同济大学2011-2012学年高等数学(B)下期末考试试卷

仅供学习参考仅供学习参考本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的根底知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。课程名称：?高等数学?一、单项选择题〔共15分，每题3分〕.设函数f(x,y)在P(xo,yo)的两个偏导fx(xo,yo)，fy(xo,y0)都存在，那么

A.f(x,y)在P连续 B.f(x,y)在P可微C. limf(x,y)及limf(x,y)都存在D.lim f(x,y)存在00xfx0 yfy0 (x,yfx0,y0).假设z=yinx，那么dz等于〔 〕.B.ylnxlnyylnxlnB.ylnxlnyA. + xyylnylnxlnyyinxlnydx+ dyxylnxlny ylnxlnxdx+dyxy.设Q是圆柱面x2+y2=2x及平面z=0,z=1所围成的区域，那么JJJf(x,y,z)dxdydz=( 〕.AJ*2AJ*2d0J28sodrJ1f(rcos0,rsin0,z)dz0 0 0C.J*2d0J2cos0rdrJ1f(rcos0,rsin0,zz)dz一兀c0 0B.J*2d0J2cos0rdrJ1f(rcos0,rsin0,z)dz00 0D.J*d0J2cosxrdrJ1f(rcos0,rsin0,z)dz00 0.4.假设£a(x-1)n在x=—1处收敛，那么此级数在x=2处〔〕.nn=1A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不能确定fx-y+z=2.曲线| 在点[1,1,2〕处的一个切线方向向量为〔 〕.[z=x2+y2A.〔-1,3,4〕B.〔3,-1,4〕C.〔-1,0,3〕 D. 〔3,0,-1〕二、填空题〔共15分,每题3分〕.设x+2y-2xyz=0，那么z'(1,1)= .交换I=JedxJlnxf(x,y)dy的积分次序后，I=.10.设u=2xy-z2，那么u在点M(2,-1,1)处的梯度为.Exn，那么xe-x= .n!n=05.函数z=x3+y3-3x2-3y2的极小值点是.三、解答题〔共54分，每题6--7分〕y d.zdz.〔本小题总分值6分）设z=yarctan-,求―,—.x dx0y.〔本小题总分值6分）求椭球面2x2+3y2+z2=9的平行于平面2x-3y+2z+1=0的切平面方程，并求切点处的法线方程.〜一、 二1二s/T二.〔本小题总分值7分）求函数z=x2+y2在点（1,2）处沿向量l=-i+为-j方向的方向导数。.〔本小题总分值7分）将f（x）=1展开成x-3的幂级数，并求收敛域。x.〔本小题总分值7分）求由方程2x2+2y2+z2+8yz-z+8=0所确定的隐函数z=z（x,y）的极值。6．〔本小题总分值7分〕计算二重积分JJ(x26．〔本小题总分值7分〕计算二重积分JJ(x2+y2)do,D由曲线x=-《1-y2,y=—1,y=1及x=—2围成.D7.〔本小题总分值7分〕利用格林公式计算Jxy2dy—x2ydx，其中L是圆周x2+y2=a2〔按逆时针方向〕.L8.〔本小题总分值7分〕卦限内的区域.计算JJJxydxdydzQ其中Q是由柱面x2+y2=1及平面z=1,x=0,y=0所围成且在第四、综合题〔共16分，每题8分〕1．〔本小题总分值8分〕1．〔本小题总分值8分〕设级数£u,£Vnn=1 n=1都收敛，证明级数£(un=1+V)2收敛。ndf cdf c且旬=2x，

