线性代数练习册习题及答案本1171

第四章线性方程组§4-1克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（C）A.n元齐次线性方程组必有n组解；B.n元齐次线性方程组必有n1组解；C.n元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解.2．下列说法错误的是（B）A.当D0时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当D0时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则D0；D.若非齐次线性方程组有无解，则D0.二、填空题xxx0123xxx0有非零解，1．已知齐次线性方程组123x2xx0123则1，0.2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式D0,DiD则方程组有唯一解xi.三、用克拉默法则求解下列方程组8x3y26x2y31．解：D862320235D82D16312322，D5所以，x,yD261D2Dx2xx21232xx3x12．123xxx0123121r2r110321550D2132解：1113rr0101221005D113r2r1135112011505011，121D213r2r21310212101101，122500D211r2r2115312110110x1,xD22,xD31D所以，11D2D3D2xz12x4yz13．x8y3z2201D241c2c04120000113解：183583101100D141cc14020131285283，211210D211cc2100232125123，201001D241c2c04120313182582x1,yD20,zD31D所以，1DDDxxxx51234x2xx4x24．12342x3xx5x212343xx2x11x01234解：111111111214rr012321D23153r2r10537r3r10218312114123r5r12353721013814210514218r2r35111511102214c2c22518D1322315c11c235284201000121151100102518c15c2733214222528c10c235223215111511072311012371214rr2D2215r32r2r3r1015183021147232301333031284315181237r12r31518r3r21151215101224cc352218D3122325c11c11322842310110100255210182c5c120011228c5c211551297274262131111512211512c3c152522D42312c2c113523201003120215215552rr50271426041321152r5r2Dx1,xD22,xD33,xD41所以，11D2D3D4D§4-2齐次线性方程组一、选择题1．已知mn矩阵A的秩为，是齐次线性方程组n1AX0,12k为任意常数，则方程组AX0的通解为（D）.的两个不同的解，2A.k；B.k；112C.k()；D.k().12n1解：因为mn矩阵A的秩为，所以方程组AX0的基础解系含1个向量。而,10是齐次线性方程组AX的两个不同的解，2AX0的解，则方程组AX0的通解为k()。120所以为12kxxx0123xkxx0有非零解，2．设线性方程组则正确的是（C）1232xxx0123A.k必定为0；B.k必定为1；C.k为0或1；D.这样的k值不存在.ababab11abab121nab3．A21222na0b，0(,且j1,2,,n)，(1,2,,n)iijabababn1n2nnAx0则的基础解系中含有（A）个向量.n11A.；B.n；C.；D.不确定.abababa11abab121nab1ab解：因为A212222bb12nnabababan1n2nnn所以，R(A)1；又ab0R(A)1，所以，R(A)1。11Ax0r(A)n3，且a,a,a是的三个A为n阶方阵，4．设123Ax0线性无关的解向量，则的基础解系为（A）．aa,aa,aa；B．aa,aa,aa；A．1223312132132aa,12aa,aa；D．aaa,aaa2,a．C．2132131233213二、填空题AX0有非零解的1．n元齐次线性方程组R(A)n.充分必要条件是mn(1)x2x4x01232．当0或2或32x(3)xx0有非零解.时，齐次线性方程组123xx(1)x01233,0,1T组成的22,1,0T3．写出一个基础解系由，1x2x3x0.__1齐次线性方程组___23x2x3x123程组可为xx解：方22xx33x2x3x0即123x2x3x3x7x0123453x2xxx3x0三、求解齐次线性方程组12345x2x2x6x013455x4x3x3xx012345解：12337r3r12337321130488240211121rrA1022631r5r543314106121236r(1/4)12337r(1/3)10004/301004/30122623r2rr2r003311001111/332r6r23r2r3r000003000004212x4x/315x24x/35xx11x/3，所以，同解方程组为345xx44xx5504/304/311/31,则为一组基础解系，121010所以，通解为xkk。2211

x2x2x012332xxx0的解四、已知3阶非零矩阵B的每一列都是方程组3xxx0.12123①求的值；②证明B0.①解：因为3阶非零矩阵B的每一列都是方程组的解，所以方程组有非零解。1220系数行列式A1。21311②证明：依题意，ABO。假设B0，则B可逆，ABOABB1OB1AO，矛盾。所以，B0。AB0R(A)R(B)n.补充：求证：A,B，mnnp,,都是齐次线性方程组p证明：依题意，矩阵B的所有列向量1Ax0的解，而Ax0解空间的维数是nR(A)，R(A)R(B)n。所以，R(B)R(,,)nR(A)，即1p§4-3非齐次线性方程组一、选择题1．若R(A)rn，则n元线性方程组AXbD.mnA.有无穷多个解；B.有唯一解；C.无解；D.不一定有解.xx12．线性方程组（A）.12xx012A.无解；B.只有0解；C.有唯一解；D.有无穷多解.x1x2xxx13有唯一解，则应满足（A）.3．方程組x312x1xx2231,2；B.1,2；A.C.1,2；D.1,2.1100a10110a，b4．设A＝2，Axb有解的充分必要条件为（D）．0011a10013a4A.aaaa；B.aaaa1；12341234C.aaaa0；D.aaaa0.12341234二、填空题1．n元非齐次线性方程组AXb有解的充分必要条件是R(A)R(A,b).mn2．若5元线性方程组AXb的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则rA3.3．设有一个四元非齐次线性方程组AXb，R(A)3，又是它的三个,,123(1,0,1,3)T，则非齐次线性方程组的23(1,1,0,2)解向量，其中，T12通解为k(0,1,1,1)T(1,1,0,2)T.3解：因为是AXb三个解向量，则,,123()()(1,1,0,2)T(1,0,1,3)T(0,1,1,1)T00是AX的解，122而R(A)3，所以(0,1,1,1)是AX的一组基础解系，0T1又()1(1,1,0,2)AXb是的解，T2212AXbk(0,1,1,1)T(1,1,0,2)T所以，的通解为2x3yz4x2y4z5三、求解非齐次线性方程组3x8y2z134xy9z6解：231410211245r0112A=38213~000041960000x2z1yz2同解方程组为zz21令为一组基础解系121xyc12,(cR)则通解为z10xaxx3123x2axx4四、a,b取何值时，线性方程组123xxbx4123（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？说明:对于方程个数与未知量个数相等的含参数的线性方程组,判别其由唯一解,有无穷解或无解时最好用:方程组有唯一解系数行列式|A|0,此种方法简单又不容易出错.解:方程组有唯一解系数行列式|A|