一动一静弹性碰撞公式

一动一静弹性碰撞公式由于弹性碰撞后的速度公式不好推导，该公式又比较繁杂不好记。因此导致这类考题的得分率一直较低。下面探讨一下该公式的巧记方法。一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为叫的小球，以速度*与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？*、、、、、、&、图1设碰撞后它们的速度分别为*'和，2‘，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得：TOC\o"1-5"\h\zm1v1=m1v1f+m2v2/ ①2 13疽,2\o"CurrentDocument"2 2 ②由①吗脚-¥）二吗由 ③由②派应-讨卜咛f ④由④/③月用=由联立①⑤解得曜1+%七= V]处f ⑦上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度V共，由动量守恒定律得：m1v1=（m1+m2）v共解出v共=m1v1/（m1+m2）。而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2继续受到向前的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即吗+楸』，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住，⑥式也就不难写出了。如果⑥式的分子容易写成m2-m1,则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2,碰撞后乒乓球被反弹回，因此vj应当是负的（vj<0），故分子写成m1-m2才行。在“验证动量守恒定律”的实验中，.哪一件七二——h要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2,也可由⑥式 咧+他解释。因为只有m1>m2,才有*'>0。否则，若*'<0,即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回来时速度已经变小了，不再是原来的*'了。另外，若将上面的⑤式变形可得:，即碰撞前两球相互靠近的相对速度*—0等于碰撞后两球相互分开的相对速度”；-*。由此可轻松记住⑤式。再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为/和，2,求两球碰撞后各自的速度？图2设碰撞后速度变为*'和，2‘，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得：TOC\o"1-5"\h\zmv+mv=mv'+mv' ①].]2^2]，] 2^2 /②由① = ③由②My?顷卜泓朋f?） ④由④/③料+巧=仍+巧⑤由③⑤式可以解出vf=（网1_的81+2椭洸,L %+% ⑥W=〔轮_幌》2+2毗33" F吗 ⑦要记住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推导也很费时间。如果采用下面等效的方法则可轻松记住。m1、m2两球以速度*和v2发生的对心弹性碰撞，可等效成m1以速度v1去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度％碰静止的m1球。因此由前面“一动碰一静”的弹性碰撞公式，可得两球碰撞后各自的速度对二（〜的）V]初什 2冲〔％—洛iM1 四+峰+^f；料=簪+的+明+吗，即可得到上面的⑥⑦式。另外，若将上面的⑤式变形可得：vfFf，即碰撞前两球相互靠近的相对速度v1-v2等于碰撞后两球相互分开的相对速度活F。由此可轻松记住⑤式，再结合①式可解得⑥⑦式。例题：如图3所示，有大小两个钢球，下面一个的质量为m2，上面一个的质量为m1，m2=3m1。它们由地平面上高h处下落。假定大球在和小球碰撞之前，先和地面碰撞反弹再与正下落的小球碰撞，而且所有的碰撞均是弹性的，这两个球的球心始终在一条竖直线上，则碰后上面m1球将上升的最大高度是多少？解法1：设两球下落h后的速度大小为。，则TOC\o"1-5"\h\zv12=2gh ①选向上为正方向，m2球与地面碰撞后以速度v1反弹并与正在以速度一v1下落的m1球发生弹性碰撞，设m1和m2两球碰撞后瞬间的速度分别变为vj和v；，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得：m(—v)+mv=mv'+mv' ②1 [ 2ki]‘] 2^2」 ■ 」 」 r?将m2=3m1代入，得2v"+3v/ ④4寸=心褶 ⑤由④⑤式消去v2'得：0=v；2-3vlvJ+即故解出v1'=v1（舍去，因为该解就是m1球碰前瞬间的速度）v1'=2v1 ⑥设碰后上面球m1上升的最大高度为h',则0—v1'2=—2gh' ⑦联立①⑥⑦式解出h'=4h。解法2：在解法1中，列出②③式后，可根据前面介绍的用等效法得到的“一动碰一动”的弹性碰撞公式，求出m1球碰撞后瞬间的速度v1'o选向上为正方向，m1、m2两球分别以速度一*和v1发生对心弹性碰撞，可等效成m1以速度一v1去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度v1碰静止的诚二鬲-昭）（-席翊巧m1球。因此m1球碰撞后的速度' *1+吗 +昭+的将m2=3m1代入得vj=2v1。以下同解法1。解法3：在解法1中，列出②③式后，也可根据前面介绍的用等效法得到的“一动碰一动”的弹性碰撞公式，求出m2球碰撞后瞬间的速度v2。选向上为正方向，m「m2两球以速度一v】和v1发生的对心弹性碰撞，可等效成m1以速度一v】去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度v1碰静止的m1球。因此碰撞后m2球的速度初（Fg-渔1*此二％+玛+吗+吗将m2=3m1代入解得v2,=0。从m1球开始下落到m1球上升的最大高度，对m「m2两球组成的系统，由能量守恒得：(m1+m2)gh=m1ghf故解出hf=4h。解法4：设两球下落h后的速度大小为*，则v12=2gh ①选向上为正方向，m2球与地面碰撞后以速度v1反弹并与正在以速度一v1下落的m1球发生弹性碰撞，若以m2球为参考系，则m1球以相对m2球为一2v1的速度去碰静止的m2球，由“一动碰一静”的弹性碰撞公式得：（咐一峰）（一2此）+吗由于碰前m2球对地的具