XX选考高考物理一轮复习 增分突破六 数学应用类专题

PAGE增分突破六数学应用类专题增分策略应用数学处理物理问题的能力是指能够根据具体问题列出物理量之间的关系式,进行推导和求解,并根据结果得出物理结论;必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、求解。能根据具体的物理问题列出物理量之间的关系,能把有关的物理规律、物理条件用数学方程表示出来。在解决物理问题时,往往需要经过数学推导和求解,或用合适的数学处理,或进行数值计算;求得结果后,有时还要用图像或函数关系把它表示出来;必要时还应对数学运算的结果作出物理上的结论或解释。分类突破考点一估算法物理估算题,一般是指依据一定的物理概念和规律,运用物理方法和近似计算方法,对所求物理量的数量级或物理量的取值范围,进行大致的、合理的推算。其特点是在“理”不在“数”,它要求考生在分析和解决问题时,要善于抓住事物的本质特征和影响事物发展的主要因素,忽略次要因素,从而使问题得到简捷的解决,迅速获得合理的结果。1.图示为高速摄影机拍摄到的子弹穿透苹果瞬间的照片。该照片经放大后分辨出,在曝光时间内,子弹影像前后错开的距离约为子弹长度的1%~2%。已知子弹飞行速度约为500m/s,由此可估算出这幅照片的曝光时间最接近()A.10-3s B.10-6s C.10-9s D.10-12s答案B子弹的长度约5cm,t===10-6s。2.下列表述中最符合实际情况的是()A.某高中同学做一次引体向上的上升过程中克服重力做功约为25JB.将一个鸡蛋从胸前举过头顶,克服重力做功约为10JC.篮球从2m高处自由下落到地面的过程中,重力做功的功率约为20WD.某高中同学步行上楼时克服重力做功的功率约为10kW答案C高中同学质量约为50kg,引体向上中心上移的距离为30cm,因此克服重力做功为Ep=mgh=150J,选项A错误;鸡蛋的重量约为50g,从胸前举过头顶的距离约为1m,则克服重力做功为Ep=mgh=0.5J,选项B错误;一个篮球质量约为600g,自由落体到地面重力做功为W=mgh,下落时间t=,代入则P==W≈20W,选项C正确;同学步行上楼克服重力做功的功率不可能达到10000W,超过了好几匹马的功率,违背常识,因此选项D错误。3.玉环文旦是浙江柚类水果中的优良品种之一。一般产果3~5年文旦树经过修剪后比一个正常成人身高略高,果家在采摘过程中,使得该树的顶部有一颗成熟的文旦脱落掉下来,下落过程中没有受到其他碰撞,试估算该文旦落地的速度约为()A.4m/s B.6m/s C.8m/s D.9m/s答案B文旦在下落过程中可以看做自由落体运动,下落高度约为2m,一个文旦落地的速度为v=≈6m/s,选项B正确。4.为估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强,小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台,测得1小时内杯中水位上升了45mm。查询得知,当时雨滴竖直下落速度约为12m/s,据此估算该压强约为(设雨滴撞击睡莲后无反弹,不计雨滴重力,雨水的密度为1×103kg/m3)()A.0.15Pa B.0.54Pa C.1.5Pa D.5.4Pa答案A设水杯底面积为S,1小时内下落的水总质量m=ρSh,其动量变化量Δp=mΔv,水撞击杯底产生的压力F=p'S,对水由动量定理Ft=Δp,解得p'==0.15Pa,故A项正确。5.人的心脏每跳一次大约输送8×10-5m3的血液,正常人血压(可看做心脏压送血液的压强)的平均值为1.5×104Pa,心跳约每分钟70次。据此估测心脏工作的平均功率约为W。

