华师版七下数学第9单元三角形平分线几何模型同步练习2022年-

专题9.13三角形角平分线几何模型(知识讲解)模型1：内分分模型如图一：条件：BI、CI分别为△ 的内角/ABC、/ACB的角平分线相交于点n结论：/BIC=900+1/A2如图一已知：如图一：B、CI分别为△ 的内角/ABC、/ACB的角平分线相交于点.求证：/BIC=900+1/A2证明：在^BIC中，・・・B、CI分别为△的内角/ABC、/ACB:./BIC=1800-(/IBC+/ICB)=180°」(/ABC+/ACB)2=1800-1(10-/A)2=900+1/A2模型2：内外分模型如图二：条件：的内角^ABC和外角/ACQ的角平分线相交于点n结论：/900+1/A.2BD如图二已知：如图二：、CP分别为△的内角/ABC、外角/ACQ的角平分线相交于点- 1求证ZP=-AA2证明:・・ZABC、^ACD平分线交于点P,,〃1，一，〃 1….∙.ZPBC=-ABCC;ZPCD=-ZACD,2 2・・・ZPCD=ZP+ZPBC,^ACD=ZA+^ABC,/ / 1/， /.∙.ZP+ZPBC=2(ZA+ZABC), ，〃1，，，一:.ZP+ZPBC=-ZA+ZPBC21:ZP=-ZA2模型三：外外分模型1如图三：条件：△ 的外角ZCBE和外角ZBCD的角平分线相交于点n结论：Z900--^A.2如图三已知：如图三：、CP分别为△的外角NCBE、外角NBC。的角平分线相交于点1求证NP=900—NA2证明∙,∙NEBC、NDCB平分线交于点P,‘八1 ,八 ,八1 ,八.∙.NPBC=NCBE;NPCB=NBCD,2 2∙.∙NP=1800—(NPBC+NPCB)1=1800-2(NEBC+NDCB)1=1800—(NA+NACB+NA+NABC)21=1800—(2NA+1800-NA)2=900-1NA2模型四：飞镖+角平分线模型1、飞镖模型内角关系模型:如图四：如图，在四边形中，结论：NC=NA+NB+ND.证明：延长交于E则NBCD、NBED分别为《DE、ABE外角，∙NBCD=NCED+ND,NCED=NA+NB,∙NC=NA+NB+ND.图四2、飞镖模型内角平分线模型:A图五一一.一 一. /44/C如图五：条件：/ABC>^ADC平分线交于点Pn结论：/P= 2略证：如图五：/C=/PBC+/PDC+/P(1)/P=/PBA+/PDA+/A(2)∙∙/PBC=/PBA,/PDC=/PDA(1)-(2)得/C-/P=/P-/A∙∙∙/P=/A+/C2【典型例题】类型一、内分分模型❾(2022∙山东淄博市•七年级期中)如图，ΔA3C的角平分线瓦入CE相交于点夕.(1)若/ABC=50。,/ACB=70。，则/A= 。；(2)试探究/DPC与/A之间的数量关系并说明理由.B C…1,,【答案】(1)60；(2)90o--/A，见解析.【分析】(1)直接利用三角形的内角和定理求解即可；(2)先根据角平分线的定义得到∠1=1∠ABC,∠2=1∠ACB,再根据三角形内角和定理得0BPC=18Oo-[2]l-[2]2=18Oo--(回ABC+tUACB),力口上团ABC+tUACB=180°-团A,易得国BPC=90°+L^a,2 2再根据平角的定义解答即可.解：(1)VZABC=50o，ZACB=70o，.*.ZA=180o-50°-70°=60°.故答案为60.(2)ZDPC=90o-ɪZA,

2理由：∙.∙NABC,NACB的平分线相交于点0,「./I=；/ABC,∕2=:∕ACS,:.ZBPC=180o-Zl-Z2=180o-lZABC--ZACB=180。」(ZABC+ZACB)2 2 2・.・ZABC+ZACB=180o-ZA:.ZBPC=180o--(1S0o-Za)=90°+-ZA,2 2.∖ZDPC=180o-(90°+—ZA)=90°ZA.2 2故答案为：90o-γZA.【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180。，本题探讨了三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系.类型二、内外分模型©>2.(2022•全国九年级专题练习)如图，在ΔABC中，/ABC与NACD的平分线相交于ANABC与NAQ)的平分线相交于A,以此类推，NABC与NAeo的平分线相1 1 1 2 2 2交于A求NA与/A数量关系.3 n【解析】【分析】先根据三角形三角形外角的性质及角平分线得出与财的关系，同理得出蜘2与蜘1的关系，从而推导出蜘2与蜘的关系，……，进而归纳出射“与蜘的关系，即可得出答案.