解答题专项提分计划四川省2023届高考数学复习专题3数列理科含解析

Page12023届四川省高考数学复习专题3数列（理科）解答题30题专项提分计划1．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）已知数列的首项，且.(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求使不等式成立的最小正整数n.【答案】(1)证明见解析(2)11【分析】（1）根据递推公式变换可知数列是以为首项，公比为的等比数列；（2）根据，然后利用等差数列求和公式求解.【详解】（1）解：由题意得：根据，得：可知数列是以为首项，公比为的等比数列..（2）.

解得或，又使不等式成立的最小正整数n为11.2．（2023·四川广安·统考一模）已知为等差数列，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式运算求解；（2）先根据前n项和与通项之间的关系求得，可得为等比数列，利用等比数列的前n项和公式运算求解.【详解】（1）设数列的公差为，∵，则，即，∴，故数列的通项公式.（2）∵，当时，则；当时，则，两式相减得，则；综上所述：.又∵，故数列是以首项，公比的等比数列，∴数列的前n项和.3．（2022·四川成都·统考一模）已知数列满足.(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)若__________，求数列的前项和.（在①；②；③这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解）【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式分析运算；（2）选①：利用裂项相消法求和；选②：根据并项求和法分析运算，注意讨论项数的奇偶性；选③：利用分组求和法，结合等差、等比数列求和运算.【详解】（1）∵，则，即故数列是首项和公差都为2的等差数列，∴，即（2）选①：∵，∴.选②：∵，则有：当时，；当时，；∴.选③：∵，∴.4．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）已知数列满足：，，（）．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解.【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．（2）由（1）知，，当时，当n=1时，满足上式．所以，．5．（2022·四川达州·统考一模）已知正项等比数列前项和为，当时，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合与的关系式即可求得与，从而得解；（2）结合（1）中结论，求得的通项公式，再利用裂项相消法即可求得.【详解】（1）设正项等比数列的公比为，，由得，解得，当时，，，则，即，，.（2）由（1）得，，，，.6．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）变换得到，确定数列为等差数列，公差为，计算得到答案.（2）确定，再利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）由两式相减得，，故，当时，且，故，得（舍去），，数列为等差数列，公差为，所以.（2），，7．（2022·四川德阳·统考一模）已知等差数列的首项为1，公差d≠0，前n项和为，且为常数．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件知，据此求出d；（2）运用错位相减法求和.【详解】（1）由题意知：，即，，化简得：，；经检验，成立.（2）由（1）知：，…①，…②，①-②得：，；综上，，.8．（2023·四川内江·统考一模）数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）把递推关系式里的换成得到一个新的递推公式，两个递推相减可得到.(2)裂项相消求和，然后求和的范围.【详解】（1）当时，①②②减①得：经检验也符合综上：（2）又因为，又因为恒成立，即或所以的范围为9．（2023·四川乐山·统考一模）已知等差数列{}的前三项和为15，等比数列{}的前三项积为64，且.(1)求{}和{}的通项公式;(2)设，求数列{}的前20项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式；（2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用分组求和法，求数列的前20项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由条件可知，，得，，所以，等比数列中，，则，，所以；（2）,对数列为奇数时，，所以数列的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，对数列为偶数，，所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列的前20项和为：.10．（2023·四川绵阳·统考二模）已知等比数列的各项都为正数，，，数列的首项为，且前项和为，再从下面①②③中选择一个作为条件，判断是否存在，使得，恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．①；②，；③．【答案】若选①：不存在；若选②：存在；若选③：存在或【分析】由等比数列通项公式可求得公比，进而得到；若选①，利用与关系可推导证得为等比数列，从而求得，由此可得，结合指数函数单调性可确定数列为递增数列，由此可得结论；若选②，由等比中项定义可确定数列为等比数列，由此可求得，从而得到，结合指数函数单调性可确定数列为递减数列，由此可得结论；若选③，由等差数列定义可确定为等差数列，由此可求得，从而得到，采用作差法可求得数列的单调性，从而确定的取值.【详解】设等比数列的公比为，，，；若选条件①，当时，，则，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；，在上单调递增，数列为递增数列，没有最大值，不存在，使得恒成立；若选条件②，，，，数列为等比数列，数列的公比为，；；在上单调递减，数列为递减数列，，即存在，使得恒成立；若选条件③，，，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，，；设，则，当时，；当时，；当时，；，存在或，使得恒成立.11．（2023·四川南充·校考模拟预测）在①，②这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程问题：在各项均为整数的等差数列中，，公差为，且__________(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）分别选①，②，利用基本量代换列方程组，求出公差，即可求出通项公式；（2）利用错位相减法求解.