1010理论力学西南file

辅导课程五质点动力学的基本定理与基本守恒律◆动量定理与动量守恒律◆动量矩定理与动量矩守恒定律◆动能定理与机械能守恒律◆势能曲线势能保守力场存在一个标量函数,保守力所做的功，一定等于质点位置的某个标量函数V(x，y，z)的的减少值，我们称V为势能函数势能零点重力势能引力势能弹性势能海平面无限远无形变保守力判别式例1设作用在质点上的力是求此质点沿螺旋线运行自θ=0,至θ=2π时,力对质点的功.解:先检验力是否保守力计算F是保守力！§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律1.动量定理与动量守恒律讨论:矢量性守恒律动量定理的微分表达式冲量定理－动量定理的积分形式力矩与动量矩力F对点O的矩：大小：力的大小与力臂的乘积方向：垂直于r和F

矩心：O点xyzArFOCmo(F)d力对点的矩力F对点O的矩的解析式：定义：力F对z轴之矩等于该力在与z轴垂直的平面上的投影Fxy对轴与平面交点O

之矩。力对轴的矩力与轴平行或相交时，力对该轴之矩等于零。力对点的矩与力对轴的矩之间的关系力对点的矩在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。力对轴之矩的解析式动量矩(角动量)2.动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理分量形式动量矩定理积分形式(冲量定理)讨论守恒律分量守恒有心力问题例题1

质点所受力,如恒通过某一定点,则质点必在某一平面上运动.平面方程力矩为零！3.动能定理与机械能守恒律动能定理如果F是保守力机械能守恒定律本节三个守恒律都是一阶微分,而运动方程是二阶微分方程,所以所有守恒律都是经过一次积分以消去对时间的二阶导数而得到.第一积分机械能守恒定律是质点在保守力场中的运动方程第一积分,称为能量积分.势能曲线势垒>E势阱<EV(x)EE’E”ABoxx1x2x3质点可能运动的方式由势能曲线及总能E决定总结动力学基本原理分为两种基本类型（1）动量形式：动量定理与动量矩守恒律和动量矩定理及其守恒律（2）能量形式：动能定理与机械能守恒律注意：◆动量中的速度是绝对速度◆只需知道质点的初末位置而不需要了解质点运动的全过程时，应该运用三个定理解题，特别是要善于运用三个守恒律，这样问题处理就更简单一点，因为它们是二阶微分方程的第一积分。主要内容有心力的基本性质轨道微分方程——比耐公式平方反比引力——行星的运动开普勒定律宇宙速度和宇宙航行（自学）圆形轨道的稳定性（自学）平方反比斥力:α粒子的散射（自学）（1）有心力的基本性质有心力：如果运动质点所受到的力的作用线始终通过某一个定点，我们就说质点所受到的力为有心力。相互吸引：引力相互排斥：斥力在有心力作用下，质点始终在一个平面内运动！有心力F

的量值，一般是径矢r

的函数：或者以力心为原点的直角坐标系中，质点运动的微分方程为有心力的描述－直角坐标系有心力的描述－极坐标（1）（2）（2）（2）式的物理意义：由于质点动量的径向分矢量通过O点，即对O点的动量矩为零，所以质点动量的横向分量对O点的量值即整个质点P对O点的动量矩的量值，所以该式是极坐标系中有心力动量矩守恒律的数学表达式。动量的横向分矢量的量值：质点动量的横向分量对O点的动量矩的量值：研究有心力问题的两个基本运动方程（3）（3-1）（3-2）有心力的基本性质◆做功与路径无关，保守力◆存在势能◆动量矩守恒恒矢量◆机械能守恒（4）（5）势能差与原点的选取无关！可代替3-1式（2）轨道微分方程——比耐公式令比耐公式★力学问题中，先求运动规律（轨道的参数方程），再消t得到轨道方程；★有心力问题中，先从（3）式中消去t，得出r和θ的微分方程，再求解直接得出轨道方程。由式（3-2）得代入式3-1，即（3）平方反比引力——行星的运动1.利用比耐公式求行星的轨道——高斯常数由比耐公式轨道方程比较标准圆锥曲线方程正焦弦长一半偏心率见P70图1.9.2◆

