沪教版六七年级数学概念

七上用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。（单独一个数或者一个字母也是代数式）2、用数字代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。有数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式。（单独的一个数也是单项式）3、单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。4、一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。5、几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。6、多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数项式和多项式统称为整式。所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。合并同类项的法则是把同类项的系数相加的结果作为合并后系数，字母和字母的指数不变。单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。平方差公式内容：（ａ＋ｂ）²（ａ－ｂ）＝ａ²－ｂ²意义：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。特征：Ⅰ.左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数。Ⅱ.右边是乘式中两项的平方差。Ⅲ.公式中的ａ和ｂ可以使有理数，也可以是单项式或多项式。几何意义：平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等的表达式。拓展：Ⅰ.立方和公式：（ａ＋ｂ）（ａ²－ａｂ＋ｂ²）＝ａ³＋ｂ³。Ⅱ.立方差公式：（ａ－ｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）＝ａ³－ｂ³。（ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ａｂ²＋„＋ａ²ｂ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ-ｂ。完全平方公式：内容：（ａ＋ｂ）²＝ａ²＋ｂ²＋２ａｂ.（ａ－ｂ）²＝ａ²＋ｂ²－２ａｂ。意义：两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的２倍。两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的２倍。特征：Ⅰ.左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的２倍，可简记为“首平方，末平方，2倍首末中间放。”Ⅱ.公式中的ａ、ｂ可以是单项式，也可以是多项式。拓展：Ⅰ.（ａ＋ｂ＋ｃ）²＝ａ²＋ｂ²＋ｃ²＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａc。Ⅱ.（ａ＋ｂ）³＝ａ³＋ｂ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ²；Ⅲ.（ａ－ｂ）³＝ａ³－ｂ³－３ａ²ｂ＋３ａｂ²。因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式的积。注意：因式分解的要求：Ⅰ.结果一定是积的形式，分解的对象是多项式。Ⅱ.每个因式必须是整式。Ⅲ.各因式要分解到不能分解为止。因式分解与整式乘法的关系：是两种不同的变形过程，即互逆关系。17、提公因式法分解因式：ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），这个变形就是提公因式法分解因式。这里的ｍ可以代表单项式，也可以代表多项式，ｍ称为公因式。系数：取多项式各项系数的最大公约数。字母：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。18、利用公式法分解因式：Ⅰ.平方差公式：ａ²－ｂ²＝（ａ＋ｂ）²（ａ－ｂ）。Ⅱ.完全平方公式：ａ²＋ｂ²＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）²。ａ²＋ｂ²－２ａｂ＝（ａ－ｂ）²。Ⅲ.立方和与立方差公式：ａ³＋ｂ³＝（ａ＋ｂ）（ａ²－ａｂ＋ｂ²）；ａ³－ｂ³＝（ａ－ｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）。注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一个数、一个单项式或一个多项式。（２）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式，应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式，可考虑用完全平方公式。19、利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。ｘ²＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）。20、Ⅰ.将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。Ⅱ.适用范围：适合四项以上的多项式的分解。分组的标准为：分组后能提公因式或分组后能运用公式。其他方法：.求根公式法：若ａｘ²+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）的两根是ｘ１、ｘ２，ａｘ²+ｂｘ+ｃ=ａ（ｘ-ｘ１）（ｘ-ｘ２）。因式分解的一般步骤及注意问题：①对多项式各项有公因式时，应先提供因式。②多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。同底数幂相除，底数不变，指数相减。任何不等于零的数的零次幂为1。22、单项式与单项式相除的法则：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可。只在被除式里含有的字母不不要漏掉。两个整式A/B相除，即A÷B时，可以表示为A/B.如果B中含有字母，那么A/B叫一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点。（3）注意：①轴对称是说两个图形的位置关系；而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。②成轴对称的两个图形，必定是全等图形。（4）轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等；对应角相等。（5）简单的轴对称作图：求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点。后依次连结各特征点即可。