【详解】（1）选①：设的通项公式为.因为，，所以，解得：，所以；选②：依题意可得解得故（2）由（）知，，则，所以，所以，故12．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）已知数列​的前​项和为​，且​，__________．请在​成等比数列;​，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列​的通项公式;(2)设数列​的前​项和​，求证：​．【答案】(1)任选一条件，都有​；(2)证明见解析【分析】（1）根据得到数列​是首项为​，公差为1的等差数列，然后利用等差数列的通项公式或前项和公式列方程求解即可；（2）利用错位相减法得到，即可得到，然后根据得到数列是递增数列，即可得到.【详解】（1）因为，所以​，即​，所以数列​是首项为​，公差为1的等差数列，其公差​．若选，由，得​，即，所以，解得​，所以，即数列​的通项公式为；若选，，成等比数列，由，，成等比数列，得​，则，所以​，所以；若选，因为，所以​，所以​，所以.（2）由题可知，所以，，两式相减得，所以，所以，又，所以数列是递增数列，，故.13．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知是数列的前项和，已知目，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)，.(2)，其中.【分析】对于（1），先由可得表达式，再由，其中.可得的通项公式；对于（2），由（1）可得，则，据此可得数列的前项和.【详解】（1）由题，又由，.可得，.故.则当，时，.又时，，故数列的通项公式是，.（2）由（1）可知，，则.则当为偶数时，.当为奇数时，.综上：，其中.14．（2022·四川自贡·统考一模）等比数列的各项均为正数，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，若数列为的前n项和，比较与的大小.【答案】(1)(2).【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；（2）由化简，可得到的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和后与－2比大小.【详解】（1）设数列的公比为q,由得=,所以.由条件可知q＞0,故q=.由得,所以.故数列的通项公式为.（2）－（1＋2＋＋n）=－.故...故.15．（2022·四川成都·统考一模）已知函数（其中，是自然对数的底数）.(1)当时，讨论函数在上的单调性；(2)证明.【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)证明见解析【分析】(1)利用导数求函数的单调区间；(2)利用导数证明不等式，再利用放缩法得到，根据数列的累加法证明不等式.【详解】（1）时，，，令即得，令即得，所以在上单调递增，在上单调递减（2）证明；当时，不等式左边右边，所以不等式成立.当时，在上恒成立，所以时在上的单调递减，此时，即当时，，令，则，故当时，所以综上所述【点睛】关键点点睛：本题第二问解题关键在于借助当时，，进而可得，利用放缩法以及数列的累加法即可证明.16．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）已知正项数列满足，.(1)计算,，猜想的通项公式并加以证明；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1),,,证明见解析;(2).【分析】（1）分别,，即可求得,,由此可猜想，用数学归纳法证明即可；（2）结合（1）的结论可得的表达式，分组求和即可求得答案.【详解】（1）当时，；当时，；猜想.证明如下：当时，成立；假设时，成立；那么时，,即时，，则对任意的，都有成立.（2）由题意得，.17．（2022·四川资阳·统考一模）已知数列的前项和为，满足，且．(1)求的通项公式；(2)数列满足，求的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用可得数列等差数列，再通过条件可得首项，进而可得通项公式；（2）利用错位相减法可求和.【详解】（1）由得，当时，，故，则，即，是以为公比的等比数列，由得，即故（2）则时，，两式相减得，故，又，则，符合，则则18．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知公比大于1的等比数列满足，，数列的通项公式为.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求得等比数列的公比，从而求得.（2）结合分组求和法、错位相减求和法求得.【详解】（1）设等比数列的公比为，，则，，解得或（舍去），所以.（2）若，则，所以，，所以，设，，两式相减得，所以.所以.19．（2022·四川雅安·统考模拟预测）给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______．(1)求的通项公式；(2)令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为．若，，求实数的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2).【分析】（1）选①②，利用等比中项列式求出公差即可；选③利用等差中项列式求出公差即可.（2）根据给定条件结合（1）求出，再利用错位相减法求出，将给定不等式变形，分离参数构造数列，探讨单调性即可作答.【详解】（1）选①，设递增等差数列的公差为，由，，，有，化简得．则，，所以的通项公式为．选②，设递增等差数列的公差为，由，，，有，化简得，即，解得，则，所以的通项公式为．选③，设递增等差数列的公差为，由是与的等差中项，得，即，则有，化简得，即，解得，则，所以的通项公式为．（2）由是以2为首项，2为公比的等比数列，得，由（1）知，即有，则，于是得，两式相减得：，因此，又，不等式，等价于，于是得，恒成立，令，则，则时，，即数列递增，当时，，即数列递减，当时，，则，所以实数的取值范围是．【点睛】关键点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答.20．（2022·四川雅安·统考三模）在①，②这两个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列的前n项和为，满足，__________；又知正项等差数列满足，且成等比数列．(1)求和的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）选择①②：利用可得为等比数列，即可求出通项公式，进而求出；（2）利用等比数列的求和公式求解即可证明.