答案1.4解析即设一根血管截面积为S,长为L,该心脏对血液的压强为p,一次搏动中可使血液在血管中向前推进L的长度,则心跳70次,心脏工作的平均功率为:====W=1.4W。考点二利用数学知识求极值1.如图所示,固定木板AB倾角θ=60°,板BC水平,AB、BC长度均为2m,小物块从A处由静止释放,恰好滑到C处停下来。若调整BC使其向上倾斜,倾角不超过90°,小物块从A处由静止滑下再沿BC上滑,上滑的距离与BC倾角有关。不计小物块经过B处时的机械能损失,小物块与各接触面间的动摩擦因数均相同,则小物块沿BC上滑的最小距离为()A.m B.1m C.m D.m答案BBC段水平时,对小物块从释放到第一次速度为零的过程,由动能定理得:mgLsinθ-μmgLcosθ-μmgL=0,代入数据得:μ=,设BC与水平方向之间的夹角为α时,物块沿BC上滑的距离最小,由动能定理得:mgLsinθ-μmgLcosθ-μmgxcosα-mgxsinα=0,变形得:x=,当cos(φ+α)=1,即φ+α=90°时,x有最小值,为x==m=1m,故A、C、D错误,B正确。2.如图所示,用两根长度均为l的轻绳将一重物悬挂在水平的天花板下,轻绳与天花板的夹角为θ,整个系统静止,这时每根轻绳中的拉力为T。现将一根轻绳剪断,当小球摆至最低点时,轻绳中的拉力为T'。θ为某一值时,最大。此最大值为()A. B.2 C.3-2 D.答案A由受力分析可知,初始时,绳子拉力T=,当剪断其中一根轻绳后,小球做圆周运动到最低点时,合外力提供小球做圆周运动的向心力T'-mg=,又根据机械能守恒得mgl(1-sinθ)=mv2,联立两式可得T'=mg(3-2sinθ);则=6sinθ-4sin2θ=-4+,最大值为=,故选A。3.如图所示,山高为h,山顶A到山下B处的水平距离为s,现要修一条水道ACB,其中AC为斜面,若不计一切摩擦,则斜面AC的倾角θ为多大时,方可使物体由A点静止释放后滑到B点历时最短?最短时间为多长?答案见解析解析由于物体从倾角为θ的斜面上静止释放后做的是初速度为零、加速度为gsinθ的匀加速直线运动,进入水平面后将做匀速直线运动,于是有=gsinθv=gt1sinθs-=vt2消去t1、t2、v可把t表示为θ函数t=+·上述函数的复杂性将使得其极值点与极值的求解较为困难,可进行如下处理,将其转换成典型的函数类型进而求解。相应的方程及所得函数如下,取x=整理可得xsinθ+cosθ=2这是典型的“f(θ)=asinθ+bcosθ”函数类型,由此可得sin(θ+α)=2于是有x=≥可见:当θ=60°时,时间最短,最短时间为tmin=+4.在电影中,“蜘蛛侠”常常能通过发射高强度的蜘蛛丝,穿梭于高楼大厦之间,从而成就了一系列的超级英雄传说。在某次行动中,蜘蛛侠为了躲避危险,在高为hA=20m的A楼顶部经过一段距离L0=14.4m的助跑后从N点水平跳出,已知N点离铁塔中轴线水平距离为L=32m,重力加速度为g=10m/s2,假设蜘蛛侠可被看做质点,蜘蛛丝不能伸长。(1)要使蜘蛛侠能落到铁塔中轴线上,他跳出的初速度至少为多少?(2)由于体能的限制,蜘蛛侠助跑的最大加速度为5m/s2,在跳出1.6s后发现按照预定路线不能到达铁塔中轴线上,于是他立即沿垂直速度方向朝铁塔中轴线上某位置P发射蜘蛛丝,使得他在蜘蛛丝的作用下绕P点运动,假设蜘蛛丝从发射到固定在P点的时间可忽略不计,请问他能否到达铁塔中轴线上?如果能,请计算出到达的位置,如果不能,请说明原因。(3)蜘蛛侠注意到在铁塔后方有一个小湖,他决定以5m/s2的加速度助跑后跳出,择机沿垂直速度方向朝铁塔中轴线上某位置发出蜘蛛丝,在到达铁塔中轴线时脱离蜘蛛丝跃入湖中,假设铁塔足够高,欲使落水点最远,他经过铁塔的高度为多少?答案(1)16m/s(2)能到达铁塔中轴线上,离地面0.8m处(3)13.6m解析(1)当蜘蛛侠跳到铁塔的最底端时,下落距离hA=20m,hA=gt2①L=v0t②由①②式得:v0=16m/s。(2)在助跑阶段,以最大加速度a=5m/s2匀加速运动,设跳出速度为vx,则=2aL0③设跳出t0=1.6s后,水平位移为x1、竖直位移为y1、竖直速度为vy,则x1=vxt0④y1=g⑤速度与水平方向夹角tanθ=⑥由几何关系,R=,离地面高度h=hA-y1-R(1-cosθ)⑦由③④⑤⑥⑦式得:h=0.8m能到达铁塔中轴线上,离地面0.8m处。