六上第一章数的整除1.1整数和整除的意义1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2．在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3.零和正整数统称为自然数4．正整数、负整数和零统称为整数5．整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。1.2因数和倍数1．如果整数a能被整数b整除，a就叫做b倍数，b就叫做a的因数2．倍数和因数是相互依存的3．一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4．一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3能被2,5整除的数1．个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2．整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3．在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4．在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5．个位数字是0,5的数都能被5整除6.0是偶数1.4素数、合数与分解素因数1．只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2．除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3.1既不是素数也不是合数4．奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5．每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。7．通常用什么方法分解素因数:树枝分解法,短除法1.5公因数与最大公因数1．几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数3．把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4．如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5．如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是11.6公倍数与最小公倍数1．几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数2．几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数3．求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数4．如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数5．如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是；两个数的乘积第二章分数2.1分数与除法1．一般地，两个正整数相除的商可用分数表示，即被除数÷除数=用字母表示为p÷q=（p、q为正整数）2．会用数轴上的点表示分数分数的基本性质分数的分子和分母同时乘以一个不为零的整数，分数的值不变分子分母只有公因数1的分数叫做最简分数把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分分数的比较大小同分母分数的大小只需要比较分子的大小，分子大的比较大，分子小的比较小通分的一般步骤是：（1）求公分母——求分母的最小公倍数；根据分数的基本性质，将每个分数化成分母相同的分数。异分母分数比较大小需要先通分成同分母分数再按照同分母分数比较大小2.4分数的加减法1．同分母分数相加减，分母不变，分子相加减2．异分母分数相加减，先通分成同分母分数，再按照同分母分数相加减3．分子比分母小的分数,叫做真分数4．分子大于或者等于分母的分数叫假分数5．整数与真分数相加所成的分数叫做带分数6．假分数化为带分数：分母不变,整数部分为原分子除以分母的商,分子则为原分子除以分母的余数7．列方程求未知数的一般书写步骤：（1）设未知数为x；（2）根据题意列出方程：（3）根据加减互为逆运算，表示出x等于那些数相加减；（4）计算出x的值，并写出上结论2.5分数的乘法1．两个分数相乘，分子相乘作为分子，分母相乘作为分母2．如果乘数是带分数，先化成假分数，再进行运算2.6分数的除法1．一个数与其相乘的积为1的数为这个数的倒数；0没有倒数2．除以一个分数等于乘以这个分数的倒数3．被除数或除数中有带分数的先化成假分数再进行运算2.7分数与小数的互化1．一个分数能不能化为有限小数和分数的分母有关2．从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的无限小数叫做循环小数3．被重复的一个或一节数码称为循环小数的循环节4．一个分数总可以化为有限小数或无线循环小数第三章比和比例3.1比的意义1．将a与b相除叫a与b的比，记作a：b，读作a比b2．求a与b的比，b不能为零3．a叫做比例前项，b叫做比例后项，前项a除以后项b的商叫做比值4．求两个同类量的比值时，如果单位不同，先统一单位再做比5．比值可以用整数、分数或小数表示3.2比的基本性质1．比的基本性质是比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变2．利用比的基本性质，可以把比华为最简整数比3．两个数的比，可以用比号的形式表示，也可以用分数的形式表示4．三项连比性质是：如果a：b=m：n，b：c=n：k，那么a：b：c=m：n：k如果k≠0，那么a：b：c=ak：bk：ck=：：5．将三个整数比化为最简整数比，就是给每项除以最大公约数；将三个分数化为最简整数比，先求分母的最小公倍数，再给各项乘以分母的最小公倍数；将三个小数比化为最简整数比先给各项同乘以10,100,1000等，化为整数比，再化为最简整数比6．求三项连比的一般步骤是：（1）。寻找关联量，求关联量对应的两个数的最小公倍数（2）根据毕的基本性质，把两个比中关联量化成相同的数（3）对应写出三项连比3.3比例1．a（第一比例项）：b（第二比例项）=c（第三比例项）：d（第四比例项）；其中a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项2．如果两个比例内项（外项）相同，即a：b=b：c，那么b叫做a、c的比例中项3．利用比例的基本性质，可以把比例方程转化化为我们常见的形式ad=bc，简单的说，就是内项之积等于外项之积4．列方程解应用题的一般书写步骤分四步：（1）设未知数（2）列方程（3）解方程（4）答5．列比例方程时，一定要注意对应关系，一定要注意同类量的单位要对应统一3.4百分比的意义1．叫做百分数，表示％，读作百分之……2．把百分数化为小数3．把小数化为百分数3.5百分比的应用1．三个关键词：是，占，的2．一条主线：求部分占全体的百分数；三类情景：一般文字题，统计图和统计表，恩格尔系数3．