2013高中数学精讲精练新人教版第12章导数及其应用

基本初等函数导数基本初等函数导数

1设函数f（x）在x=x处可导,则limf(x0+h)-f(x0)与x,h的关系 0

hfi 已知f(x)=x3+x2f'(1),则f'(2) siny1cos

3f(xaxxaf1alna+a21,2求a,b,c值。yx3axyx2bxcy¢3x2ay2xb，且在点P3·12a2·1b又由2122·1c，得c2x3-3x+x-x①y(x1)(2x23x ③f(x2x3-3x+x-x= + yy2x33x2x2x23x-12x35x22x-1∴y¢6x2+10xy¢(x+1)¢(2x23x-1)+(x+1)(2x23x-1)¢2x23x-1(x+1)4x=6x2+10x+- -- -②y=2x2- +x-1-1∴y¢=3x2

3-x2-x-2

3-x 2yx3x-10y4x3程．yf(xP(x0f(x0处的切线0解：y4x30

=(x3+x-

=3x20∵3x2+1= ∴x0=0x0 或x0y=- y=- y84(x-1y+124(x+1)y4x-12y4x-xy20,5x4y-10A为切点，切线也不一定只有一条，所以要先设的瞬时速度是5m/s。x个单位产品的总成本函数是C(x8+88 yx4的一条切线lx4y-80垂直，则l的方程为4xy30y

4 (2)y=x2sin (3)y=ln(x+1+x2ex

x+cos

y=ex-

y

x+sin

ysin

-cos（１） (2)y¢=2xsinx+x2cosx (4)y¢=- (e-(5)y¢=-xcosx-xsinx+sinx-cosx-1 (x+sin

=sinx-cosx 已知直线l1yx2x2在点(0-2)处的切线，l2l1^求直线l2求由直线l1l2x轴所围成的三角形的面积解：设直线l1k1，直线l2k2，l^l\ 2=-=-由直线l1yx2y0由直线l2yx3y0得:x-由yx2y 1

-5[2-(-3)]=

2若函数f(x)=mx+n是R上的单调函数，则m,n应满足的条件是m„0,n˛ 函数y=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最大值、最小值分别 f(x)sinx(x˛[0,2p的单调减区间是[p,3p f(xsinx1xx˛[0,2p的最大值是p，最小值是02函数f(x)=x2ex的单调递增区间 (-∞,-2)与(0,+ 例1．f(x)=x3-3x2+2在区间-1,1上的最大值 x＝0f（x）2。侧的单调性，导数为0f(x)x3。3-1x

x2-（1）y=f(x)=

-2x+ （2）y ky=+x

(k> （4）y=2x2-ln2（1）∵ =(3x+2)(x-

x˛(-¥-)1¥y3x˛(-2,3

y<

∴(-¥,-)，(1,+¥)3

(-2,1)3¢x2（2）y=x ∴(-¥,0)，(0,+¥)k（3）y=1-x ∴x˛(-¥,-k)(k,+¥ y>0 x˛(-k,0)(0,ky<∴(-¥,-k)，(k,+¥) (-k,0)，(0,k)（4）y¢=4x-1x

4x2-x

定义域为(0,¥

x˛(0,12

y<0

x˛(2

,+¥y> )=（Ⅱ解：由已知得f'(x)=6xx-(a- x=0,x=a-1 x0(0,a-f'+0-0+f（Ⅰ）a=1f'(x=6x2f(x在(-¥+¥x0(0,a-f'+0-0+f从上表可知，函数f(x)在(-¥0)上单调递增；在(0,a-1)上单调递减；在(a-1,+¥上由（Ⅰ）a=1f(xa>1f(xx0xa-1处取得极小值1-(a-1)3关于函数f(x)=2x3-6x2+7，下列说法不正确的 （1）在区间（-¥，0）内，f(x)为增函 （2）在区间（0，2）内，f(x)为减函 对任意x，有f'(x)=4x3，f(1)=-1，则此函数 f(x)=x4- 函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是5,- 下列函数中，x=0是极值点的函数 1y=- （2）y=cos2 （3）y=tanx-

yx 函数f(x)=x3-3x2+5的单调减区间 求满足条件的a的范围 （1）使y=sinx+ax为R上增函数yx3axaR（3）f(xax3x2x5R：（1）∵y=cosx+ 由题意可知：y¢>0对"x˛R都成 ∴a>又当a=1 y=sinx+x也符合条 1

a˛[1,+¥（2）同上a˛[0,+¥ （3）同上a˛3

,+¥f(xax4lnxbx4c(x>0)x13cabc为常f(xf'(x)4ax3lnxax414bx3x3(4alnxa4bx)01)(1

3f(x是在(l,l)f(xf(x下列说法正确的是（4）。 。 若t˛R，曲线y=x3与直线y=3x-t在x˛[0,1]上的不同交点的个数有至多1 把长为60cm的铁丝围成矩形，要使矩形的面积最大，则长为15cm，宽为15cm)

yf(x在区间[-2,1]b的取值范围由fxx3ax2bxc:f¢x)3x22ax过yfx)P(1,f(1))yf(1)f¢(1x-1)即y(abc+1)(32abx-yfx)上P(1,f(1))的切线方程为:y3xa+b+c-2a+b+c-2=

2a+b=0即abc3yfx)在x2故f(-2)\-4a+b=-12由(1)(2)(3)a2,b4,cf(x)=x3+2x2-4x+f¢(x)=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=(3x-2)(x+x(-2,2323(23f+0—0+ff(x极大f(-2)(-2)32(-2)24(-2)5 yf(x)在区间[-2,1]

小‡ 1时,f¢(x) =f¢(1)=3-b+b>0 \b‡6小‡ =£6b

③在-2£6£1时,f¢(x)小= 则0£b£分析：本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设OO1的长度解：设OO1x(m),则由题设可得正六棱锥底面边长为32-(x-8+2x32-(x-8+2x-32-(x-63(82xx2)233(832-(x- 帐篷的体积为（m3V(x)=33(8+2x-x2)1(x-1)+1=3(16+12x-x32

3(12-3x2)2所以当x=2时,V(x)最大。yOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOx图 图 图 图f(xax2bxcf'(xf'(0)0xf(x)0

f(1)的最小值为3f π若0<x<，则下列命题正确的 2（1）sinx<2 （2）sinx>2 （3）sinx<3

(4)sinx>3πf(x)xlnx(x0)的单调递增区间是1+¥ P（0，2M（－1，f（－1）的切线方程为6xy70P（0，2所以f(x)=x3+bx2+cx+ f¢(x)=3x2+2bx+ 6x-y+7= 6f(-1)70,即f(-1)1,f(-1){32bc 即{2bc

b-c=f(x)=x3-3x2-3x+（Ⅱ）f¢(x3x26x3.令3x26x3即x2-2x-1= 解得x1=1-2,x2=1+x1-2,或x1+2时f¢(xfx)在(-¥,12内是增函数，在(12,12)内是减函数，在(1+2,+¥内是增函数．2上，记CD22解：（I）AB的中点O为原点建立直角坐标系Oxy（如图， 则点Cx．点Cy满足方程+=1(y0)r y2r2x20xrr2-2(x （II）记f(x)=4(x+r)2(r2-x20<x<r ) f(x在(0,)上是单调递增函数，在(,r f1rf(x2 ff1r 2x=rS2S33r22f(xtx22t2xt-1(x˛R，t0)f(xh(t

=33r2202)围．解：（Ⅰ）f(x)t(xt)2t3t-1(x˛R，t0)xtf