71935计算方法习题答案

好用数值计算方法习题参考答案第一章引论1.1因为dxkxXk-x；<£（xk）,（攵=1,2,…，几）,所以Q）<±k=lQ）<±k=l£（4）1.2由于矩形面积S=/xd,利用全微分近似有AS^A/xtZ+ZxAtZo而AZ=0.2,AJ=O.lo所以，面积的确定误差限和相对误差限分别可以估计为|E（5）|=|A5|«|A/x^+/xA^|=0.2x80+0.1x110=27।AS27E（s）\=——x=0.0031=0.31%r1 S 110x80由a\-4,取〃=4时,1.3由于相对误差满足：忸(x)|(—匚由a\-4,取〃=4时,有匕0-3=0125x10-3<10-3=0]%8(J介于。和x之间)1.4由Taylor中值定理. 1 3 1 (J介于。和x之间)smx=X XH——XH——XCOSC,3! 5! 7!而s=x--+-x5,所以截断误差限为3!5!S-smx-x7S-smx-x7cos^7!<^—x7«1.9841/xlO-450401.61.65七个零件的标定值XIX2X3X4X5X6X70.10.30.10.11.5160.7488不同等级的零件参数取值范围如下:A等零件相对误差不超过1%下限上限下限上限x10.09900.1010X51.48501.5150X20.29700.3030X615.840016.1600X30.09900.1010X70.74130.7562X40.09900.1010故，取〃=[吸町则能保证复合梯形公式求定积分的误差不超过，。5.6由复合梯形公式误差故，取〃=[吸町则能保证复合梯形公式求定积分的误差不超过，。5.6由复合梯形公式误差I—T〃=/''（7），12/?-IF_(b-a)21~ 4x12/设其中则有/—，。4（/一心〃），所以/《（4%-7；）=耳+；（%-，）9T4=—[x,sin%,+(x2_X1)(sinx2-sinXj)+(x3-x2)(sinx3-sinx2)+TC+(5一W)(1-sinx3)]令S（X],令S（X],无2，%3）=/-4，则由列出方程组dS

dxx0,越=0,0=0dx2sin%]+X]cos%(一(sin%—sinxJTw—xJcosX]=0(sinx2-sina：|)+(x2-x1)cosx2.(sin/-sinx2)-(A：3-x2)cosx2=0ji(sin/TinQ+Gf3-(-畔)-丁—=0第六章常微分方程数值解A[1%'=为_4（必3/3一必）O.1<〔为'=-%2令y=/（x）,则由/（x）=exp（—，）「exp（产）力两端对自变量求导数可得ff(x)=-2xe*(一工2)[e)qp(Z2)dt+e)q)(-x2)exp(x2)所以，有常微分方程初值问题y所以，有常微分方程初值问题y'=l-2xyy(o)=opx2 26.3令y=/(x),则由/(x)=[e-rdt,两端对自变量求导数可得f\x)=e'xJO所以，有y，=e*,y(0)二。取/2=0.1,令Xn=n/2,(n=0,1,2,…，30)。由四阶龙格-库塔公式hy〃+i= +工伙1+2k2+2k3+A4]6而由于这一常微分方程的特殊性，有_2 -(x„+-)2_ 2k[=e]〃，3=&=e2,k4=e'3所以h 2 -(X..+—)- 2yn+i=yn+—[e~x,1+4e 2+e~x,,+l],(n=0,1,・・•,30)6算法如下：第一步：置/z=0.l,n-0,p=0,q-0.5/z,zi=12 2其次步：置p—p+/z,计算z2=e~q~,z3=e~p~；第三步：yw+1=yn++4z2+z3]/6；第四步：推断，若〃<30,则置n—〃+1,q~q+h,zi<—Z3转其次步；否则，输出切(〃=12…,30),结束。h6・4(1)/+]=先+/以。〃)+4/。〃+〃/2)+/区用)],(〃=0,1,2,…)oh“、>用=% (%)+2/(%+。.5妙(%))+2/(%+0.5什(%+0.5/(%)))12； O+f(yn+hf{yn+0.5/(%+0.5/(先))))]5用二阶差商代替二阶导数，由常微分方程得差分方程%—2.+.1_/,(〃=1,2,3,4)整理，并留意yo=O,y5=1，可得

