A，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，A错；对于B，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，正确；对于C，底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱是正棱柱，所以C不正确；对于D，球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，正确；故选：BD.8.（1）解：如图，在正六边形ABCDEF中，以FC所在直线为x轴，以FC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设正六边形交y轴于G，H，画相应的x′，y′轴，使得∠x′O′y′＝45°（或135°），在x′轴上截取F′C′＝FC，且使O′为F′C′的中点，在y′轴上截取H′G′，且=12HG，使O′为H′分别过H′，G′作E′D′∥x′，A′B′∥x′，且E′D′＝ED，A′B′＝AB，H′为E′D′的中点，G′为A′B′的中点．连接A′F′、F′E′、D′C′、B′C′，则六边形A′B′C′D′E′F′为正六边形ABCDEF的水平放置的直观图．（2）【解答】解：建立如图所示的坐标系，在x轴上取点B（﹣23，0），D（23，0），在y轴上取点A（0，1），C（0，﹣1），依次连接AB，BC，DA，则四边形ABCD为所求．（3）根据几何体的三视图可知，该几何体由一个球体和一个圆锥构成的组合体；直观图如图所示： 9.【答案】##【详解】直观图中，梯形的下底长为，作出原图形如下图所示：由图可知，原图形为直角梯形，且该梯形的上底长为，下底长为，高为，因此，原图形的面积为10.【答案】【详解】把直观图还原成平面图形如图所示：得为直角三角形，且两条直角边的长，由勾股定理可得，故三角形AB边上的中线长为，故答案是.11.【答案】D，D折成的长方体有两组对面是黑色的，一组对面是白色的．12.【答案】BD【详解】将题中展开图还原成正方体后的图形如图所示，连接AF，BF，由正方体的性质可知，AF∥CE，AB＝BF＝AF，则∠FAB为异面直线AB与CE所成角，且∠FAB＝60°，故AB与CE不垂直，A错误；连接AE，由图可知，AE为体对角线，因此，B正确；因为EF∥BT，所以∠ABT为异面直线EF与AB所成角，且∠ABT＝45°，所以EF与AB所成角为45°，C错误；过点B作CE的垂线，交CE于点O，连接OA，因为BO⊥平面CEF，平面CEF，所以BO⊥AO，∠BAO即为AB与平面CEF所成角，，，，所以∠BAO＝30°，D正确．故选：BD．13.【答案】由圆锥侧面展开为半径为40cm，弧长为cm的扇形，所以圆心角为，而该扇形圆心角所对的弦长为最短金色彩线长度，故所用金色彩线的最短长度为cm.故答案为：14.【答案】13将侧面二次展开，得到长、宽各为12cm、5cm矩形，其对角线即为所求．15.【答案】eq\f(3\r(2),2)【解析】若将△A1B1C1沿A1B1折起，使得E，F在同一平面内，则此时EF＝eq\r(\f(7,2)＋\r(2)).若将侧面沿B1B展成平面，则此时EF＝eq\r(\f(11,2)).若将△A1B1C1沿A1C1折起使得E，F在同一平面内，则此时EF＝eq\f(3\r(2),2).经比较知沿棱柱的表面从点E到点F的最短为eq\f(3\r(2),2).16.【答案】50【解析】作出圆台的轴截面与侧面展开图，如图所示，如图1，由其轴截面中Rt△OPA与Rt△OQB相似，得eq\f(OA,OA＋AB)＝