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线性代数矩阵的特征值与特征向量第六章高等学校教材系列矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是理论和应用中很重要的概念。工程技术中的一些问题（如振动问题和稳定性问题）常可归结为求一个矩阵的特征值与特征向量的问题。可直接应用在微分方程求解等数学问题中的矩阵对角化的方法，也和矩阵的特征值理论密切相关。01特征值和特征向量矩阵的特征值与特征向量工程技术中的振动问题和稳定性问题，往往归结为如下的数学问题：对于n阶矩阵A,求数入和非零向量X,使关系式Ax=AX成立，这就是矩阵的特征值与特征向量的间题。矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量02相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵的定义及性质设A、B是n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=B则称A与B相似(similar),B称为A的相似矩阵(similarmatrix).相似矩阵有如下性质：(1)若n阶方阵A与B相似，则B与A也相似．(2)若n阶方阵A与B相似，则detA=detB.(3)若n阶方阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值．(4)若n阶方阵A与B相似，则Am与Bm相似，其中m是正整数．1相似矩阵与矩阵对角化矩阵对角化2相似矩阵与矩阵对角化矩阵对角化2相似矩阵与矩阵对角化矩阵对角化称与矩对角阵角：相似的矩阵为可对角化矩阵。若n阶方阵A有n个不同的特征值，则可知，A一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A必可对角化。当n阶方阵A的特征方程有重根时，A未必有n个线性无关的特征向量，从而A未必可对角化，请看下面的例子．一般情形下，可知，如果n阶方阵A的每个特征值九，其作为特征方程的根的重数与方程组（A－I)x=0的基础解系中向量的个数，那么A可以对角化，否则A不能对角化．2相似矩阵与矩阵对角化矩阵对角化2相似矩阵与矩阵对角化矩阵对角化203实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化若n阶方阵A满足条件AT=A则称A为对称矩阵(symmetricalmatrix)．对称矩阵A的元素满足对称矩阵的特征值是实数，从而其特征向量必为实向量。对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交．(1)由A的特征方程det(A－入I)=0求出A的所有特征值4，(2)对每个特征值4(I=1,2,,m)，解方程组(A-BI)x=O得到它的一个基础解系(3)由定理可知，这是A的n个两两正交的单位特征向量．以这n个向量为列构成矩阵.实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化04定理的证明定理的证明定理的证明1定理的证明定理的证明1定理的证明定理的证明1定

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