赢利问题的俩个基本公式：售价－成本=赢利，赢利率=赢利／成本×100％；在售价、成本和赢利三个量中，只要知道其中的两个量，就可以计算出赢利率打折问题的一个基本公式：原（售）价×折数=现（售）价；在原价、现价和折数三个量中，只要知道其中两个量，就可以计算出第三个量亏损时赢利意义相对的量：赢利=售价－成本，亏损=成本－售价银行利息的结算和本金、利率和期数有关（注意：贷款利息不纳税）利息=本金×利率×期数；利息税=利息×20％；税后本息和=本金＋税后利息=本金＋利息－利息税=本金＋利息×（1－20％）增长率=增长的量／原来的基数×100％3.6等可能事件1．从实际生活中感悟那些事件是可能事件，哪些事件是不可能事件2．可能性的大小可以用一个真分数或百分数表示第四章圆和扇形4.1圆的周长1．周长公式C=πd=2πr，其中π是一个无限不循环小数，通常取π=3.142．会根据题意，有其中2个量求第三个量的值4.2弧长1．如图，圆上A、B两点间的部分就是弧，记作读作弧AB，∠AOB称为圆心角2．圆心角所对的弧长是圆周长的3．设圆的半径为r，圆心角所对的弧长是，弧长公式：=πr4.3圆的面积1．圆的面积S=π2．环形的面积=大圆的面积－小圆的面积S=π（－）4.4扇形的面积1．扇形面积公式=π=2．要求阴影部分面积，要善于抓住图形间的位置关系和数量关系进行适当的割补六下第五章有理数有理数的意义；正数和负数；有理数的加减；有理数的乘除；有理数的乘方零是正数和负数的分界。分数是由正分数和负分数组成的。正数和分数统称为有理数（rationalnumber）有理数：正数：正整数、零、负整数分数：正分数、负分数如果我们把正数看成是分母为1的分数，那么在这个意义下，所有的有理数都是分数。数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数（oppositenumber），也称为这两个数互为相反数，零的相反数是零。一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值（absolutevalue）一个正数的绝对值是它本身。一个附属的绝对值是它的相反数。零的绝对值是零。正数大于零，零大于负数，正数大于负数。两个负数，绝对值大的那个数反而小。有理数加法法则：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值相等时和为零，绝对值不相等时，其和的绝对值为较大绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号。一个数同零相加，仍得这个数。有理数加法的运算律交换律：a+b=b+a结合律：（a+b）+c=a+(b+c)有理数的减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数a-b=a+(-b)两数相乘的符号法则正乘正得正，正乘负得负，负乘正得正，负乘负得正。有理数的乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘，都得零。几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个数相乘，有因数为零，积就为零。也就是说，在积的各个因数中，只有一个负号，积为负；有两个负号，积为正；有三个负号，积为负；有四个负号，积为正；有零时积就是零。有理数除法法则两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，都得零。求N个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘法的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方，an看做是a的n次方结果时，读作a的n次幂。正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。有理数混合运算的顺序：先乘方，后乘除，再加减；统计运算从左到右；如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号。把一个数写成a*10n(其中1≤a＜10，n是正整数)，这种形式的计数方法叫做科学计数法（scientificnotation）第六章一次方程（组）及一次不等式（组）方程的意义；一次方程的意义；一次方程的解法；不等式的意义及解法1、用字母x、y、等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数。含有未知数的等式叫做方程（equation）。在方程中，所含的未知数又称为元。为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程。2、如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等看，那么这个未知数的值叫做方程的解（solutionofequation）3、只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程（linearequationinonevariable）4、等式性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或一个含有字母的式子，说得结果仍是等式。等式性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为零的数），所得结果仍是等式。5、去括号的法则是：括号前带“+”号，去掉括号时括号内各项都不变符号。括号前带“—”号，去掉括号时括号内各项都改变符号。6、解一元一次方程的一般步骤是：-去分母；-去括号；-移项；-化成ax=b（a≠0）的形式-两边同除以未知数的系数，得到方程的解x=b/a7、列方程解应用题的一般步骤是：-设未知数（元）；-列方程；-解方程；-检验并作答。8、用不等号“＜”“＞”“≤”“≥”表示的关系式，叫做“不等式”。9、不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：如果a＞b，那么a+m＞b+m如果a＜b，那么a+m＜b+m10、不等式性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：如果a＞b，且m＞0，那么am＞bm（或a/m＞b/m）如果a＜b，且m＞0，那么am＜bm（或a/m＜b/m）11、不等式性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：如果a＞b，且m＜0，那么am＜bm（或a/m＞b/m）如果a＜b，且m＜0，那么am＞bm（或a/m＜b/m）12、在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。13、一般情况下，一元一次方程的解只有一个，一元一次不等式的解可以有无数个。不等式的解的全体叫做不等式的解集。14、只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。15、解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，可概括为：-去分母；-去括号；-移项；-化成ax＞b（或ax＜b）的形式（其中a≠0）-两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集。