(3)设蜘蛛侠经过铁塔的位置高度为y,在他脱手时的速度为v,落水点离铁塔的水平距离为x,则mv2-m=mg(hA-y)⑧y=gt'2⑨x=vt'⑩代入数据,x=由数学知识可知,当y=13.6m时,水平距离x可取最大值。考点三平面几何的应用物理教与学的过程都离不开数学知识和方法的应用,借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题,平面几何知识是在物理教学过程中应用较广泛的数学知识之一。应用几何方法求解物理问题时,常用到的有“对称点的性质”、“平行四边形对角线互相平分”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关几何知识。1.运用平行四边形性质两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。有时解决物理问题可以运用平行四边形的性质:①平行四边形两组对边分别平行且相等;②平行四边形的两组对角分别相等;③平行四边形的对角线互相平分等。1.如图所示,固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮,以大小恒定的拉力F拉绳,使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1、W2,滑块经B、C两点时的动能分别为EkB、EkC,图中AB=BC,则一定有()A.W1>W2 B.W1<W2C.EkB>EkC D.EkB<EkC答案A如题图所示,滑块从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F作用点的位移大小分别为(OA-OB)和(OB-OC),则W1=F(OA-OB)、W2=F(OB-OC)。过A、C分别作OC、OA的平行线交于D点,则四边形OADC为平行四边形,如图所示,由平行四边形性质得:OB=BD、AB=BC。在△OAD中有OA+AD>OD,因AD=OC,OB=BD则有OA+OC>2OB。即OA-OB>OB-OC,得W1>W2,故选项A正确。由于滑块在A点由静止释放,可以肯定最初滑块是加速上升的,也就是说刚开始绳对滑块拉力的竖直分力要大于滑块的重力,但由于绳对滑块拉力的竖直分力是逐渐减小的,B到C的过程绳对滑块拉力的竖直分力与重力的大小关系不清楚,所以滑块的运动可能是加速的,也可能是减速的,还可能是先加速后减速的,所以无法确定滑块在B、C位置的动能大小,故选项C、D错误。2.运用相似三角形性质对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。有时解决物理问题可以运用相似三角形的一些性质:①对应角相等;②对应边成比例;③对应的垂线、中线、角平分线成比例。2.一个重为G的小环套在竖直放置的半径为R的光滑大圆环上,一个劲度系数为k,原长为l0(l0<2R)的轻弹簧,一端固定在大圆顶点A,另一端与小环相连,小环在大圆环上无摩擦滑动,小环静止于B点时,如图所示,求弹簧与竖直方向的夹角θ。答案见解析解析本题中小环受力分析如图所示,小环所受的3个力G、N、F之间没有特殊角度,无法通过三角函数列方程求解,但是可以看出△AOB和3个力G、N、F所围成的三角形相似、则由相似三角形的性质得=,式中l=2Rcosθ,F=k(l-l0)。根据上述方程联立求出cosθ=,则弹簧与竖直方向的夹角θ满足cosθ=。在对物体受力分析过程中,若各力之间没有特殊角度但边长关系知道的情况下,可以考虑运用相似三角形的性质来解决,再如下一个动态平衡问题。3.运用圆的几何性质有时解决物理问题可以运用圆的性质,例如:①垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;②直径所对的圆周角是直角;③圆的切线垂直于过切点的直径等。3.(多选)在共点力合成的实验中橡皮筋一端固定于P点,另一端连接两个弹簧测力计,并使该端拉至O点,两个弹簧测力计的拉力分别为F1、F2(α+β<90°),如图所示。现使F2大小不变地沿顺时针转过某一角度,要使结点仍在O处,相应地使F1的大小及图中β角发生变化。