向量法求空间角(有答案)

姓名年级--性^--学~校~学科教师上课日期上课时间1课题17向量法求空间角角的^J分类向量求法范两异面与4所21直线11不成的角设11与12b，则Cos的方向向量θ= 引为a,(0，π2]θ一直线，α所成1与平面油勺角θ设1的方向向量为〃，平面ɑ的法向量为n,则Sinθ=π[0，2] K二面角α一l一β的平面角设平面α,β的法向量为n1,n2,则UIcosθl=[0，π]彳.θ类型一异面直线例1、如图，在三棱轴上，D是线段AB【自主解答】由-当θ=3时，在.∙.cos〈AC,V_In1∙n21一lnJln2|所成的角名锥V—ABC中，顶点C在空间直:的中点，且AC=BC=2,∠VDC=AC,==BC=2,D是AB的中点，所Rt△VCD中，CD=2,・，・V(0,0,→→>>∖_ACVD_-2_ 2 .D〉=一一=2×22-4∙••角坐标系的二θ.当θ=Γ以C(0,0,0→6),∙AC异面直线AX原点处，顶点A，B，V分别在l轴、y轴、Zπ3时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值),A(2,0,0),B(0,2,0),D(1,1,0)→=(-2,0,0),VD=(1,1,-6), 2C与VD所成角的余弦值为4.勺夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过作图和论证过程只需对相应向量运算即可.围是［0,π］,故应有CoSθ=∣cοsα|,求解时产,、一一^^.、 我 c,.几何法求异面直程相当复杂；用向;:•由于两异面直线要特别注意.IACIIVDI线的夹角时，需要通过作平行线将置法求异面直线的夹角，可以避免』夹角θ的范围是(0，；］，而两向量:・异面直线(力杂的几何夹角α的范1-变式1、在长方体/LC所成角的余弦值【解】以D立空间直角坐标系,IBCD—A1B1C1D1中，已知DA=DCL为坐标原点，分别以DA,DC,DD如图，则A1(4,0,3),B(4,4,0),B1(=4，DD1;所在直线4,4,3),C(0二3，求异面直线A1B与为％轴、y轴、z轴，建,4,0),一气7A/B→→ →→→→得A1B=(0,4AB∙BC 9—3),B1C=(—4,0,-3).设A1B与B1C的夹角为仇则CoSθ=~~→~→~=25IA1BIIB1CI 9 9故A1B与B1C的夹角的余弦值为25,即异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为天.类型二求线面角例2、三棱锥P—ABC中，PA，平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=2AB,N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别乙为PB,BC的中点.(1)证明：CM⊥SN； (2)求SN与平面CMN所成角的大小.【自主解答】设PA=1,以A为原点，射线AB,AC,AP分别为Xy,z轴正向建立空间直角坐标系(如图).则P(0,0,1),C(0,1,0)B(2,0,0)又AN=,M、S分别为PB、BC的中点，CM=(10,0)M(1,0,2),S(1,12,0),2)，SN=(—20),.∙.CM∙SN=(1,—1,2>(一2—2,0)=0,NC=(-1,1,0),Z)为平面CMN的一个法向量，∙∙.CM∙a=0,NC∙a=0.x—y+2Z=0—2x+y=0.X=2y,

Z=—2y.取y=1,则得a=(2,1,—2).→→→<则,→,,,,,—1,,→1→→1,1211,,→→^殳a=(x,y,,T—2→因为CoSa,SN_ →宰.,.〈a,SN〉=4兀所以SN与平面CMN所成角为4n一4=，→→L题中直线的方向向量SN与平面的法向量a的夹角并不是所求线面角仇它们的关系Sinθ=Icos〈SN,a〉I.2.若直线l与平面”的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下：变式、正方体ABCD—A1B1C1DI中，E是C1C的中点，求BE与平面BIBDDI所成角的余弦值.→【解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,则B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1),BD=(一2,→ →—2,0),BB1=(0,0,2),BE=(-2,0,1).→