16、由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。如果各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解。17、解一元一次不等式组的一般步骤是：-求出不等式组中各个不等式的解集；-在数轴上表示各个不等式的解集；-确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集。18、含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程。19、使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。20、二元一次方程的解有无数个，二元一次的解的全体叫做这个二元一次方程的解集。21、由几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。22、在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解。23、通过“代入”消去一个未知数，将方程式转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法。24、通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法。25、如果方程组中有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组。26、列方程解应用题时要灵活选择未知数的个数。对于含有两个未知数的应用题一般采用列二元一次方程组求解；对于含有三个未知数的应用题一般采用列三元一次方程组求解。线段与角的画法直线的画法；射线的画法；线段的画法；角的画法；角的测量1、联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离。2、两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的长度的和（或差）。3、将一条线段分成两条相等线段的店叫做这条线段的中点。4、角是具有公共端点的两条射线组成的图形。公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。5、角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形。处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边。6、两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这两个角的角度的和（或差）。7、从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。8、如果两个角的度数的和是90°，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。其中一个角成为另一个角的余角。如果两个角的度数的和是180°，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。其中一个角称为另一个角的补角。9、同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等；10、一个角与它的余角相等，这个角是怎样的角？是锐角一个角与它的补角相等，这个角是怎样的角？是直角互补的两个角能否都是锐角？不能能否都是直角？可能能否都是钝角？不能长方体的再认识长方体的顶点；长方体的棱；长方体的面；长方体的表面积；长方体的体积公式；1、长方体有六个面，八个顶点，十二条棱。2、长方体的每个面都是长方形。3、长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等。4、长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小都相同。5、第115页：长方体中棱与棱位置关系的认识：如图：棱EH与棱EF所在的直线在同一个面内，它们有惟一的公共点，我们称这两条棱相交。棱EF与棱AB所在的直线在同一个面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行。棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面。6、一般地，如果直线AB与直线CD在同一平面内，具有惟一公共点，那么称这两条直线的位置关系为相交，读作：直线AB与直线CD相交。7、如果直线AB与直线CD在同一平面内，但没有公共点，那么称这两条直线的位置关系为平行，记作：AB∥CD，读作：直线AB与直线CD平行。8、如果直线AB与直线CD既不平行，也不相交，那么称这两条直线的位置关系为异面，读作：直线AB与直线CD异面。9、直线PQ垂直于平面ABCD，记住：直线PQ⊥平面ABCD，读作：直线PQ垂直于平面ABCD。10、如何检验直线与平面垂直呢？可以用“铅垂线”检验。如果细棒垂直于墙面，可以用“三角尺”检验。还可以用“合页型折纸”检验直线是否垂直于平面。11、直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线PQ∥平面ABCD,读作：直线PQ平行于平面ABCD.12、如何检验直线与平面平行呢？可以用“铅垂线”检验。也可以用“长方形纸片”检验。七下12.1实数的概念有理数和无理数统称为实数。实数按如下方式分类：正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点表示一个实数。正数大于零，负数小于零，正数大于负数。两个正数，绝对值大的数较大，两个负数，绝对值大的数反而小。无理数：无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称为实数。第二节数的开方12.2平方根和开平方如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也就做二次方根。求一个数ɑ的平方跟的运算叫做开平方，ɑ叫做被开方数。一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数。零的平方根是零；负数没有平方根。正数ɑ的两个平方根可以用“±”表示，其中表示ɑ的正的平方根(又叫算术平方根)，读作“根号a”；表示ɑ的负平方根，读作“负根号ɑ”。零的平方根记作√0，√0=0.当a>0时，（）²=a，（）²=a.当a≥0时，=a;当a≤0时，=－ɑ12.3立方根和开立方如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，用“”表示，读作“三次根号ɑ”。中的ɑ叫做被开方数，“3”叫做根指数。求一个数ɑ的立方根的运算叫做开立方。正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零，所以正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。