椭圆在B点：◆

抛物线在B点◆

双曲线在B点因为有心力作用下,

势能只是r的函数机械能守恒分离变量与圆锥曲线方程比较椭圆抛物线双曲线有心力作用下，机械能守恒，用

E

判断偏心率e开普勒(1571-1630)德国近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家。

开普勒是继哥白尼之后第一个站出来捍卫太阳中心说、并在天文学方面有突破性成就的人物，被后世的科学史家称为“天上的立法者”。

开普勒出生在德国威尔的一个贫民家庭，开普勒是一个早产儿，体质很差。他在童年时代遭遇了很大的不幸，四岁时患上了天花和猩红热，虽侥幸死里逃生，身体却受到了严重的摧残，视力衰弱，一只手半残。但开普勒身上有一种顽强的进取精神，但一直坚持努力学习，成绩一直名列前茅。1587年进入蒂宾根大学。第谷最大的天文学成就就是发现了开普勒。第谷在临终前将自己多年积累的天文观测资料全部交给了开普勒，再三叮嘱开普勒要继续他的工作，并将观察结果出版出来。开普勒接过了第谷尚未完成的研究工作。后来，开普勒在伽利略的影响下，通过对行星运动进行深入的研究，抛弃了柏拉图和毕达哥拉斯的学说，逐步走上真理和科学的轨道。1630年11月，因数月未得到薪金，生活难以维持，年迈的开普勒不得不亲自到雷根斯堡索取。不幸的是，他刚刚到那里就抱病不起。1630年11月15日，开普勒在一家客栈里悄悄地离开了世界。他死时，除一些书籍和手稿之外，身上仅剩下了7分尼（1马克等于100分尼）。（4）开普勒定律行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。对任意一个行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。T2/a3=恒量。T为周期，a为椭圆轨道半长轴。相对日心—恒星参考系由第二定律轨道方程导出万有引力定律因为面速度是常数，所以动量矩守恒，行星受到的力为有心力，太阳是力心.或者代入比耐公式得说明行星受引力，且与距离成反比；一般讲，这里h和p与各行星有关；利用开普勒第三定律确定系数与行星无关；先求有心力下，行星公转周期。再由第三定律一周期注意:Kepler定律是近似的,忽略了太阳的运动。实际上行星的运动还受到其他行星的作用，且太阳本身也有运动，因此行星的运动实际上更复杂。开文迪许1798年测量了G的值,于是建立了万有引力定律。第二章质点组力学1、学习目标：（1）掌握质点组的特点和质点组动力学的基本定理和守恒律；（2）掌握质心和质心坐标系中的动力学基本定理以及质心系与实验坐标系的相互关系；（3）掌握变质量物体的运动方程。2、学习建议：

（1）要熟练掌握三个基本定理及三个守恒定律的内容，并掌握它们的适用条件以及应用求解问题的方法步骤，特别是三个守恒定律与运动微分方程的关系，以及它们在求解问题中的重要性。（2）要深入讲解质心的概念。认识到质心的特殊性以及质心坐标系在质点组力学中的重要地位。注意内力在质点组中的作用.（3）了解两体问题的特点，并能运用化两体问题为单体问题的方法求解某类型的力学问题。（4）要明确研究质点组力学问题的指导思想和处理方法：从质点动力学的基本方程导出描述质点组整体运动规律的基本动力学方程。（5）要初步掌握“如何把一个比较复杂的具体问题，简化成一个力学模型，进而建立起变质量物体的运动微分方程”的理论和方法，并能正确使用该方程求解变质量物体的运动规律。3、学习任务指派任务二：一个均匀物体有三个对称面，并且此三个对称面交于一点，则此质点是否为均匀物体的质心？；任务三：在质点组动力学中，能否计算每一质点的运动情况？假如质点组不受外力作用，每一质点是否都静止不动或者作匀速直线运动？任务四：选用质心坐标系，在动量定理中是否需要计入惯性力？任务五：秋千何以越荡越高？这时的能量增长从哪里来的？任务六：为什么在碰撞过程中，动量守恒而能量不一定守恒？所损失的能量到什么地方去了？又在什么样的情况下，能量才守恒？任务七：多级火箭与单级火箭比起来，有哪些优越的地方？任务一：一个均匀物体由几个有规则的物体合并而成，你觉得怎样去求它的质心？本讲内容：◆1质点组动力学的研究方法◆2质点组的动量及动量定理◆3质心运动定理1质点组动力学的研究方法如果按质点动力学的方法列写每个质点的运动微分方程式，则方程数太多出现未知的内力减少描述质系运动的未知量数目不研究每个质点，而将质系作为一个整体，研究表征质系动力学的物理量（动量、动能等）的变化采取适当措施消除未知的内力及约束反力质点组:若干(有限或无限)相互联系的质点系统。外力:质点组外物体对质点组内任意质点的力。········ijFiPifij