一（2+力"）%+为二人之王

%-（2+/）为+>3=心大2

y2-（2+h2）y3+y4=h2x3

y3-（2+/r）y4=h2x4-1

tk=x^+kh,（攵=0,1,…，几）用差商代替导数，即y'COp'』（/,<%<tk+｝）则旋转曲面面积his=Ry^+y2dx=M+y'2dx"£%JL+（”+1-”）2丽 k=0" k=0用计算机求下列多元函数微小值的数值解n-\ F（y0，yi，…，丫〃）=»^^/+（”+i一为）2，（y（）和孙为已知）k=0第七章非线性方程求根方法第七章非线性方程求根方法7.an<x*<bn，所以7.—X*）W—[Cl

2—X*）W—[Cl

2-x*+bH-x*]=>[（£-〃〃）+（4一£）]=2〃—,2〃b-a<-2向7.37.3由二分法收敛定理知由于〃由于〃—4=1,所以，令 <2'用b-a<-2〃m1 2—Xi。一,解得iooo<2〃，取〃=10,便有2*/xn-x<-Lr=4?<-xl0-3*/xn-x<4(1)在二分法的迭代过程中,由于他〃，2+/，5=1,2,•an+\和瓦+i的选取有两种可能，即[a〃+i,2+1]=m〃，(。〃+么)/2]或者[an+i,bn+i]=[(an+a)/2,bn・)・)其中,]an与2+1(n=1,2,…)成立。(2)由二分法过程知,可能产生两种状况a〃=an-x或者4依据两种状况，有a〃b〃+c1nMl=an_,bn+anbn_}或者见储+a〃_\b「\=anbn_}+aH_}bn=an_xbn+anbfl_]] c7.5(1)x〃+i=7(x〃+—),(〃=0,1,2,・・・)2 %(2)对随意x()>0,有玉=，(公+2r)=；(向一)2+Vc>4c设对随意正整数匕有％)=；(向一)2+Vc>4cXk由数学归纳法，知对随意自然数左，都有％之五成立。] 1 x2由于勾力五，所以。<xj,故z+]=一(z+£)<—(4=z。2 1卜2 Xk因为数列｛x〃｝单调削减且有下界，所以数列是收敛的。7.6(1)由于X*是开普勒方程的解，所以满足方程*♦*x=qsmx+a而迭代公式为x&+]=4sin4+。，所以有**•**大卜+1-x=qsmxk-smx=qcosg{xk-x)<qxk-x(2)由上式，得<qxk_}-x<qxk_2-x<•••<(7x()-x所以，lim除-x*<limqk玉)—x*=0或limxk=x*k—>8I Ar—>00 k—g7(1)7(〃)=，/+4(1+2/〃)(〃2+4)(〃+2-=36/或/+4〃3-28〃2+i6〃+i6=0。一元四次方程的根为xi=-7.8126,x2=2.9841,x3=1.3404,必=-0.5120。由于正根为及=2.9841,抬=1.3404,所以可以认为梯子放置点应当是在距温室1.34米到2.98米的范围内。第八章解线性方程组的迭代法TOC\o"1-5"\h\z1(1)X|=3,X=2,AX,=15,AX=10i 00 1 co(2)ML=7,网8=6。11^=15<7x3=H114,即网CMAX\[=10<6x2=A||X||,即||AX||<AX

lloo 00IIllcoIIlloo 00 000-空8.2雅可比迭代法的迭代矩阵为及= ""一&L0Cl,？由矩阵的特征多项式AI-Ba\2

a\\由迭代法收敛的充分必要条件知，当("1)X\8.3V(Al)—[^i-anx^k}]aw1AI-Ba\2

a\\由迭代法收敛的充分必要条件知，当("1)X\8.3V(Al)—[^i-anx^k}]aw1[卜_nr(%+D1。21匹J〃22赛德尔迭代法的迭代矩阵 Ba2\^^22412a21