【详解】解：在AABC中，有∠ACD=∠A+∠ABC,在AA1BC中，有∠A1CD=∠A1+∠A1BC,∠^ABC与ZACD的平分线相交于A111∠∠A1CD=2∠ACD,∠A1BC=2∠ABC,∠∠A=-∠A,12同理，∠A2=-∠A1,即∠A2=-∠A,2 22由此可得，∠Aa=!∠A,3231∠/A=——ZA.n2n【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质等知识.根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和找出∠A1、∠A2……∠An与A的关系是解题的关键.类型三、外分分模型C^3.(2022•江苏苏州市•七年级期末)如图1,回ABC的外角平分线交于点F.(1)若回A=40。，则回F的度数为；(2)如图2,过点F作直线MN∠BC，交AB,AC延长线于点M,N,若设∠MFB=α,∠NFC=β,则∠A与α+β的数量关系是；(3)在(2)的条件下，将直线MN绕点F转动.①如图3,当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α,β之间的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α,β之间的数量关系是否仍然成立？若成立,请说明理由；若不成立,请给出三者之间的数量关系．图1 图2 图3C1 …【答案】(1)70°(2)a+β--zA=90o (3)①见解析②不成立;11β-α--/A=90o或α-0--/A=90。【分析】(1)根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；(2)根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得至胞A与α+β的数量关系；(3)①根据(2)中的结论∠BFC=90°--∠A,以及平角的定义，即可得到∠A与α,β之间的数量关系；②分两种情况进行讨论，根据(2)中的结论∠BFC=90°-1∠A,以及平角的定义，即可得到∠A与α,β之间的数量关系.解：(1)如图1,∙.∙∠A=40°,ΛZABC+ZACB=140o,ΛZDBC+ZECB=360°-140°=220°,又∙.∙^ABC的外角平分线交于点F,ΛZFBC+ZFCB=1(∠DBC+∠ECB)=1×220°=110°,--Λ∆BCF中，ZF=180°-110°=70°,D图1故答案为：70°；(2)如图2,∙.∙∠ABC+∠ACB=180°-∠A,ΛZDBC+ZECB=360°-(180°-ZA)=180°+∠A,又∙.∙^ABC的外角平分线交于点F,ΛZFBC+ZFCB=1(∠DBC+∠ECB)=1×(180°+∠A)=90°+1NA,2 2 2Λ∆BCF中，ZBFC=180°-(90°+gZA)=90°-gZA,又∙.∙ZMFB=α,ZNFC=β,MN〃BC,.∙.ZFBC=α,ZFCB=β,V∆BCFψ,ZFBC+ZFCB+ZBFC=180°,1.∙.α+β+90°--ZA=180°,即α+β-1ZA=90°,2Z⅛v闸CɪvES2故答案为：α+β-—ZA=90°;(3)①α+β-1ZA=90°，理由如下：如图3,由(2)可得，ZBFC=90°-2ZA,S3VZMFB+ZNFC+ZBFC=180°,1.∙.α+β+90°--ZA=180°,即α+β-ZZA=90°2,②当直线MN与线段BC有交点时，①中NA与α,β之间的数量关系不成立.分两种情况：如图4,当M在线段AB上，N在AC延长线上时，由（2）可得，NBFC=90°-2NA,VZBFC-ZMFB+ZNFC=180o,1.∙.90°NA-α+β180°2,即β-1α--NA—90；^2如图5,当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，由（2）可得，NBFC=90O-2NA,VNBFC-NNFC+NMFB=180O,.∙.90°1NA-β+α=180°,2即α-β-—NA=90°；2综上所述，NA与α,β之间的数量关系为β11NA=90°或α-β- NA=90°22α.【点睛】此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图.类型四、飞镖模型.（2022•全国九年级单元测试）如图，已知在AAB。中，ZA=60o,BD、CD分别平分ZABC、ZACB，相交于点D,BE、CE分别平分/DBC、ZDCB,相交于点E，求ZBEC、ZBDE的度数.【答案】/BEC=150。；/BDE=60。.【分析】根据三角形