fji内力:质点组中质点间相互作用力。孤立系,闭和系:无外力作用········ijFiPifij

fji质心:质系中所有质点动量的向量和，称为质系的动量。根据质系的质心公式2质点组(质系)的动量对于质点对于质系质系动量定理质系动量对时间的一阶导数，等于作用在该质系上的外力主向量－质系动量定理。质系动量定理的投影形式固连于惯性参考系的坐标系Oxyz实例分析人骑自行车在水平路面上由静止出发开始前进。是什么力使它有向前运动的速度？内力虽可改变质系中质点的动量，但不能改变整个质系的动量3质心运动定理质系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质系上外力主向量—

质心运动定理

质心运动定理揭示了动量定理的实质：外力主向量只能改变质系质心运动状态。对于质点：牛顿第二定律，描述单个质点运动与力之间的关系对于质点系：质心运动定理，描述质点系整体运动与力之间的关系质心运动定理在研究质心的运动时，可以将质系的质量及所受的外力均集中到质心。实例分析质心的运动决定于外力主向量。只受力偶作用的刚体总是围绕其质心转动质系动量守恒质点系动量守恒质心运动守恒C1、C2

均为常向量，由初始条件确定。实例分析太空中拔河，谁胜谁负？系统不受外力作用，所以动量守恒不分胜负！实例分析炮弹在空中爆炸第一块炮弹碎片落地前和落地后质心的运动轨迹？§2.3质系的动量矩定理和动量矩守恒律§2.4动能定理与机械能守恒定律质系中各质点对点O的动量矩（角动量）的向量和称为质系对点O的动量矩，或角动量。动量矩是一个向量，它与矩心O的选择有关。§2.3质系的动量矩定理和动量矩守恒律质系对任意点的动量矩与对质心的动量矩之间的关系思考题一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。已知圆盘对质心的转动惯量为Jo，角速度为

，质心O点的速度为vo。试求圆盘对水平面上O1点的动量矩。质系对任意动点的动量矩定理质系动量矩的变化仅取决于外力主矩，内力不能改变质系的动量矩。质系对固定点的动量矩定理质系对固定点A的动量矩对时间的一阶导数等于作用在质系上的外力系对同点的主矩质系对定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质系的外力对同轴的合力矩Axyz为定系！质系动量矩守恒定理当外力系对某固定点的主矩等于零时，质系对于该点的动量矩保持不变实例分析芭蕾舞演员花样滑冰运动员质系对质心的动量矩定理质系对质心C的动量矩对时间的一阶导数等于作用在质系上的外力对同点的主矩当外力系对质心的主矩等于零时，质系对于该点的动量矩保持不变质量均为m的A和B两人同时从静止开始爬绳。已知A的体质比B的体质好，因此A相对于绳的速率u1大于B相对于绳的速率u2。试问谁先到达顶端并求绳子的移动速率u。例1例1解取滑轮与A和B两人为研究对象，系统对O点动量矩守恒：设绳子移动的速率为u因为外力为两人所受重力质系动能的微分等于作用在质系上所有力的元功之和。质点动能定理质系动能定理§2.4动能定理与机械能守恒定律质系动能定理的积分形式质系从状态1到状