则相应的变化是()A.F1一定增大 B.F1可能减少C.β角一定减小 D.β角可能增大答案AD由于F2大小不变,则可以运用圆的性质来解决本题,以O点为圆心,F2的长度为半径画圆,如图所示,F2在沿顺时针方向转动过程中,合力的大小、方向不变,两个分力与合力构成一个矢量三角形,在转到图中F2'的位置(此时F1与圆相切,即F1'⊥F2')过程中,β角增大到最大,F1增大,继续转到图中F2″的位置,β角减小到与原来相等,F1继续增大,可见F2绕O点顺时针转动过程中,F1一直增大,而β角是先增大后减小,故选项A、D正确。考点四微元法的应用1.运动轨迹既不是抛物线也不是圆周的曲线运动,称为一般的曲线运动,研究一般的曲线运动,可以把曲线分隔成许多小段,分析质点在每一小段的运动时,下列方法错误的是()A.每一小段的运动可以看成直线运动B.每一小段运动中物体受到的合力为零C.每一小段运动中物体受到恒力的作用D.每一小段运动可以看成圆周运动的一部分答案B把曲线分隔成许多小段,每一小段的运动可以看成直线运动,故A项正确。把曲线分隔成许多小段,每一小段运动中物体受到的力可视为不变但不为零,故B项错误,C项正确。把曲线分隔成许多小段,每一小段运动可以看成曲率半径不同的圆周运动的一部分,故D项正确。本题选错误的,答案为B。2.(多选)在竖直平面内固定一半径为R的金属细圆环,质量为m的金属小球(视为质点)通过长为L的绝缘细线悬挂在圆环的最高点。当圆环、小球都带有相同的电荷量Q(未知)时,发现小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态,如图所示。已知静电力常量为k,则有()A.绳对小球的拉力T'=B.电荷量Q=C.绳对小球的拉力T'=D.电荷量Q=答案AB由于圆环不能看成点电荷,我们取圆环上一部分Δx,设总电荷量为Q,则该部分电荷量为Q,由库仑定律可得,该部分对小球的库仑力F1=,方向沿该点与小球的连线指向小球;同理取以圆心对称的相同的一段,其库仑力与F1相同;如图1所示:两力的合力应沿圆心与小球的连线向外,大小为:2××=;因圆环上各点对小球均有库仑力,故所有部分库仑力的合力F=×πR=,方向水平向右;小球受力分析如图2所示,小球受重力、拉力及库仑力而处于平衡,故T与F的合力应与重力大小相等,方向相反;由几何关系可得:=;则小球对绳子的拉力T=,故A正确、C错误。由=,得:F==,解得Q=,故B正确、D错误。故选A、B。3.(多选)如图所示,宽为L的水平光滑金属轨道上放置一根质量为m的导体棒MN,轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R的电阻连接,匀强磁场的方向与轨道平面垂直,磁感应强度大小为B,电容器的电容为C,金属轨道和导体棒的电阻不计。现将开关拨向“1”,导体棒MN在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动,经时间t0后,将开关S拨向“2”,再经时间t,导体棒MN恰好开始匀速向右运动。下列说法正确的是()A.开关拨向“1”时,金属棒做加速度逐渐减小的加速运动B.t0时刻电容器所带的电荷量为C.开关拨向“2”后,导体棒匀速运动的速率为D.开关拨向“2”后t时间内,导体棒通过的位移为答案BCD开关拨向“1”时,设在极短时间Δt内流过导体棒的电荷量为ΔQ,则电路中的瞬时电流为I=,电容器两端的电压U=BLv,电荷量Q=CU,则ΔQ=CΔU=CBLΔv,可得I=CBL=CBLa;对导体棒,由牛顿第二定律得F-BIL=ma,联立得导体棒的瞬时加速度为a=,由于加速度表达式中的各个物理量都不随时间、位移变化,由此可知导体棒的加速度不变,即导体棒做匀加速直线运动,选项A错误。t0时刻导体棒MN的速度v=at0,电容器两极板间的电压U=BLv=BLat0,电荷量Q=CU,则Q=,选项B正确。由F安=BIL,I=,E=BLv,联立解得F安=,开关拨向“2”后,导体棒匀速运动时,有F=F安,解得v=,选项C正确。