(1)选择①时，根据题意可得：∵，∴当时，有，两式相减得：，即．又当时，有，又∵，∴也适合，∴数列是首项、公比均为的等比数列，∴；设正项等差数列的公差为d，∵，且成等比数列∴，即，解得：或（舍）∴，故．选择②时：根据题意可得：∵∴当时，，两式相减得：，即．又当时，有，又∵，∴，而也符合上式，∴数列是首项、公比均为的等比数列，∴；设正项等差数列的公差为d，∵，且成等比数列，∴，即，解得：或（舍），∴，故．(2)由（1）可得，∴.21．（2022·四川凉山·统考三模）已知数列为等差数列，，数列为等比数列，，且满足，．(1)求，；(2)若中的各项均为正数，设数列的前n项和为，求数列的前n项和．【答案】(1)，或(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意列出方程组，求得，进而求得数列和的通项公式；（2）由（1）得，得到，求得数列的前项和，得到，结合裂项求和，即可求解.(1)解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，可得，解得，又由，所以数列的通项公式为，因为，所以当时，；当时，.(2)解：因为中的各项均为正数，由（1）得，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则数列的前项和，所以，则数列的前项和为.22．（2022·四川宜宾·统考二模）在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列的前项和为，满足___________.记数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)求证：.注：如果两个条件都选择作答，则按照第一个解答评分.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）选择①则利用退位相减法求，选择②则先求，再求（2）利用裂项相消法先求，所要证明的不等式右端可以通过放缩证明，左端利用的单调性可证.(1)选择①由有当时，，解得当时，，所以，即，两边各项同除以得（），当时经检验当时，也成立，故选择②由所以或，所以舍去当时，，当时，，当时，符合上式，(2)选择①由（1）知，已知另一方面，是关于的增函数，综上有：选择②由（1）知另一方面，是关于的增函数，综上有：.23．（2022·四川成都·石室中学校考二模）设，有三个条件：①是2与的等差中项；②，；③．在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答．（如果选择多个条件分别作答，那么按第一个解答计分）若数列的前n项和为，且______．(1)求数列的通项公式；(2)若是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）选条件①时，利用数列的递推关系求出数列的通项公式；选条件②时，利用数列的递推关系求出数列的通项公式；选条件③时，利用与的关系可求出答案；（2）首先可得，然后利用错位相减法算出答案即可．【详解】（1）选条件①时，由于是2与的等差中项；所以，①当时，解得；当时，②，①②得：，整理得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；所以（首项符合通项），所以；选条件②时，由于，；所以：，①，当时，，②，①②得：，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；故（首项符合通项），所以；选条件③时，因为，所以当时，当时，因为时也满足，所以（2）若是以2为首项，4为公差的等差数列，所以，所以，故①，②，①②得：；整理得．24．（2022·四川泸州·统考二模）设正项数列的前n项和为，，且满足___________.给出下列三个条件：①，；②；③.请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.(1)求数列的通项公式；(2)若，是数列的前n项和，求证：.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）选①，证得数列等比数列，求出公比，再根据等比数列得通项公式即可的解；选②，根据求得，再根据数列通项与前的和的关系即可的解；选③，根据求得，再根据数列通项与前的和的关系即可的解；（2）利用裂项相消法求出，即可得解.(1)解：选①，因为，所以，所以数列等比数列，设数列得公比为由，得或（舍去），所以；选②，因为，当时，，所以，所以，即，当时，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；选③，因为，当时，，所以，即，当时，，所以，即，当时，上式也成立，所以；(2)证明：由（1）得，所以，所以.25．（2022·四川·校联考模拟预测）给出以下条件：①成等比数列；②成等比数列；③.从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知递增等差数列的前n项和为，且，______________.(1)求数列的通项公式；(2)若是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项的和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】(1)由已知条件可知，求等差数列的通项公式，就是求公差；列方程求解的过程中注意是递增数列，即即可；（2）等差乘等比的数列求和就是要用错位相减法.(1)设递增等差数列的公差为，若选条件①，由，有，化简得.解得或（舍去）所以数列的通项公式为.若选条件②，由，有，化简得.解得或（舍去）所以数列的通项公式为.若选择条件③，由，有，两式相减得：，因为，所以，故，所以，即，所以数列的通项公式为；(2)由是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，由（1）知，所以，所以，两边同乘以2得：，以上两式相减得：，即，所以，故答案为：2n，.26．（2022·四川泸州·四川省泸县第二中学校考模拟预测）已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列满足.(1)求数列、的通项公式；(2)令，证明：.【答案】(1)，.(2)证明见解析.【分析】（1）利用等差数列基本量代换求出，利用前n项和的定义求出；（2）用错位相减法求和后即可证明.(1)设等差数列的公差为d.因为，，所以，解得：，所以.因为数列满足，所以n=1时，有，解得：.当时，，因为，所以.经检验，对n=1也成立，所以.(2)由（1）知，.记是数列的前项和.则①①式同乘以得：②①-②得：所以因为，所以，所以.即证.27．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1