高中数学（人教版选修1-1）配套课件：第2章圆锥曲线与方程2.3.1

抛物线及其标准方程第二章

§2.3抛物线1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一抛物线的定义把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的

的点的轨迹叫做

.点F叫做抛物线的

，直线l叫做抛物线的

.答案距离相等抛物线焦点准线知识点二抛物线标准方程的几种形式答案图形标准方程焦点坐标准线方程____________________________y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)答案__________________________x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)思考(1)抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？答案焦点到准线的距离.(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？答案不一定.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线.答案返回

题型探究重点突破解析答案题型一求抛物线的标准方程例1

分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为(－2,0)；∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.(2)准线为y＝－1；∴p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝4y.解析答案(3)过点A(2,3)；解由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2,3)代入，得32＝m·2或22＝n·3，∴所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.反思与感悟反思与感悟求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0).解析答案跟踪训练1

分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3，－4)；解

方法一∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).把点(3，－4)分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，方法二∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)或x2＝by(b≠0).解析答案(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.解令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.解析答案题型二抛物线定义的应用例2

如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标.反思与感悟解如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题.由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2,2).反思与感悟反思与感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.解析答案跟踪训练2

已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为(

)解析如图，由抛物线定义知|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，则当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值.∴(|PA|＋|PF|)min＝|AF|A解析答案题型三抛物线的实际应用例3

如图所示，一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为am，求能使卡车通过的a的最小整数值.反思与感悟解以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，∵点B在抛物线上，∴抛物线方程为x2＝－ay.解得a>12.21，∵a取整数，∴a的最小整数值为13.反思与感悟反思与感悟以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.解析答案跟踪训练3

如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；解依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，如图所示，所以该抛物线的方程为x2＝－5y.解析答案(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?解设车辆高h米，则|DB|＝(h＋0.5)米，故D(3.5，h－6.5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05米，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.解析答案返回解后反思例4

已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且此抛物线上的一点A(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值及抛物线的标准方程.思想方法分类讨论思想的应用解析答案解后反思分析由于抛物线的开口方向不确定，因而应注意对抛物线的标准方程形式进行分类讨论，点A(m，－3)在x轴下方，从而抛物线的开口可以分向下、向左、向右三种情况，而焦点在x轴上的情况可以设统一形式y2＝2ax(a≠0，当a＞0时，开口向右，当a＜0时，开口向左).对于a的求法可以利用定义法，也可以解方程组.解析答案解后反思解因为点(m，－3)在x轴下方，所以抛物线的开口方向可以向下、向左或向右.当抛物线的开口向下时，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.当抛物线的开口方向向左或向右时，设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，解后反思由于抛物线的标准方程有四种形式，当焦点的位置不确定时，往往要分类讨论.返回解后反思当堂检测12345解析答案由此可知准线方程为y＝2.C解析答案123452.过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(

)A.8 B.16 C.32 D.61解析

由y2＝8x得焦点坐标为(2,0)，由此直线方程为y＝x－2，B设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程知x1＋x2＝12，∴弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.123453.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线

＝1上，则抛物线的方程为(

)A.y2＝8x

B.y2＝4xC.y2＝2x

D.y2＝±8x解析答案即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.D解析答案123454.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(

)解析易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，其中F(1,0)为抛物线y2＝4x的焦点.由图可知，距离和的最小值，A解析答