aj।^3^22<1成立时，雅可比迭代法是收敛的。a\2

a\\

2a2i।228.4已知平面上三个点坐标数据确定抛物线方程y=g+1X+&，的算法第一步:输入数据:X],M，12,丁2，%3，%；1xx其次步：建立矩阵：X=1%1X32x22*3以及列向量丫=为第三步：求解方程组XA=y中未知列向量A=[a0%%],。第四步：输出数据结果：〃0,41,〃2。结束。8.5(1)依据插值条件，可得两个线性方程组如下:%+b}x]+c}y}=0Q]+b]x2+c]y2=1a{+b[x3+Cjy3=0a2+b2x]+c2y}=0a2+b2x2+c2y2=0a2+b2x3+c2y3=1(2)方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式不为零。即1x1M1x2乃w0x3%.6设球面方程为：x2+y2+z2-ax-by-cz-d=O9则将所给的球面上四个点坐标代入并整理可得线性方程组如下：求解这一方程组，得。=1,b=0，c=0,d-2故，球面方程为：x'+y'+z'—x—2=0配方，可得简洁形式：(x—0.5)2+j/+z2=2.25所以，球心坐标为：(0.5,0,0)；球半径为：r=1.5B等零件相对误差不超过5%下限上限下限上限XI0.09500.1050X51.42501.5750X20.28500.3150X615.200016.8000X30.09500.1050X70.71130.7862X40.09500.1050C等零件相对误差不超过10%下限上限下限上限XI0.09000.1100X51.35001.6500X20.27000.3300X614.400017.6000X30.09000.1100X70.67390.8236X40.09000.1100.7算法如下：⑴.将100个小数按由小到大排序.将排序后的100个小数依次相加.将100个小数相加结果与KF相加.输出计算结果，结束。8一个八位二进制数为(10111101)2(1)用秦九韶算法将其转化为10进制数只需六次乘法c=(((((0+0)X2+1)x2+1)x2+1)x2+1)x2+0)x24-1=189(2)将任一个二进制数(bib2b3b4b5b6b7b8)2转化为十进制数的算法框图如下:其次章解线性方程组的干脆法2,1X]=1X]=2X]=3o2,1X]=1X]=2X]=3o77121二1，为机31=2,根32=-2。消元过程所得增广矩阵-3-7-212.3.996X1+5・5625工2+4x3=7.41782.2.0028/+2.002x3=0.4037

乙J0.3705x3=0.35162.Li--^21一m31一根41一m32一根42则,2.Li--^21一m31一根41一m32一根42则,由矩阵乘法得L3L2LiA=U所以明显,机21m3l机41LJ加32 1根42加21加21加31加41=U2.5当2.5当n=2时,由于间＞q，网，明显，］阕=结2—42G工0。假设满足条件的件的"-1阶三对角矩阵行列式不为零。现考虑〃阶三对角矩阵的情形。A"b\a20bA"b\a20b2c2an%

