江苏省南通市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)

期末考试试题(高中)PAGEPAGE1江苏省南通市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，则在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限〖解析〗由，得，在复平面内复数对应的点的坐标为，位于第三象限．〖答案〗C2．某种彩票中奖的概率为，这是指A．买10000张彩票一定能中奖 B．买10000张彩票只能中奖1次 C．若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖 D．买一张彩票中奖的可能性是〖解析〗如果某种彩票的中奖概率为，则买10000张这种彩票仍然是随机事件，即买10000张彩票，可能有多张中奖，也可能不能中奖，排除A，B；若买9999张彩票未中奖，则第10000张也是随机事件，且发生概率仍然是，故A错误，这里的中奖的概率为，是指买一张彩票中奖的可能性是，故D正确．〖答案〗D3．已知，则A． B． C． D．〖解析〗，．〖答案〗A4．已知两个单位向量，的夹角为，若，则A．3 B． C． D．1〖解析〗因为，即，所以．〖答案〗C5．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥侧面积之比为A．1 B． C． D．〖解析〗如图，设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，为的中点，则由题意得：，则设以该四棱锥的高为边长的正方形面积为，设该四棱锥侧面积为，所以．〖答案〗D6．已知，是两个不重合的平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是A．若，，，则B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则〖解答〗对于A，若，，，可将，平移至相交直线，由公理3推论2，确定一个平面，由线面垂直的性质可得，的交线垂直于平面，进而得到垂直于和，的交线，且和，的交线与，或其平行线能围成矩形，由面面垂直的定义，可得，则A正确；对于B，若，，，当，都平行于，的交线，则条件满足，则，相交成立，则B错；对于C，若，，，则，可能平行、可能异面、可能相交，所以C错；对于D，若，，，则，可能平行、可能异面、可能相交，所以D错．〖答案〗A7．已知为锐角三角形，，，则的取值范围为A． B． C． D．〖解析〗由于为锐角三角形，故，整理得；故由正弦定理得：，整理得，由于，所以．〖答案〗C8．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立〖解析〗连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，．其中事件包括：，，，，，，，．事件包括：，，，，，，，，，，事件包括：，，，，，，，，事件包括：，，，，，，，，对于A：因为事件与有相同的基本事件，，，，，故与互斥不成立，故A错误；对于B：因为事件与有相同的基本事件，，，，，故与对立不成立，故B错误；对于C：因为（A），（B），，因为（A）（B），所以与不是相互独立，故C错误；对于D：因为（A），（C），而，因为两个事件的发生与否互不影响且（A）（C），所以与相互独立，故D正确．〖答案〗D二、选择题.本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．对于一组数据2，3，3，4，6，6，8，8，则A．极差为8 B．平均数为5 C．方差为 D．40百分位数是4〖解析〗数据2，3，3，4，6，6，8，8，极差是，故A错误，平均数是，故B正确，方差，故C正确，由，是第四个数，得40百分位数是4，故D正确．〖答案〗BCD10．已知正六边形的中心为，则A． B． C．存在， D．〖解析〗对A：因为六边形，所以，，，所以，故A正确；对，故B不正确；对C：以为原点，建立坐标系，则设正六边形的边长为，则，，，，，，，，则，，，，所以存在，使得，所以C正确；对D：设正六边形边长为，，，故D正确．〖答案〗ACD11．在中，内角，，所对的边分别为，，，三条中线相交于点．已知，，的平分线与相交于点，则A．边上的中线长为 B．内切圆的面积为 C．与面积之比为 D．到的距离为〖解析〗如下图，取，，边上的中点，，，则边上的中线为，则，，又因为，则，则．故A不正确；因为，设内切圆的为，，则，则，内切圆的面积为：，故B正确．对于C，由角平分线定理知：，所以C正确；对于D，因为，在三角形和三角形中，，则，解得：，所以，所以，所以，所以到的距离为：，故D不正确．〖答案〗BC12．已知函数，则A．的最小正周期为 B．函数在，上单调递减 C．当时，， D．当函数在，上有4个零点时，〖解析〗依题意，，，函数部分图像如图：函数是周期函数，周期为，故A正确；若函数在，上单调递减，则在，上单调递减，从图中可知，B不正确．因且，则当时，且，则，，，，因此，，，故C正确；函数在，上有4个零点时，即，则与的图像在，上有四个交点，所以，或，所以，或，故D不正确．〖答案〗AC三、填空题.本题共4小题，每小题5分，共20分.13．．〖解析〗原式．〖答案〗14．已知向量，，则在的投影向量的坐标为．〖解析〗向量，，所以在的投影向量为，．〖答案〗15．写出一个同时具有下列性质①②的复数．①的实部小于0；②．〖解析〗设，，的实部小于0，，取，则．．．〖答案〗（〖答案〗不唯一）16．已知菱形的边长为2，．将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体．当二面角的大小为时，四面体的体积为；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为．〖解析〗如图1，过点作交的延长线于点，则，因为菱形的边长为2，，所以，，故四面体的体积为；当四面体的体积为1时，此时，解得：，，即，两点重合，即底面，如图2，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线为以为圆心，半径为的圆，落在内部的长为圆周长的一半，所以长度为．〖答案〗，四、解答题.本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知，，，．（1）若，求；（2）若，求．解：（1）因为，，，所以，因为，所以，因为，所以，；（2）因为，又，所以，，所以．18．（12分）立德中学高一年级800名学生参加某项测试，测试成绩均在65分到145分之间，现随机抽取50名学生的测试成绩，分8组：第1组，，第2组，，，第8组，，统计得到频率分布直方图，如图所示．（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计学生测试成绩的平均数；（3）估计学生测试成绩的中位数．解：（1）由频率分布直方图中各个小矩形面积之和为1可得：，解得．（2）平均数为：．（3），，中位数落在区间，，设中位数为，则，解得，即中位数的估计值为100.29．19．（12分）已知向量，．（1）若，求；（2）若，函数，求的值域．解：（1）因为，所以，即，则，所以；（2）因为，所以，，所以，设，则，因为，，所以，，设，，，由二次函数性质可得：，，故的值域为，．20．（12分）甲、乙两人分别对，两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响．已知甲击中，的概率均为，乙击中，的概率分别为，．（1）求被击毁的概率；（2）求恰有1个目标被击毁的概率．解：（1）被击毁则甲、乙两人均要击中目标，故概率为．（2）被击毁的概率为，则被击毁，不被击毁的概率为，被击毁，不被击毁的概率为，则恰有1个目标被击毁的概率为．21．（12分）在四边形中，．（1）若，，，求四边形面积的最小值；（2）若四边形的外接圆半径为1，，求的最大值．解：（1）延长，相交于点，，是边长为2的正三角形，的面积为，在中，，由余弦定理得，，即，则，（当且仅当时，等号成立）的面积，的面积的最大值为，四边形面积的最小值为．（2）四边形存在外接圆，，，，，四边形为等腰梯形．连接，设，，，的外接圆半径为1，在中，由正弦定理得，，，．同理可得，在中，由正弦定理可得，，，设，得，，，时，等号成立），，时，等号成立），当时，取得最大值．22．（12分）如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，直线与平面所成角的大小为．①画出平面与平面的交线，并写出画图步骤；②求的最大值．（1）证明：因为，所以，所以，因为四棱柱为直四棱柱，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面；（2）解：