n∙BE-JlAC=(—2,2,0)即平面B1BDDI的一个法向量，设n=(-1,1,0). cos〈n,BE〉=—→=V.InIIBEI→ I-15设BE与平面BIBD所成角为θ,CoSθ=sm〈n,BE〉=5,即BE与平面B1BD所成角的余弦值为“15.类型三求二面角例3、若正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC,且AC=BC,求二面角A—EB—C的大小.【自主解答】 :四边形ACDE是正方形，・•・EA⊥AC.又「平面ACDE⊥平面ABC,ΛEA⊥平面ABC.以点A为坐标原点，以过A点平行于BC的直线为％轴，分别以直线AC,AE为y轴、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设EA=AC=BC=2,则A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2).丁M是正方形ACDE的对角线的交点，・•・M(0,1,1).设平面EAB的法向量为n=(X,y,Z),则n⊥AE且n⊥AB，从而有n∙AE=0且n∙AB=0.XVAE=(0,0,2),AB=(2,2,0),(x,y,z)∙(0,0,2)=0,

(x,y,z)∙(2,2,0)=0,[z=0,即\χ+y=0.取y=—1,则x=1,则n=(1,-1,0).→ →→ →→→→→→又〈AM为平面EBC的一个法向量，且AM=(0,1,1),.∙.cos→/ 、 n∙AM 1〈n,AM〉=-→=—2«InllAMI设二面角A—EB—C的平面角为仇则CoSθ=2，即θ=60°.故二面角A一EB一C为60°.用向量法求二面角的大小，可以避免作出二面角的平面角这一难点，转化为计算两半平面法向量的夹角问题，具体求解步骤如下：(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定二面角的大小.B变式、已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长均为a,D是侧棱CC1的中点，求平面ABID与平面ABC所成二面角(锐角)的大小.【解】以B为原点，过点B与BC垂直的直线为％轴，BC所在的直线为y轴，BB1所在直线为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(0,a,0),B1(0,0,a),3a 3C1(0,a,a),a(—2a,20),A1(—2a,,a),D(0,a,Q)∙→行故AB1=(^2-a→B1D=(0a,—2)∙设平面ABID的法向量为n=(X,yZ),→则n∙AB1=0,→n∙B1D=0,2axa.—2y十az=0,a_八ay2z0.得X=—''■,；3y,Z=2y. 取y=1,则n=(一\：31,2)∙→∙.∙平面ABC的法向量是441=(0,0,a),・'.二面角θ的余弦值为,,a),,,<即→cosθ=F=牛.■八∏

∙∙θ=4.π.∙.平面AB1D与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为4.IAAJlnl对所求角与向量夹角的关系不理解致误例4、正方体ABCD—A1B1C1D1中，求二面角A—BD1—C的大小.【正解】以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,→则D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1). 由题意知DA1=(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，→→→ → →DC1=(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量. 所以CoS〈DA1,DC1〉=D(C1.D→1=1,IDC1l∙lDA11→ →所以〈DA1,DC1〉=60°. 所以二面角A—BD1—C的大小为120°.练习：.若异面直线11的方向向量与12的方向向量的夹角为150°,则11与12所成的角为()A.30° B.150° C.30°或150° D.以上均不对【解析】11与12所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为(0,∏].应选A.3….已知向量m,n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若CoS〈m,n〉=一2，则l与α所成的角为()A.30°B.60°C.150°D.120°- 、，解析】设l与α所成的角为a则Smθ=Icos〈m,n〉I=2, ∙∙θ=60°,应选B..已知平面ɑ的法向量比=(1,0,—1),平面β的法向量V=(0,—1,1),则平面α与β所成的二面角的大小为—11【解析】CoS〈U,v〉=√2√2=2,.•.〈U,v〉=3n,而所成的二面角可锐可钝，故也可以是今.如图3—2—22直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°,AC=BC=1,CC1=2,求直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值.【解】以CA,CB,CC1所在直线分别为％轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系，则B(0,1,0),