d.x2．〔本小题总分值8分〕设函数f(x,y)在2．〔本小题总分值8分〕证明曲线积分J2xydx+f(x,y)dy与路径无关.假设对任意的才恒有L

J(,,1)2xydx+f(x,y)dy=J(0)2xydx+f(x,y)dy，求f(x,y)的表达式.(0,0) (0,0)参考答案及评分标准单项选择题〔共15分，每题3分〕：1.C 2D3C4B5A填空题〔共15分，每题3分〕1.-15.(2,2)2.I=J1dyJef(x,y)dx3,-2~i+47-2k4£(Dnxn+10 ey n=0 n!1.-15.(2,2)解答题〔共54分，每题6--7分〕.解：dzdx里=arctan2+y2x2+.解：dzdx里=arctan2+y2x2+y2

xy(3分)XX2+y2(6分)..解：记切点(X,y,z)002x那么切平面的法向量为几=2(2%,3y,z)满足：十0 00 23yz-==才，切点为：(1,-1,2)或-3 2(-1,1,-2)(3分)，切平面：2x-3y+2z=9or-9(4分)，法线方程分别为:2 -3 2或者((6分)3.解：N(1,2)=(2,4)(3分3.解：N(1,2)=(2,4)(3分),14.解：f(x)=3+(7-3)S=1+2<3dl1-n-,(2分)x-3-I-)(7分)因为£(-1)nxn=占n=011xe(-1,1)，所以不・ 丁31+(殍)=£(-1)n1.(二3 3n=0)n=£(-1)n(—)n+1(x-3)n,其中n=0 3xx-3-1<—<1,即0<x<6.(5分)当x=0时，级数为£3发散；当x当x=0时，级数为£3发散；当x=6时，级数为£(-1)n-3发散，故(7分)n=0n=01=£(-1)n(1)"+1(x-3)n,x£(0,6),x3n=0ez4X5.解：由＜ex1-2z-8ydz=4(y+2z)dy1-2z-8y=0,得至1」X=0与y+2z=0,(2分)=08再代入8再代入2x2+2y2+z2+8yz-z+8=0，得至U7z2+z—8=0即z=1,~7。由此可知隐函数z=z(x,y)的驻点为(0,-2)与(0,176)o(4分),az 4 d2z由_ ，-T~—_0&2 1-2z-8y axdy在(0,-2)点，z:1,因此&z 4dy2,az 4 d2z由_ ，-T~—_0&2 1-2z-8y axdy在(0,-2)点，z:1,因此&z 4dy21-2z—8yd2z 4—_—>0，d.x215可知在驻点(0,-2)与(0,16)有H>0。(5分)所以(0,-2)为极小值点，极小值为z=1；(6分)16 8在(0,)点，z―——，因此7 7d2zd.x24- 〈15― -16、 80，所以(0,y)为极大值点，极大值为z=-7(7分)-「'1—y2<x<0"y一<，那么D=DdD.〔2分〕故-1<y<1 1 2+y2)do=JJ(x2+y2)do-JJ(x2+y2)do (4分)D D D_J1dyJ0(x2+y2)dx-J:d0J1r3dr_——— 〔7分〕—1 —2 n0 3 4.解：L所围区域D： x2+y2<；2,由格林公式，可得J肛LJJ(°(“2)-0(x2y))dxdy=JJ(x2+y2)dxdy=J2nd0Jar2-rdr_n-a4.(7分)ax ay 0 0 2D D.解：如图，选取柱面坐标系计算方便，此时0<z<1,Q:[0<0<-20<r<1,所以JJJxydxdydz_J1dzJ:d0J00Q=J:Ssin20d0J1r3dr=(-22 01rcos0-rsin0-rdr0(4分)cos20

4(7分)四、综合题〔共16分，每题8分〕.证明:因为limu_0,limv_0，〔2分〕z1O1y因此£(u+v)2收敛。〔8分〕nnn_1故存在N当n>N时，(u+v)2_u2+v2+2uv<3unn nn nn n.证明:0(2xy)且一--_2x，故曲线积分J2xydx+f(x,y)dy与路径无关.〔4分〕ay LJ(t」)(0,0)2xydx+f(x,y)dy_J'0dx+J1[12+g(y)]dy_12+J1g(y)dy,〔5分〕J(1,t)2xy