新高考一轮复习讲义：第12讲 对数与对数函数（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page1818页，共=sectionpages1818页第12讲对数与对数函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，令，则，所以，因此，.故选：B.2．（2022·浙江·高考真题）已知，则（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【解析】因为，，即，所以．故选：C.3．（2022·天津南开·三模）函数，的图象大致为（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，函数，当时，可得，所以，且，所以，可排除A、B、C.故选：D.4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（

）A．当，时，二氧化碳处于液态B．当，时，二氧化碳处于气态C．当，时，二氧化碳处于超临界状态D．当，时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，时对应的是非超临界状态，故C错误.当，时，因,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D5．（2022·全国·高三专题练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【解析】因为函数的值域为R，所以取得一切正数，即方程有实数解，得，解得或；又函数在上是增函数，所以函数在上是减函数，且在上恒成立，则，解得，综上，实数a的取值范围为或.故选：B6．（2022·重庆八中模拟预测）若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：当时，，因为函数在区间内恒有，，函数，由和复合而成，因为时，在上是增函数，所以只要求的单调增区间．的单调递增区间为，的单调增区间为，故选：．7．（2022·北京·北大附中三模）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：依题意，等价于，在同一坐标系中作出，的图象，如图所示：如图可得的解集为：.故选：D.8．（2022·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：依题意且，所以，解得或，综上可得，令的根为、且，，，若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；故选：A9．（多选）（2022·山东枣庄·三模）已知、，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A选项，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，，B对；对于C选项，取，，则，此时，C错；对于D选项，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，因为，则，D对.故选：ABD.10．（多选）（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数在上先增后减，函数在上先增后减.若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】∵，∴，，∴.设，∵，，在上先增后减，∴.∵，∴，，∴，∴.∵，∴设，∵，，在上先增后减，∴.∴.故选：BC.11．（2022·河北廊坊·模拟预测）已知，则，则A等于__________．【答案】【解析】∵,∴，.∴，.又∵,,即，∴，.故答案为：12．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设函数，则___________，若，则实数a的取值范围是___________.【答案】

【解析】等价于①或②由①得；由②得，则实数a的取值范围是故答案为：；13．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知实数满足，则的最小值是_______．【答案】16【解析】∵，则可得∴∵当且仅当时等号成立∴故答案为：16．14．（2022·广东·模拟预测）已知，且，则之间的大小关系是__________.（用“”连接）【答案】【解析】解：函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为函数在上递增，所以函数在上递增，则，因为，所以，，所以，所以，即.故答案为：.15．（2022·北京·北大附中三模）对于函数和，给出下列四个结论：①设的定义域为，的定义域为，则是的真子集.②函数的图像在处的切线斜率为0.③函数的单调减区间是，.④函数的图像关于点对称.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①③④【解析】对于①，由题意得，函数的定义域，函数的定义域.所以是的真子集，则①正确.对于②，，则在处的切线斜率，则②错误.对于③，的定义域是，而函数在区间，上都是单调递减且值为正，又因为函数在其定义域上单调递增，因此复合后得到的在这两个区间上也是单调递减，则③正确.④只需验证：当时，，则④正确.故答案为：①③④.16．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，，若，且在为增函数，求实数m的取值范围.【解】解：因为函数，，又，且在为增函数，所以，解得，所以实数m的取值范围为.17．（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）已知函数.（1）求不等式的解集;（2）若方程在区间内有个不等实根，求的最小值.【解】解:（1）因为，所以，所以为偶函数﹐令在上递减，而函数为增函数，所以函数在区间内单调递减，又，所以，解得或综上，原不等式的解集是（2）设，则.因为方程在区间内有个不等实根﹐所以方程有个不等实根，其中，所以即，解得，则，所以，所以当，即时有最小值，最小值为.【素养提升】1．（2022·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.2．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知是奇函数，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为是奇函数，当时，；所以当时，；当时，则，所以.因为是奇函数，所以，所以.即当时，.综上所述：.令，则，所以不等式可化为：.当时，不合题意舍去.当时，对于.因为在上递增，在上递增，所以在上递增.又，所以由可解得：，即，解得：.故选：C3．（2022·山东临沂·模拟预测）定义“正对数”：，现有四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则，其中错误命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因为定义的“正对数”：是一个分段函数，所以对命题的判断必须分情况讨论：对于命题①（1）当，时，有，从而，，所以；（2）当，时，有，从而，，所以；这样若，则，即命题①正确.对于命题②举反例：当时，，，所以，即命题②不正确.对于命题③，首先我们通过定义可知“正对数”有以下性质：，且，（1）当，时，，而，所以；（2）当，时，有，，而，因为，所以；（3）当，时，有，，而，所以；（4）当，时，，而，所以，综上即命题③正确.对于命题④首先我们通过定义可知“正对数”还具有性质：若，则，（1）当，时，有，从而，，所以；（2）当，时，有，从而，，所以；（3）当，时，与（2）同理，所以；（4）当，时，，，因为，所以，从而，综上即命题④正确.通过以上分析可知：错误的命题为②.故选：A4．（多选）（2022·山东济南·三模）已知函数，．若实数a，b(a，b均大于1)满足，则下列说法正确的是(

)A．函数在R上单调递增B．函数的图象关于中心对称C．D．【答案】AD【解析】对于A，，在上恒成立，定义域为，即的定义域关于原点对称，，为奇函数，函数的图象关于点中心对称，，，在上单调递增，函数在上单调递增，函数在上单调递增，故A正确；对于B，，，函数的图象关于点中心对称，故B错误；对于C，函数的图象关于点中心对称，，，，，相当于向左平移1个单位，和单调性相同，函数在上单调递增，，，，故C错误；对于D，令，，令，则在上单调递增，，，在上单调递减，，，，故D正确．故选：AD．5．（2022·浙江·效实中学模拟预测）若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是___________.【答案】【解析】原不等式或，因为,所以（1）或（2）.当时，（2）成立，此时.当，时，（1）成立，因为在（1）中，，令，则为单调递增函数，所以要使（1）对，成立，只需时成立.又时，.所以使不等式对任意的正整数恒成立，的取值范围是：.故答案为：6．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数在其定义域上是奇函数，a为常数．(1)求a的值．(2)证明：在上是增函数．(3)若对于上的每一个x的值，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解】(1)解：由题意，是奇函数，故，即，即，