开关拨向“2”后t时间内,根据牛顿第二定律得F-F安=F-=ma=m,则FΔt-Δt=mΔv,得Ft-=m,解得位移x=,选项D正确。4.如图所示,在空中有一水平方向的匀强磁场区域,区域的上下边缘间距为h,磁感应强度为B。有一长度为L、宽度为b(b<h)、电阻为R、质量为m的矩形线圈紧贴磁场区域的上边缘从静止起竖直下落,当线圈的下边穿出磁场时,恰好以速率v匀速运动。已知重力加速度为g,求(1)线圈匀速运动的速率v;(2)穿过磁场区域过程中,线圈中产生的热量Q;(3)线圈穿过磁场区域所经历的时间t。答案(1)(2)mg(b+h)-(3)+解析(1)线圈匀速穿出磁场,产生的感应电动势为E=BLv回路中的电流为I=此时线圈受到竖直向上的安培力F=BIL由平衡条件得F=mg所以v=(2)线圈穿过磁场区域过程中,由功能关系mg(b+h)=mv2+Q所以Q=mg(b+h)-(3)线圈进入磁场过程中,下边进入磁场时线圈的速率为0,上边进入磁场时线圈的速率为v1。当其速率为v时,由牛顿运动定律mg-=ma又a=整理,得mgΔt-vΔt=mΔv求和,得mg(ΣΔt)-(ΣvΔt)=m(ΣΔv)所以mgt1-b=mv1故t1=+接着线圈在磁场以g匀加速运动,有t2=最后线圈匀速穿出磁场,有t3=所以t=t1+t2+t3=+考点五数列在物理中的应用1.(2018浙江4月选考,20,12分)如图所示,一轨道由半径为2m的四分之一竖直圆弧轨道AB和长度可调的水平直轨道BC在B点平滑连接而成。现有一质量为0.2kg的小球从A点无初速释放,经过圆弧上B点时,传感器测得轨道所受压力大小为3.6N,小球经过BC段所受的阻力为其重力的0.2,然后从C点水平飞离轨道,落到水平地面上的P点,P、C两点间的高度差为3.2m。小球运动过程中可视为质点,且不计空气阻力,g=10m/s2。(1)求小球运动至B点时的速度大小;(2)求小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功;(3)为使小球落点P与B点的水平距离最大,求BC段的长度;(4)小球落到P点后弹起,与地面多次碰撞后静止。假设小球每次碰撞机械能损失75%,碰撞前后速度方向与地面的夹角相等。求小球从C点飞出到最后静止所需时间。答案(1)4m/s(2)2.4J(3)3.36m(4)2.4s解析(1)由牛顿第三定律得小球运动至B点时轨道对小球的支持力N=3.6N由向心力公式得,N-mg=m解得vB=4m/s。(2)小球从A到B的过程中,重力和摩擦力做功,设小球克服摩擦力所做的功为W克。由动能定理得mgR-W克=m-0解得W克=2.4J。(3)分析知,BC段长度会影响匀减速运动的时间,继而影响平抛运动水平初速度以及水平位移。设BC段运动时间为t,加速度a==μg=2m/s2由运动学公式得vC=vB-at=4-2t(m/s)①xBC=vBt-at2=4t-t2(m)②其中0<t<2s由平抛运动规律有h=g③xCP=vCt1④由①③④可得xCP=3.2-1.6t(m)⑤则由②⑤可得xBP=xBC+xCP=-t2+2.4t+3.2(m)⑥根据二次函数单调性以及t的范围,可得当t=1.2s时,xBP取到最大值。代入②式,解得xBC=3.36m。(4)由于碰撞前后速度方向与地面夹角相等,所以碰撞前后水平速度与竖直速度比例不变。每次碰撞机械能损失75%,故每次碰撞合速度与分速度大小均变为原来的。设第n次损失后的竖直分速度为vyn,从第n次碰撞到第n+1次碰撞的时间为tn。由平抛运动方程得vy0==8m/s⑦t0==0.8s⑧则vyn=vy0·(n=1,2,3,…)⑨tn=2·⑩将式⑦⑧⑨代入⑩可得tn=t0(n=1,2,3,…)由等比数列求和公式可得t总=t0+t1+…tn+…=0.8+(s)当n取无穷大,小球处于静止状态解得t总=2.4s。2.如图所示,在光滑水平面上有一质量为2018m的木板,板上有2018块质量均为m的相同木块1、2、…、2018。最初木板静止,各木块分别以v、2v、…、2018v同时向同一方向运动,木块和木板间的动摩擦因数为μ,且木块