12.4n次方根如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于ɑ，那么这个数叫做ɑ的n次方根，当n为奇数时，这个数为ɑ的奇次方根；当n为偶数时，这个数为ɑ的偶次方根求一个数ɑ的n次方跟的运算叫做开n次方，ɑ叫做被开方数，n叫做根指数。实数ɑ的奇次方根有且只有一个，用“”表示，其中被开方数ɑ是任意一个实数,根指数n是大于1的奇数。正数ɑ的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n次方根用“”表示，负n次方根用“－”表示，其中被开方数ɑ>0，根指数n是正偶数（当n=2时，在±中省略n)负数的偶次方根不存在。零的n次方根等于零，表示为=0“”读作“n次根号ɑ”第三节实数的运算12.5用数轴上的点表示数有理数范围内绝对值、相反数意义：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。实数a的绝对值记作∣ɑ∣.绝对值相等，符号相反的两个数记作互为相反数；零的相反数是零。非零实数ɑ的相反数是－ɑ。实数大小的比较：负数小于零；零小于正数。两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。两点间的距离：在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为ɑ、b，那么A、B两点的距离AB=∣ɑ－b∣.12.6实数的运算设ɑ>0，b>0，可知（·）=（）²·（）²=ɑb。根据平方根的意义，得=·。同理：=近似数与准确数的接近程度即近似程度。对近似程度的要求，叫做精确度。对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字。=（ɑ>0）=（ɑ>0）其中m、n为正整数，n>1.有理数指数幂有下列性质：设ɑ>b，b>0，P、q为有理数，那么（1）·=，=（2）=（3）第1节相交线13.1邻补角，对顶角相交线的定义：在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线。对顶角的定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。邻补角的定义：有公共顶点和一条公共边，并且互补的两个角称为邻补角。邻补角的性质：邻补角互补。垂线的定义：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：垂线段最短。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。同位角：两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角。内错角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角。同旁内角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角。平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。13.2垂线1.垂线与斜线通过操作实践，所得到的结果说明垂线有这样的基本性质：在平面内经过直线上或直线外地一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条。2.点到直线的距离联结直线外一点与直线上各点得所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。13．3同位角，内错角，同旁内角（三线八角）第2节平行线13.4平行线的判定两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（同位角相等，两直线平行）平行线具有以下基本性质：经过直线外地一点，有且只有一条直线与已知直线平行。两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（内错角相等，两直线平行）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行）13.5平行线的性质两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。(两直线平行，同位角相等)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。（两直线平行，内错角相等）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（两直线平行，同旁内角互补）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（对于直线、、,如果，那么。被称为平行的传递性）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。第1节三角形的有关概念与性质14.1三角形的有关概念1.三角形的有关线段三角形的高，中线，角平分线2.三角形的分类锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，不等边三角形，等腰三角形，等边三角形三角形的内角和三角形的内角和等于。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。三角形的外角和等于。第2节全等三角形全等三角形的概念与性质能够重合的两个图形叫做全等形。两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的判定判定方法1在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等（简记为S.A.S）。判定方法2在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为A.S.A）。判定方法3在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为A.A.S）。判定方法4在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为S.S.S）。ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。三角形全等的证明思路找夹角——ＳＡＳⅠ.已知两边找直角——ＨＬ找另一边——ＳＳＳ找边的对角——ＡＡＳⅡ.已知一边一角边为角的邻边找夹角的另一边——ＳＡＳ找夹边的另一角——ＡＳＡ边为角的对边——找任意一角——ＡＡＳⅢ.已知两角找夹边——ＡＳＡ找任意一边——ＡＡＳ第3节等腰三角形等腰三角形的性质等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）。等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）。等边三角形等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三边都相等。等边三角形的性质：等边三角形的每个内角等于。判定等边三角形的方法：（1）三个