bn依据行列式性质，将第，2列乘-幺加到第(d1)列，然后按第〃行绽开行列式，得b=bn=bna2b2c2bgi)--c

n—\jn—\

bbgi)--c

n—\jn—\

b〃anbn-\由于右边行列式是小i阶三对角矩阵行列式，现在只须证明小1阶三对角矩阵的元素满足证明如下题目所给条件，则由数学归纳法可得n阶三对角矩阵行列式不为零。证明如下<1，%由于2>〃〃，bn<1，%所以，〃-1阶三对角矩阵的元素满足题目所给条件(主对角占优)。第三章插值方法3.1整理已有数据构造函数表X13161f(x)793861880令〃二30,由拉格朗日插值基函数求导数，得2%-(%)+x2)/：(x)=2%-(%)+x2)/：(x)=lx-(x0+x2)h11‘2(%)=2x-(x0+%j)2h2代入二次插值函数一x*x,(0+/))'。-2(0+X。)/+区+与))’2=57.6327所以，从5月1日到6月30日这些天中，可以认为6月27日这一天日照时间最长。3.2构造函数表猪肉产量X2827.2827.02猪肉价格Y6.87.097.19假如1999年猪肉产量为27.5万吨，则由二次拉格朗日插值函数L2(27.5)=Z0(27.5)j0+/1(27.5)y1+/2(27.5)y2=7.0034推想1999年猪肉价格为：7.00(元)。3确定函数如下：0<x<100x>100由于y(100)=8,所以一个新手须要织100匹布以后才能成为一名技术娴熟的纺织女工。.4(1)取犬幻=1,则/(叫幻=0但>0)。以人犬)为被插值函数，它的n次拉格朗日插值函数为Ln(X)=lo(X)fiXQ)+介(%)加)++ln(X)fiXn)=4)(%)+1\(X)++ ln(x)由插值误差余项公式，知插值误差为零。所以Ln(X)=/(%)=1即：/()(%)+/i(x)++ /,?(%)=!o2) (k=T,2,……，n),则/⑹(x)=0(n>0)。以1X)为被插值函数，它的n次拉格朗日插值函数为Ln(X)=—X0)+ ++-(%)-=Zo(x)xok+Zl(x)xik+ + Z/7(X)Xnk由插值误差余项公式，知插值误差为零。所以Ln(x)-fix)- (k=l,2, , n)即：Zo(x)xok+11(X)X1k+ +A?(x)xnk=xz：O2 2 2 2 2 23.51(X2一%)%一(%—%)X+(X]一%)%x〜3.52(々―X|)%一。2一天))H+(玉一玉))，26设/(x,y)是被插值函数，z(x,y)=ix+Z?y+c为插值函数。(1)由插值条件z(xi,yi)=ui,z(i2,axx+by](1)由插值条件z(xi,yi)=ui,z(i2,axx+by]+c=u]<ax2+by2+c=u2ax3+by3+c=u3丁2)二如Z(X3,x2工3(2)二元线性插值函数存在唯一的条件为x2y3)=U3o得y%为知，要求三个插值结点所形成的三角形面积不为零。即三点不共线。（3）设z（x,y）=/]（x,y）%+，2（x,y）〃2+，3（X，了）〃3，三个线性插值基函数为/,(x,y)=axx+bxy+cx,/2(x,y)=a2x+b2y+c2,Z3(x,y)=a3x+b3y+c3它们应满足的插值条件见下表则由插值条件列出线性方程组qX]+b则由插值条件列出线性方程组qX]+b}y}+cl=1<a{x2+b1y2+Cj=0,axxy+4%+cx-0分别求解三个线性方程组可得a2x[+b2y}+c2=0a2x2+b2y2+q=1，a2x3+b2y3+c2=0a3xl+&必+c3=0+仇乃+Q=0a3x3+b3y3+c3=1人（羽y）=%2X3匹人（羽y）=%2X3匹x2x32ay)=%3王x2x31，，3(x,y)=11玉X?X111i11(x,y)⑶，yi)S,yi)（孙丁3）l&y)i00128y)0i013(x,y)0013.7(1)11110a-%）

（々-/）

（*3—%11110a-%）

（々-/）

（*3—%）0

0（々7（））。2一七）

（七一%）。3―玉）000(x3-x0)(x3-X])(x3-x2)/（/）了（七）了（%2）/区）(2)1000010000100001fMflx^X1]了[%0，玉,%]f[尤0，/9%,九3】所以,&=/(%),ax所以,&=/(%),ax=/[x0,Xj],a?=/[x09x19x2],a3=/[x0,x19x2,x3]o第四章数据拟合方法1超定方程组的矩阵形式为23123144-5x2k2113614将方程两端同乘以系数矩阵的转置矩阵，可得正规方程组303349_303349_xy_-9369SQ)SQ)=VqZh—at时间t00.91.93.03.95.0距离s010305080110解之，得x=2.9774, 1.2259。4.2设物体运动的初速度和加速度分别为W和Q,初始时刻距离为0,则距离函数为2用后5个点的数据作曲线拟合t0.91.93.03.95.0S10305080110可得，vo=10.6576,a=4.62693令z=lny,则z=lnA+Kx。处理数据如下X1234Z=1"4.09433.40122.99572.7081由最小二乘法作线性拟合得，InA=4.4409,8=-0.4564。所以4=84.8528。故，所求经难公式为y=84.25e,4564鼠第五章数值积分方法1椭圆周长公式为：£=4。j -e?cos?/dt由于所以被积函数2/(0=y/l-e2cos21六1一，62cos2,积分，得积分，得21 21 2兀、c/e、~e—]=2^z(l-—)

2 4 4“’(沁T4r7r/2/1 l2 2\ia¥兀L,4qJ(1—ccost)dt—4a[5.2(1)令耳(x)=[/⑺力，则耳⑷=0,F；(x)=/(x),F^(x)=f\x)利用泰勒中值定理2Fx(b)=Fx(«)+(b-a)F}\a)+所以，有、b (b—a)?pb(2)令F2(x)=[则BS)=O，入'(x)=—/(x),B''(x)=—/'(x)Jx利用泰勒中值定理2B⑷=尸23)+(a—b)「2，3)+如-；)"")

乙所